Bruchgleichungen · Klasse 9/10

Bruchgleichungen – Definitionsbereich zuerst, Probe zuletzt

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Für die Lehrkraft · in dreißig Sekunden

Die Schüler bestimmen zuerst den Definitionsbereich und machen zuletzt die Probe – weil eine formal richtige Rechnung hier zu einer falschen Lösung führen kann.

Was variiert: Folge A bestimmt nur den Definitionsbereich, ohne zu rechnen. Erst danach kommen Gleichungen; Folge D bringt Scheinlösungen, die durch die Probe fallen.

Stolperstelle: Das Multiplizieren mit dem Hauptnenner ist keine Äquivalenzumformung, wenn der Nenner null werden kann.

Ablauf

1. Vorbemerkung austeilen oder projizieren – zwei Minuten lesen lassen.
2. Die Folgen der Reihe nach. Bei jeder einzelnen Aufgabe derselbe Takt: erst allein Reflect – Expect – Check – Explain, dann eine Frage zu zweit, dann der Zusammenhang im Plenum. Drei bis fünf Minuten pro Aufgabe.
- · Folge A: Nur den Definitionsbereich bestimmen – 6 Aufgaben
- · Folge B: Einfache Bruchgleichungen – 6 Aufgaben
- · Folge C: Zwei Brüche – 6 Aufgaben
- · Folge D: Scheinlösungen – 6 Aufgaben
- · Folge E: Anwendungen – 6 Aufgaben
3. Reflexionsfragen – schriftlich oder im Gespräch.

Was Sie sagen können

„Welcher Wert ist hier verboten – und warum?“
„Bevor du rechnest: Erwartest du eine Lösung oder keine?“
„Wer erklärt, wie eine Scheinlösung überhaupt entstehen kann?“

Kommentar und Lösungen stehen mit auf dieser Seite – der Teil für die Klasse ist unten eigens markiert. Beim Drucken bleibt der Lehrerteil weg. Kommentar mitdrucken

Vorbereitung · zum Ausdrucken Arbeitsblatt mit Platz zum Rechnen, dahinter das Lösungsblatt. Enthält alle Folgen mit allen Spalten. Arbeitsblatt Regie · zum Projizieren Aufgabe für Aufgabe an die Wand, im Takt Reflect – Expect – Check – Explain. Die vorherige Aufgabe bleibt mit ihrer Lösung stehen. Auf der Folie: Folge A, Folge B, Folge C, Folge D, Folge E. Folge projizieren

Vorbemerkung für die Schüler

Eine Bruchgleichung hat die Variable im Nenner. Daraus folgen zwei Pflichtschritte, die keine Formsache sind:

Vor dem Rechnen: Bestimme den Definitionsbereich. Welche Werte machen einen Nenner null? Diese Werte sind verboten – für die ganze Aufgabe.

Nach dem Rechnen: Mach die Probe. Beim Multiplizieren mit dem Hauptnenner können Lösungen entstehen, die die ursprüngliche Gleichung gar nicht erfüllen. Man nennt sie Scheinlösungen.

Merksatz: Der Definitionsbereich gehört zur Aufgabe, nicht zum Lösungsweg.

Folge A: Nur den Definitionsbereich bestimmen

Noch nicht lösen. Welche Werte sind ausgeschlossen?

Nr.	Gleichung	Ausgeschlossen
1	$\frac{3}{x} = 6$	$x = 0$
2	$\frac{3}{x-2} = 6$	$x = 2$
3	$\frac{3}{x+5} = 6$	$x = -5$
4	$\frac{3}{2x-6} = 1$	$x = 3$
5	$\frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} = 3$	x = 0 und x = 1
6	$\frac{1}{x^{2}-4} = 5$	x = 2 und x = −2

Frage nach Nr. 6: In Nr. 6 sind zwei Werte verboten, obwohl nur ein Bruch dasteht. Wie kommt das?

Folge B: Einfache Bruchgleichungen

Nr.	Gleichung	Definitionsbereich	Lösung
7	$\frac{6}{x} = 3$	$x \neq 0$	$x = 2$
8	$\frac{6}{x} = 2$	$x \neq 0$	$x = 3$
9	$\frac{6}{x} = 12$	$x \neq 0$	$x = 0{,}5$
10	$\frac{6}{x-1} = 3$	$x \neq 1$	$x = 3$
11	$\frac{6}{x+1} = 3$	$x \neq -1$	$x = 1$
12	$\frac{6}{2x} = 3$	$x \neq 0$	$x = 1$

Frage nach Nr. 12: In Nr. 7 bis 9 bleibt der Nenner gleich und die rechte Seite ändert sich. Wie hängen Lösung und rechte Seite zusammen?

Folge C: Zwei Brüche

Nr.	Gleichung	Definitionsbereich	Lösung
13	$\frac{1}{x} = \frac{2}{x+3}$	$x \neq 0, x \neq -3$	$x = 3$
14	$\frac{2}{x} = \frac{3}{x+1}$	$x \neq 0, x \neq -1$	$x = 2$
15	$\frac{1}{x-1} = \frac{2}{x+1}$	$x \neq 1, x \neq -1$	$x = 3$
16	$\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} = 3$	$x \neq 0$	$x = 0{,}5$
17	$\frac{1}{x-2} = \frac{3}{x+2}$	$x \neq 2, x \neq -2$	$x = 4$
18	$\frac{4}{x} - \frac{1}{x} = 3$	$x \neq 0$	$x = 1$

Hinweis: Bei Nr. 13, 14, 15 und 17 führt „über Kreuz multiplizieren“ schnell zum Ziel – das ist erlaubt, weil beide Seiten aus genau einem Bruch bestehen.

Folge D: Scheinlösungen

Diese sechs Gleichungen liefern beim Rechnen einen Wert, der nicht zum Definitionsbereich gehört. Die Probe ist hier nicht optional.

Nr.	Gleichung	Rechnerisch	Tatsächlich
19	$\frac{x}{x-2} = \frac{2}{x-2}$	$x = 2$	keine Lösung (x = 2 verboten)
20	$\frac{1}{x-3} = 0$	–	keine Lösung: ein Bruch mit Zähler 1 wird nie null
21	$\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x-1} = 0$	$x = 1$	keine Lösung (x = 1 verboten)
22	$\frac{x^{2}-9}{x-3} = 6$	$x = 3$	keine Lösung (x = 3 verboten)
23	$\frac{1}{x+2} = \frac{1}{x+2}$	jedes x	alle x außer x = −2
24	$\frac{3}{x-4} + \frac{12}{x-4} = 5$	$x = 7$	x = 7 ist gültig

Frage nach Nr. 24: Fünf dieser sechs Aufgaben haben keine oder eine eingeschränkte Lösungsmenge. Woran hätte man das jeweils schon vor dem Rechnen sehen können?

Folge E: Anwendungen

Nr.	Aufgabe	Ansatz und Lösung
25	Eine Zahl und ihr Kehrwert ergeben zusammen 2,5. Welche Zahl?	$x + \frac{1}{x} = 2{,}5$ → $x = 2$ oder $x = 0{,}5$ .
26	Zwei Rohre füllen ein Becken zusammen in 6 Stunden. Rohr A allein braucht 10 Stunden. Wie lange braucht B allein?	$\frac{1}{10} + \frac{1}{x} = \frac{1}{6}$ → x = 15 Stunden.
27	Ein Bruch hat den Zähler 3. Vergrößert man den Nenner um 2, halbiert sich der Wert. Wie heißt der Bruch?	$\frac{3}{n} : 2 = \frac{3}{n+2}$ → n = 2, also $\frac{3}{2}$ .
28	Bei welcher Zahl ist der Kehrwert viermal so groß wie die Zahl selbst?	$\frac{1}{x} = 4x$ → $x = 0{,}5$ oder $x = -0{,}5$ .
29	Zwei Arbeiter brauchen zusammen 4 Stunden. Einer allein braucht 6 Stunden. Wie lange braucht der andere?	$\frac{1}{6} + \frac{1}{x} = \frac{1}{4}$ → x = 12 Stunden.
30	Der Kehrwert einer Zahl, um 1 vergrößert, ergibt 3. Welche Zahl?	$\frac{1}{x} + 1 = 3$ → $x = 0{,}5$ .

Reflexionsfragen

Warum ist das Multiplizieren mit dem Hauptnenner keine Äquivalenzumformung, solange der Nenner null werden kann?
In Nr. 20 gibt es keine Lösung. Begründe das ohne Rechnung.
Warum genügt es bei Scheinlösungen nicht, am Ende „x = 2“ hinzuschreiben und den Definitionsbereich zu vergessen?
In Nr. 23 sind fast alle Zahlen Lösung. Wie schreibt man eine solche Lösungsmenge korrekt auf?
Aufgabe 26 und 29 haben dieselbe Struktur. Formuliere den gemeinsamen Ansatz in einem Satz.

Didaktischer Kommentar

Der Kern. Bruchgleichungen sind die erste Stelle im Lehrgang, an der eine formal korrekt durchgeführte Umformung zu einem falschen Ergebnis führen kann. Das ist mathematisch bedeutsam – und es ist für Lernende irritierend, weil bis hierhin galt: Wer richtig umformt, bekommt die richtige Lösung. Deshalb sollte dieser Bruch mit der bisherigen Erfahrung ausdrücklich benannt werden, statt ihn hinter der Vorschrift „Probe machen“ zu verstecken.

Was variiert in Folge A? Ausschließlich die Nennerstruktur; gerechnet wird nichts. Diese Trennung ist wichtig: Solange der Definitionsbereich als lästiger Zusatz am Ende erscheint, wird er vergessen. Wenn er die erste Handlung ist, wird er zur Gewohnheit.

Was variiert in Folge B? Erst die rechte Seite bei konstantem Nenner (Nr. 7 bis 9), dann der Nenner bei konstanter rechter Seite (Nr. 10 bis 12). Die erste Variation macht die umgekehrte Proportionalität sichtbar: doppelte rechte Seite, halbe Lösung.

Was variiert in Folge C? Die Anzahl und Lage der Brüche. Der Hinweis auf das Kreuzmultiplizieren ist bewusst mit der Einschränkung versehen: Es funktioniert nur, wenn auf beiden Seiten genau ein Bruch steht. Nr. 16 und 18 sind Gegenbeispiele, bei denen zuerst zusammengefasst werden muss.

Was variiert in Folge D? Der Grund, warum die Rechnung in die Irre führt. Nr. 19, 21 und 22 liefern Scheinlösungen; Nr. 20 hat gar keine Lösung; Nr. 23 hat fast alle Zahlen als Lösung; Nr. 24 ist die Kontrollaufgabe, bei der alles glatt geht. Diese Mischung ist Absicht: Wer erwartet, dass in dieser Folge immer „keine Lösung“ herauskommt, prüft nicht mehr – und liegt bei Nr. 24 daneben.

Was variiert in Folge E? Der Kontext bei gleichbleibender Struktur. Nr. 26 und Nr. 29 sind dieselbe Aufgabe mit anderen Zahlen; das gemeinsame Muster („Leistungen addieren sich, Zeiten nicht“) ist der eigentliche Lerngegenstand.

Häufige Fehlvorstellungen

Definitionsbereich als Formsache. Folge D. Gegenmittel: Nr. 19 rechnen lassen und dann einsetzen – der Nenner wird null, die Gleichung ist gar nicht definiert.
Probe weggelassen. Gegenmittel: In Folge D ist die Probe der einzige Weg, die Aufgaben zu unterscheiden.
„Über Kreuz multiplizieren“ überall. Nr. 16 und 18. Gegenmittel: Die Regel gilt für die Form $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ – erst prüfen, ob sie vorliegt.
Beim Hauptnenner einen Faktor vergessen. Gegenmittel: Hauptnenner als Produkt aller verschiedenen Nennerfaktoren aufschreiben, bevor multipliziert wird.

Zum Weiterarbeiten

Übungsgenerator Bruchgleichungen
Diagnostische Fragen zum Definitionsbereich
Aufgabenfolge zu Bruchtermen – die Vorstufe ohne Gleichheitszeichen