Graphen · Klasse 8/9

Graphen – von der Tabelle zum Bild und zurück

einsteiger #graphen#koordinatensystem#steigung#achsenskalierung#funktionen#variation-theory

Für die Lehrkraft · in dreißig Sekunden

Die Schüler wechseln sicher zwischen Term, Tabelle und Bild – in beide Richtungen.

Was variiert: Folge C ist der Kern: dieselbe Funktion, aber andere Achsenskalierung. Das Bild ändert sich, die Funktion nicht.

Stolperstelle: $x$ - und $y$ -Koordinate werden vertauscht; Kurven werden mit dem Lineal als Streckenzug gezeichnet.

Ablauf

1. Vorbemerkung austeilen oder projizieren – zwei Minuten lesen lassen.
2. Die Folgen der Reihe nach. Bei jeder einzelnen Aufgabe derselbe Takt: erst allein Reflect – Expect – Check – Explain, dann eine Frage zu zweit, dann der Zusammenhang im Plenum. Drei bis fünf Minuten pro Aufgabe.
- · Folge A: Punkte eintragen – 6 Aufgaben
- · Folge B: Wertetabelle und Graph – 6 Aufgaben
- · Folge C: Dieselbe Funktion, andere Achsen – 6 Aufgaben
- · Folge D: Vom Graphen zum Term – 6 Aufgaben
- · Folge E: Graphen lesen – 6 Aufgaben
3. Reflexionsfragen – schriftlich oder im Gespräch.

Was Sie sagen können

„Erste Zahl nach rechts, zweite nach oben. Welcher Punkt liegt höher?“
„Bevor du zeichnest: Wird der Graph steiler oder flacher als eben?“
„Wer erklärt, warum derselbe Term zweimal verschieden aussehen kann?“

Kommentar und Lösungen stehen mit auf dieser Seite – der Teil für die Klasse ist unten eigens markiert. Beim Drucken bleibt der Lehrerteil weg. Kommentar mitdrucken

Vorbereitung · zum Ausdrucken Arbeitsblatt mit Platz zum Rechnen, dahinter das Lösungsblatt. Enthält alle Folgen mit allen Spalten. Arbeitsblatt Regie · zum Projizieren Aufgabe für Aufgabe an die Wand, im Takt Reflect – Expect – Check – Explain. Die vorherige Aufgabe bleibt mit ihrer Lösung stehen. Auf der Folie: Folge A, Folge B, Folge C, Folge D, Folge E. Folge projizieren

Vorbemerkung für die Schüler

Ein Punkt wird immer in der Reihenfolge $(x | y)$ angegeben: erst gehen, dann steigen. $P(2 | 5)$ heißt: zwei nach rechts, fünf nach oben.

Die Steigung einer Geraden ist kein Aussehen, sondern eine Zahl:

$m = Δy : Δx$ – also „wie viel nach oben je Schritt nach rechts“.

Und der y-Achsenabschnitt $b$ ist der Funktionswert an der Stelle $x = 0$ – der Punkt, an dem der Graph die y-Achse trifft.

Folge A: Punkte eintragen

Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein (Bereich −6 bis 6 auf beiden Achsen).

Nr.	Punkt	Lage
1	$A(3 \mid 2)$	rechts oben
2	$B(2 \mid 3)$	rechts oben, aber nicht A
3	$C(-3 \mid 2)$	links oben
4	$D(3 \mid -2)$	rechts unten
5	$E(0 \mid 4)$	auf der y-Achse
6	$F(4 \mid 0)$	auf der x-Achse

Frage nach Nr. 6: A und B bestehen aus denselben Zahlen. Warum sind es trotzdem zwei verschiedene Punkte? Und was gilt für E und F?

Folge B: Wertetabelle und Graph

Erstelle zu jedem Term eine Wertetabelle für $x = -2, -1, 0, 1, 2$ und zeichne den Graphen.

Nr.	Term	y-Achsenabschnitt	Steigung	Form
7	$y = x$	$0$	$1$	Gerade, steigend
8	$y = 2x$	$0$	$2$	Gerade, steiler
9	$y = 2x + 3$	$3$	$2$	wie Nr. 8, nach oben verschoben
10	$y = -2x + 3$	$3$	$-2$	Gerade, fallend
11	$y = 3$	$3$	$0$	waagerechte Gerade
12	$y = x^{2}$	$0$	–	Parabel, keine Gerade

Frage nach Nr. 12: Vergleiche Nr. 8 und Nr. 9. Was ändert sich am Bild, was bleibt gleich? Und was ändert sich von Nr. 9 zu Nr. 10?

Folge C: Dieselbe Funktion, andere Achsen

Zeichne sechsmal den Graphen von $y = 2x$ – jedes Mal mit anderer Skalierung.

Nr.	x-Achse	y-Achse	Wie sieht der Graph aus?
13	$1 cm ≙ 1$	$1 cm ≙ 1$	mäßig steil
14	$1 cm ≙ 1$	$1 cm ≙ 5$	fast flach
15	$1 cm ≙ 5$	$1 cm ≙ 1$	sehr steil
16	$1 cm ≙ 2$	$1 cm ≙ 2$	wie Nr. 13
17	$1 cm ≙ 1$	$1 cm ≙ 0{,}5$	sehr steil
18	$1 cm ≙ 0{,}5$	$1 cm ≙ 1$	flacher als in Nr. 13

Frage nach Nr. 18: Alle sechs Bilder zeigen dieselbe Funktion. Welche Zahl ändert sich dabei nie – und was folgt daraus für die Frage „Welcher Graph ist steiler?“

Folge D: Vom Graphen zum Term

Ablesen statt rechnen: Bestimme den Term aus den beiden gegebenen Punkten.

Nr.	Gegebene Punkte	Steigung	y-Achsenabschnitt	Term
19	(0 \| 1) und (1 \| 3)	$2$	$1$	$y = 2x + 1$
20	(0 \| 1) und (2 \| 3)	$1$	$1$	$y = x + 1$
21	(0 \| 4) und (2 \| 0)	$-2$	$4$	$y = -2x + 4$
22	(1 \| 2) und (3 \| 8)	$3$	$-1$	$y = 3x - 1$
23	(−2 \| 5) und (2 \| 5)	$0$	$5$	$y = 5$
24	(1 \| 1) und (4 \| 3)	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$	$y = (\frac{2}{3})x + \frac{1}{3}$

Hinweis zu Nr. 22 und 24: Der y-Achsenabschnitt lässt sich hier nicht ablesen – bestimme erst $m$ , setze dann einen Punkt ein.

Folge E: Graphen lesen

Ein Graph beschreibt eine Autofahrt: waagerechte Achse Zeit in Minuten, senkrechte Achse zurückgelegte Strecke in Kilometern.

Nr.	Beobachtung im Graphen	Bedeutung
25	steiler Abschnitt	hohe Geschwindigkeit
26	flacher Abschnitt	langsame Fahrt
27	waagerechter Abschnitt	Stillstand, z. B. Ampel
28	Graph fällt	Rückfahrt zum Startpunkt
29	Knick im Graphen	plötzliche Geschwindigkeitsänderung
30	Graph beginnt bei y = 3	Start 3 km vom Nullpunkt entfernt

Frage nach Nr. 30: Welche der sechs Beobachtungen sagt etwas über die Steigung, welche über den Achsenabschnitt?

Reflexionsfragen

Warum ist $P(2 | 5)$ nicht derselbe Punkt wie $Q(5 | 2)$ ?
In Folge C ändert sich das Bild sechsmal, die Funktion nie. Was heißt das für Aussagen wie „Der linke Graph steigt schneller“?
Warum genügen bei einer Geraden zwei Punkte, um den Term zu bestimmen – bei einer Parabel aber nicht?
In Folge B ist Nr. 11 eine waagerechte Gerade. Welche Steigung hat sie, und warum?
Kann ein Graph zwei y-Achsenabschnitte haben? Begründe.

Didaktischer Kommentar

Der Kern. Ein Graph ist kein Bild, sondern eine Darstellung mit Maßstab. Solange die Achsenskalierung nicht als Teil der Information gelesen wird, ist „steiler“ eine Wahrnehmung statt einer Aussage – und Lernende ziehen aus zwei Diagrammen zuverlässig falsche Schlüsse. Genau darauf zielt Folge C, und deshalb steht sie in der Mitte der Reihe und nicht am Rand.

Was variiert in Folge A? Die Reihenfolge und die Vorzeichen der Koordinaten. Nr. 1 und Nr. 2 sind dasselbe Zahlenpaar in vertauschter Reihenfolge – gemeinsam eingezeichnet ist die Frage nach der Konvention beantwortet, ohne dass man sie erklären muss.

Was variiert in Folge B? Jeweils genau ein Parameter: von Nr. 7 zu Nr. 8 nur die Steigung, von Nr. 8 zu Nr. 9 nur der Achsenabschnitt, von Nr. 9 zu Nr. 10 nur das Vorzeichen der Steigung. Diese Trennung ist der Kern jeder Parametervariation. Nr. 11 (Steigung null) und Nr. 12 (keine Gerade) sind die Randfälle.

Was variiert in Folge C? Ausschließlich die Skalierung – die Funktion bleibt identisch. Diese Folge ist am wirksamsten, wenn die Klasse die sechs Bilder tatsächlich zeichnet und nebeneinanderlegt. Digital geht es schneller: Im Funktionenplotter genügt Zoomen in einer Richtung.

Was variiert in Folge D? Die Ablesbarkeit. In Nr. 19 bis 21 ist der Achsenabschnitt direkt gegeben, in Nr. 22 und 24 nicht – dort muss über einen Punkt gerechnet werden. Nr. 24 hat bewusst Bruchergebnisse: Steigungen sind nicht immer ganzzahlig, und wer nur ganzzahlige Beispiele kennt, rundet später falsch.

Was variiert in Folge E? Der Wechsel von der innermathematischen zur situativen Deutung. Diese Folge ist kurz gehalten, weil sie keine neue Technik übt, sondern die Übersetzung – und die gelingt erfahrungsgemäß nur, wenn die Technik vorher sitzt.

Häufige Fehlvorstellungen

Koordinaten vertauscht. Folge A. Gegenmittel: die Reihenfolge als Bewegung einführen („erst gehen, dann steigen“) und mit dem Finger nachfahren.
Steigung als Höhenzuwachs statt als Verhältnis. Folge D. Gegenmittel: Steigungsdreieck immer mit beiden beschrifteten Katheten zeichnen.
„Der steilere Graph hat die größere Steigung.“ Folge C. Gegenmittel: dieselbe Funktion zweimal unterschiedlich skaliert nebeneinanderlegen.
Parabeln mit dem Lineal als Linienzug gezeichnet. Nr. 12. Gegenmittel: mehr Stützstellen berechnen lassen und die Krümmung zwischen den Punkten ausdrücklich thematisieren.

Zum Weiterarbeiten

Werkzeug: Funktionenplotter – Parameter am Schieberegler, Spur für den Vergleich
Papier-Werkstatt – vorbereitete Koordinatensysteme, mehrere pro Blatt
Diagnostische Fragen zu Graphen