Kreisgeometrie · Klasse 9/10

Kreis – Umfang, Flächeninhalt und der Sektor

mittel #kreis#umfang#flaecheninhalt#kreissektor#pi#variation-theory

Für die Lehrkraft · in dreißig Sekunden

Die Schüler unterscheiden Radius und Durchmesser sicher – und wählen die Formel danach, nicht nach dem Aussehen.

Was variiert: Folge A variiert nur den Radius, Folge B nur den Durchmesser, Folge C nur die Fläche. Erst danach kommt der Sektor.

Stolperstelle: $U = \pi d$ und $A = \pi r^2$ werden als Zeichenketten gelernt; der Durchmesser wird in die Flächenformel gesetzt.

Ablauf

1. Vorbemerkung austeilen oder projizieren – zwei Minuten lesen lassen.
2. Die Folgen der Reihe nach. Bei jeder einzelnen Aufgabe derselbe Takt: erst allein Reflect – Expect – Check – Explain, dann eine Frage zu zweit, dann der Zusammenhang im Plenum. Drei bis fünf Minuten pro Aufgabe.
- · Folge A: Umfang bei gegebenem Radius – 6 Aufgaben
- · Folge B: Umfang bei gegebenem Durchmesser – 6 Aufgaben
- · Folge C: Flächeninhalt – 6 Aufgaben
- · Folge D: Kreissektor – 6 Aufgaben
- · Folge E: Formeln umkehren – 6 Aufgaben
- · Folge F: Anwendungen – 6 Aufgaben
3. Reflexionsfragen – schriftlich oder im Gespräch.

Was Sie sagen können

„Was ist gegeben – Radius oder Durchmesser?“
„Bevor du rechnest: Wird die Fläche doppelt so groß, wenn der Radius doppelt so groß ist?“
„Wer erklärt den Unterschied zwischen Verdoppeln von $r$ und Verdoppeln von $A$ ?“

Kommentar und Lösungen stehen mit auf dieser Seite – der Teil für die Klasse ist unten eigens markiert. Beim Drucken bleibt der Lehrerteil weg. Kommentar mitdrucken

Vorbereitung · zum Ausdrucken Arbeitsblatt mit Platz zum Rechnen, dahinter das Lösungsblatt. Enthält alle Folgen mit allen Spalten. Arbeitsblatt Regie · zum Projizieren Aufgabe für Aufgabe an die Wand, im Takt Reflect – Expect – Check – Explain. Die vorherige Aufgabe bleibt mit ihrer Lösung stehen. Auf der Folie: Folge A, Folge B, Folge C, Folge D, Folge E, Folge F. Folge projizieren

Vorbemerkung für die Schüler

Am Kreis gibt es zwei Längen, die man ständig verwechseln kann:

der Radius $r$ – vom Mittelpunkt zum Rand,
der Durchmesser $d$ – einmal quer durch, also $d = 2r$ .

Und zwei Formeln:

Umfang: $U = 2πr$ – gleichbedeutend mit $U = πd$
Fläche: $A = πr^{2}$

Der wichtigste Rat: Zeichnen und beschrifte zuerst. Der erste Schritt jeder Kreisaufgabe ist keine Rechnung, sondern die Entscheidung, ob die gegebene Länge $r$ oder $d$ ist. Rechne im Folgenden mit $π \approx 3{,}14$ und runde auf eine Nachkommastelle.

Folge A: Umfang bei gegebenem Radius

Nr.	Radius	Umfang
1	$r = 1 cm$	$U \approx 6{,}3 cm$
2	$r = 2 cm$	$U \approx 12{,}6 cm$
3	$r = 3 cm$	$U \approx 18{,}8 cm$
4	$r = 5 cm$	$U \approx 31{,}4 cm$
5	$r = 10 cm$	$U \approx 62{,}8 cm$
6	$r = 0{,}5 cm$	$U \approx 3{,}1 cm$

Frage nach Nr. 6: Der Radius verdoppelt sich von Nr. 1 zu Nr. 2 und von Nr. 4 zu Nr. 5. Was macht der Umfang jeweils?

Folge B: Umfang bei gegebenem Durchmesser

Achtung: Jetzt ist nicht der Radius gegeben.

Nr.	Durchmesser	Umfang
7	$d = 2 cm$	$U \approx 6{,}3 cm$
8	$d = 4 cm$	$U \approx 12{,}6 cm$
9	$d = 6 cm$	$U \approx 18{,}8 cm$
10	$d = 10 cm$	$U \approx 31{,}4 cm$
11	$d = 20 cm$	$U \approx 62{,}8 cm$
12	$d = 1 cm$	$U \approx 3{,}1 cm$

Frage nach Nr. 12: Vergleiche Folge A und Folge B Zeile für Zeile. Warum stehen rechts dieselben Ergebnisse?

Folge C: Flächeninhalt

Nr.	Radius	Fläche
13	$r = 1 cm$	$A \approx 3{,}1 cm^{2}$
14	$r = 2 cm$	$A \approx 12{,}6 cm^{2}$
15	$r = 3 cm$	$A \approx 28{,}3 cm^{2}$
16	$r = 4 cm$	$A \approx 50{,}3 cm^{2}$
17	$r = 6 cm$	$A \approx 113{,}1 cm^{2}$
18	$r = 10 cm$	$A \approx 314{,}2 cm^{2}$

Frage nach Nr. 18: Von Nr. 13 zu Nr. 14 verdoppelt sich der Radius. Um welchen Faktor wächst die Fläche? Prüfe die Vermutung an Nr. 15 und Nr. 17.

Folge D: Kreissektor

Der Sektor ist ein Ausschnitt des Kreises. Sein Anteil am ganzen Kreis ist $α : 360^{\circ}$ .

Nr.	Radius	Winkel	Sektorfläche
19	$r = 4 cm$	$360^{\circ}$	$A \approx 50{,}3 cm^{2}$
20	$r = 4 cm$	$180^{\circ}$	$A \approx 25{,}1 cm^{2}$
21	$r = 4 cm$	$90^{\circ}$	$A \approx 12{,}6 cm^{2}$
22	$r = 4 cm$	$45^{\circ}$	$A \approx 6{,}3 cm^{2}$
23	$r = 4 cm$	$60^{\circ}$	$A \approx 8{,}4 cm^{2}$
24	$r = 4 cm$	$120^{\circ}$	$A \approx 16{,}8 cm^{2}$

Frage nach Nr. 24: Der Radius bleibt in der ganzen Folge gleich. Welche Rechnung steckt hinter jeder Zeile – und wie kommt man von Nr. 21 zu Nr. 24, ohne neu anzusetzen?

Folge E: Formeln umkehren

Jetzt ist das Ergebnis gegeben, gesucht ist die Länge.

Nr.	Gegeben	Gesucht	Lösung
25	$U \approx 18{,}85 cm$	$r$	$r = 3 cm$
26	$U \approx 31{,}4 cm$	$d$	$d = 10 cm$
27	$A \approx 78{,}5 cm^{2}$	$r$	$r = 5 cm$
28	$A \approx 12{,}57 cm^{2}$	$r$	$r = 2 cm$
29	$U \approx 12{,}57 cm$	A	$A \approx 12{,}57 cm^{2}$
30	$A \approx 200 cm^{2}$	$r$	$r \approx 8{,}0 cm$

Hinweis zu Nr. 29: Erst aus dem Umfang den Radius bestimmen (r = 2 cm), dann die Fläche berechnen. Dass Zahlenwert von Umfang und Fläche hier übereinstimmen, ist ein Zufall dieses Radius – die Einheiten sind verschieden.

Folge F: Anwendungen

Nr.	Aufgabe	Lösungsidee
31	Ein Fahrradreifen hat 28 Zoll Durchmesser (≈ 71 cm). Wie weit fährt das Rad bei einer Umdrehung?	Eine Umdrehung entspricht dem Umfang: U ≈ 3,14 · 71 ≈ 223 cm, also gut 2,2 m.
32	Wie oft dreht sich dieses Rad auf 1 km?	100 000 cm : 223 cm ≈ 448 Umdrehungen.
33	Eine runde Pizza mit 30 cm Durchmesser kostet 9 €, eine mit 40 cm kostet 15 €. Welche ist günstiger je cm²?	A₃₀ ≈ 707 cm² → 1,27 ct/cm²; A₄₀ ≈ 1257 cm² → 1,19 ct/cm². Die große Pizza ist günstiger.
34	Ein Rasensprenger bewässert im Winkel von 120° bis 5 m weit. Welche Fläche?	Sektor: (120 : 360) · π · 25 ≈ 26,2 m².
35	Ein quadratisches Blech mit Seitenlänge 20 cm; daraus wird der größtmögliche Kreis ausgestanzt. Wie viel Prozent bleiben übrig?	Kreis: r = 10 cm, A ≈ 314 cm²; Quadrat: 400 cm². Rest ≈ 86 cm², also rund 21,5 %.
36	Ein Kreisring: äußerer Radius 6 cm, innerer Radius 4 cm. Fläche?	Differenz der Kreisflächen: π(36 − 16) ≈ 62,8 cm².

Reflexionsfragen

Warum liefern $U = 2πr$ und $U = πd$ dasselbe Ergebnis? Ist das eine Zufälligkeit oder eine Notwendigkeit?
In Folge C wächst die Fläche stärker als der Radius. Erkläre den Faktor 4 bei Verdopplung – ohne die Formel zu nennen.
Aufgabe 33 ist die praktische Version von Frage 2. Warum ist die große Pizza im Verhältnis fast immer günstiger?
In Folge D bleibt der Radius konstant und nur der Winkel ändert sich. Wie verhält sich die Sektorfläche zum Winkel?
Was bedeutet die Zahl π anschaulich? Beschreibe sie ohne die Formel, nur als Verhältnis.

Didaktischer Kommentar

Der Kern. Die Verwechslung von Radius und Durchmesser ist kein Flüchtigkeitsfehler, sondern die Folge davon, dass die Formeln als Symbolketten gelernt werden. Die Gegenmaßnahme ist strukturell: Radius und Durchmesser werden nie in derselben Folge gemischt, sondern nacheinander variiert – und Folge B endet mit der Beobachtung, dass beide Wege dasselbe liefern.

Was variiert in Folge A und B? Jeweils nur eine der beiden Längen, in beiden Folgen mit denselben Ergebnissen rechts. Die Zeilen 1 bis 6 und 7 bis 12 gehören paarweise zusammen. Legt man beide Tabellen nebeneinander, entsteht die Einsicht: Es sind nicht zwei Formeln, es ist eine – zweimal aufgeschrieben.

Was variiert in Folge C? Nur der Radius, aber die Ergebnisse wachsen quadratisch. Die Klasse soll den Faktor 4 bei Verdopplung selbst finden. Das ist der Übergang von „Formel anwenden“ zu „Wachstumsverhalten verstehen“ und bereitet die Ähnlichkeitslehre vor.

Was variiert in Folge D? Nur der Winkel; der Radius bleibt bewusst bei 4 cm. Damit ist die Sektorfläche direkt proportional zum Winkel, und Nr. 24 lässt sich aus Nr. 21 durch Verdreifachen gewinnen. Wer das sieht, hat den Anteil $α : 360^{\circ}$ verstanden – wer jedes Mal neu einsetzt, noch nicht.

Was variiert in Folge E? Die Rechenrichtung. Umkehraufgaben sind der beste Test dafür, ob eine Formel verstanden oder auswendig gelernt wurde. Nr. 30 ist bewusst ohne glattes Ergebnis gebaut.

Häufige Fehlvorstellungen

Radius und Durchmesser verwechselt. Gegenmittel: In jeder Aufgabe zuerst $r$ einzeichnen und beschriften, auch wenn $d$ gegeben ist.
$A = πd$ statt $A = πr^{2}$ . Die Fläche skaliert quadratisch – die Formel muss also ein Quadrat enthalten. Ein Überschlag hilft: Die Kreisfläche liegt immer knapp unter der Fläche des umschreibenden Quadrats mit Seitenlänge $d$ .
Beim Sektor den Anteil vergessen. Nr. 19 ist absichtlich der Vollkreis, damit die Klasse den Anteil 360 : 360 = 1 selbst formuliert.
Umfang und Fläche vertauscht. Gegenmittel: konsequent auf Einheiten achten – cm gegen cm² entscheidet die Frage vor jeder Rechnung.

Zum Weiterarbeiten

Diagnostische Fragen zur Kreisgeometrie
Papier-Werkstatt – Karopapier für maßstäbliche Kreiszeichnungen
Übungsgenerator Kreisgeometrie