Logarithmen · Klasse 10

Logarithmen – die Umkehrung der Exponentialfunktion

mittel #logarithmus#exponentialfunktionen#umkehrung#variation-theory

Für die Lehrkraft · in dreißig Sekunden

Die Schüler lesen den Logarithmus als Antwort auf die Frage „mit welchem Exponenten?“ – nicht als neue Rechenart.

Was variiert: Folge A liest direkt ab, Folge B rechnet ohne Taschenrechner, Folge C wendet die Gesetze an, Folge D löst Gleichungen.

Stolperstelle: $\log(a+b)$ wird wie $\log a + \log b$ behandelt.

Ablauf

1. Vorbemerkung austeilen oder projizieren – zwei Minuten lesen lassen.
2. Die Folgen der Reihe nach. Bei jeder einzelnen Aufgabe derselbe Takt: erst allein Reflect – Expect – Check – Explain, dann eine Frage zu zweit, dann der Zusammenhang im Plenum. Drei bis fünf Minuten pro Aufgabe.
- · Folge A: Direkt ablesen – 9 Aufgaben
- · Folge B: Logarithmen ohne Taschenrechner – 9 Aufgaben
- · Folge C: Anwendung der Logarithmusgesetze – 7 Aufgaben
- · Folge D: Exponentielle Gleichungen lösen – 7 Aufgaben
- · Folge E: Basiswechsel und Plausibilität – 6 Aufgaben
3. Reflexionsfragen – schriftlich oder im Gespräch.

Was Sie sagen können

„Mit welchem Exponenten kommst du von der Basis zur Zahl?“
„Bevor du rechnest: Liegt das Ergebnis zwischen welchen beiden ganzen Zahlen?“
„Wer zeigt an Zahlen, warum die Summenregel nicht gilt?“

Kommentar und Lösungen stehen mit auf dieser Seite – der Teil für die Klasse ist unten eigens markiert. Beim Drucken bleibt der Lehrerteil weg. Kommentar mitdrucken

Vorbereitung · zum Ausdrucken Arbeitsblatt mit Platz zum Rechnen, dahinter das Lösungsblatt. Enthält alle Folgen mit allen Spalten. Arbeitsblatt Regie · zum Projizieren Aufgabe für Aufgabe an die Wand, im Takt Reflect – Expect – Check – Explain. Die vorherige Aufgabe bleibt mit ihrer Lösung stehen. Auf der Folie: Folge A, Folge B, Folge C, Folge D, Folge E. Folge projizieren

Vorbemerkung für die Schüler

Der Logarithmus ist die Umkehrung der Exponentialfunktion. Anders gesagt: Er beantwortet die Frage „Mit welcher Hochzahl muss ich $a$ potenzieren, damit ich $b$ bekomme?“

Formal: $log_a(b) = c$ ⟺ $a^c = b$ .

Wenn $a = 10$ (Zehner-Logarithmus), schreibt man oft einfach $\log$ . Wenn $a = e \approx 2{,}718$ (natürlicher Logarithmus), schreibt man $\ln$ .

Die Logarithmusgesetze spiegeln die Potenzgesetze in der Umkehrung:

$log_a(x \cdot y) = log_a(x) + log_a(y)$ (Produkt → Summe)
$log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y)$ (Quotient → Differenz)
$log_a(x^n) = n \cdot log_a(x)$ (Potenz → Faktor)

Damit kann man exponentielle Gleichungen wie $a^t = b$ lösen: $t = log_a(b)$ oder $t = \log(b) / \log(a)$ .

Folge A: Direkt ablesen

Schreib für jede Gleichung die zugehörige Logarithmus-Form auf.

Nr.	Potenzform	Logarithmus-Form
1	$10^{2} = 100$	$\log(100) = 2$
2	$10^{3} = 1000$	$\log(1000) = 3$
3	$10^{0} = 1$	$\log(1) = 0$
4	$10^{-1} = 0{,}1$	$\log(0{,}1) = -1$
5	$2^{3} = 8$	$log_2(8) = 3$
6	$2^{4} = 16$	$log_2(16) = 4$
7	$5^{2} = 25$	$log_5(25) = 2$
8	$7^{0} = 1$	$log_7(1) = 0$
9	$(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$	$log_(\frac{1}{2})(\frac{1}{4}) = 2$

Folge B: Logarithmen ohne Taschenrechner

Berechne den Wert direkt im Kopf. (Frage: „mit welcher Hochzahl?“)

Nr.	Aufgabe	Antwort
10	$log_2(32)$	5 (denn 2⁵ = 32)
11	$log_3(81)$	$4$
12	$log_5(125)$	$3$
13	$log_10(10000)$	$4$
14	$log_2(1)$	$0$
15	$log_2(\frac{1}{4})$	$-2$
16	$log_2(2)$	$1$
17	$log_4(2)$	1/2 (denn 4^(1/2) = √4 = 2)
18	$log_3(\sqrt{3})$	$\frac{1}{2}$

Folge C: Anwendung der Logarithmusgesetze

Vereinfache mit den Gesetzen.

Nr.	Aufgabe	Vereinfachung
19	$\log(20) + \log(5)$	$\log(100) = 2$
20	$\log(30) - \log(3)$	$\log(10) = 1$
21	$\log(8) - \log(4)$	$\log(2)$
22	$2 \cdot \log(5) + \log(4)$	$\log(25) + \log(4) = \log(100) = 2$
23	$\log(125) - 2 \cdot \log(5)$	$\log(125) - \log(25) = \log(5)$
24	$\log(x^{2}) - \log(x)$ (x > 0)	$\log(x^{2}/x) = \log(x)$
25	$\log(x^{3} \cdot y^{2}) - \log(x \cdot y)$ (x, y > 0)	$\log(x^{2}y)$

Folge D: Exponentielle Gleichungen lösen

Hier braucht man den Logarithmus als Werkzeug, um die Variable t zu isolieren.

Nr.	Gleichung	Lösungsweg	Lösung
26	$2^t = 64$	direkt: $t = log_2(64)$	$t = 6$
27	$2^t = 1000$	$t = log_2(1000) = \log\frac{1000}{\log}(2)$	$t \approx 9{,}966$
28	$10^t = 50$	$t = \log(50)$	$t \approx 1{,}699$
29	$1{,}05^t = 2$ (Verdopplung bei 5 % p.a.)	$t = \log\frac{2}{\log}(1{,}05)$	$t \approx 14{,}21$
30	$0{,}9^t = 0{,}5$ (Halbwertszeit bei 10 % Abnahme)	$t = \log\frac{0{,}5}{\log}(0{,}9)$	$t \approx 6{,}58$
31	$e^t = 10$	$t = \ln(10)$	$t \approx 2{,}303$
32	$5 \cdot 2^t = 80$	erst durch 5: $2^t = 16$ , dann $t = log_2(16)$	$t = 4$

Folge E: Basiswechsel und Plausibilität

In dieser Folge wird klar, dass die Basis nur bequemes Mittel ist – die Antwort ist immer dieselbe.

Nr.	Aufgabe	Antwort
33	Berechne $log_2(8)$ und $\log(8) / \log(2)$ . Was fällt auf?	beide 3
34	Berechne $log_5(125)$ über $\log(125) / \log(5)$ .	$3$
35	Berechne $log_2(7)$ über $\log(7) / \log(2)$ .	$\approx 2{,}807$
36	Berechne $log_2(7)$ über $\ln(7) / \ln(2)$ .	≈ 2,807 (identisch zu 35)
37	Wie groß ist $\log(0)$ ?	nicht definiert (es gibt kein x mit 10^x = 0).
38	Wie groß ist $\log(-1)$ ?	nicht definiert in den reellen Zahlen (10^x ist immer positiv).

Reflexionsfragen

Aufgabe 3 zeigt: $\log(1) = 0$ . Warum gilt das für jede Basis (also auch $log_2(1) = 0$ , $log_5(1) = 0$ , …)?
Vergleiche Aufgabe 26 ( $t = 6$ exakt) und Aufgabe 27 ( $t \approx 9{,}966$ ). Warum ist die eine exakt und die andere nur näherungsweise?
In Folge D, Aufgabe 29, geht es um die Verdopplungszeit bei 5 % Wachstum. Die Antwort ist ≈ 14,21 Jahre. Wie nahe ist das an der Faustregel „72/p“?
Aufgabe 37 und 38: Warum ist der Logarithmus für $0$ und negative Werte nicht definiert? Wie hängt das mit der Exponentialfunktion zusammen?
Aufgaben 33–36 zeigen: Der Wert von $log_a(b)$ ist unabhängig davon, welche Basis man bei der Umrechnung verwendet. Warum?

Didaktischer Kommentar

Der Kern. Der Logarithmus ist im deutschen Schulunterricht oft die Stelle, an der die meisten Schüler aussteigen – nicht wegen der Mathematik, sondern wegen der ungewohnten Schreibweise und der zugleich abstrakten Definition. Diese Folge geht den Weg, der erfahrungsgemäß funktioniert: Erst den Logarithmus als Hochzahl erleben, dann den Bezug zur Exponentialfunktion herstellen, dann die Gesetze als Spiegelbild der Potenzgesetze entdecken.

Was variiert in Folge A? Die Variation Theory-Standardform: Eine Form wechselt zur anderen. Schüler erkennen, dass $10^{2} = 100$ und $\log(100) = 2$ dieselbe Aussage in zwei Sprachen sind. Das ist die zentrale Grundvorstellung.

Was variiert in Folge B? Hier wird ohne Taschenrechner gerechnet. Schüler erleben den Logarithmus als Hochzahl – als Antwort auf eine Frage, nicht als kryptischen Knopfdruck. Aufgaben 15 (negativer Logarithmus) und 17 (Bruchexponent) sind diagnostisch wichtig: Sie testen, ob die Hochzahl-Vorstellung wirklich verankert ist.

Was variiert in Folge C? Die Logarithmusgesetze in Anwendung. Schüler erleben, dass $\log(20) + \log(5) = \log(100)$ – Addition wird zu Multiplikation. Das ist der zentrale historische Punkt, der den Logarithmus überhaupt nützlich macht: Rechenwege werden vereinfacht.

Was variiert in Folge D? Hier wird der Logarithmus zum Werkzeug. Schüler sehen, warum sie ihn überhaupt brauchen: zur Auflösung exponentieller Gleichungen. Aufgaben 29 und 30 verbinden direkt mit der Aufgabenfolge zu exponentiellem Wachstum und Zerfall.

Was variiert in Folge E? Tiefere Reflexion: Basiswechsel und Grenzen des Logarithmus. Schüler erleben, dass $log_a(b) = \log\frac{b}{\log}(a)$ eine Universalformel ist und dass der Logarithmus nicht für alle Zahlen definiert ist (Definitionsbereich!). Aufgaben 37 und 38 sind essentielle Diagnose für später kommende Themen (Logarithmusgleichungen, Logarithmusfunktion).

Häufige Fehlvorstellungen

„ $\log(x + y) = \log(x) + \log(y)$ .“ Falsch. Die Gesetze gelten für Multiplikation, nicht für Addition. Probe mit Zahlen: $\log(10 + 100) = \log(110) \neq \log(10) + \log(100) = 3$ .
„ $\log(x) \cdot \log(y) = \log(xy)$ .“ Falsch. Richtig ist $\log(x) + \log(y) = \log(xy)$ . Wer hier multipliziert, kombiniert die Operationen falsch.
„ $\log(x)$ für negative x ist eine negative Zahl.“ Falsch. $\log(x)$ für $x < 0$ ist nicht definiert. ( $\log(x) = c$ würde $10^c = x < 0$ bedeuten, aber $10^c$ ist immer positiv.)
„Der Logarithmus ist nur eine seltsame Tasten-Funktion am Taschenrechner.“ Diese funktionale Sicht verfehlt den Kern. Der Logarithmus ist eine Frage: „Welche Hochzahl?“ Wer das einmal verstanden hat, braucht den Knopf nur noch für die numerische Antwort.

Möglicher Anschluss

Anwendungsaufgaben: pH-Wert, Schalldruckpegel (Dezibel), Erdbeben (Richterskala) – alles logarithmische Skalen.
Diagnostische Fragen zu typischen Fehlern bei Logarithmen.
Aufgabenfolge zu Logarithmusgleichungen ( $\log(x) = 2$ , $\log(x+1) = \log(2x-5)$ ).
Erweiterung in der Oberstufe: Ableitung und Integral des Logarithmus.