Negative Zahlen · Klasse 7/8

Negative Zahlen – die drei Bedeutungen des Minuszeichens

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Für die Lehrkraft · in dreißig Sekunden

Die Schüler unterscheiden die drei Rollen des Minuszeichens: Vorzeichen, Rechenzeichen, Gegenzahl.

Was variiert: Folge A variiert nur eine Rolle, Folge B bringt zwei Minus zusammen, Folge D lässt die Vorzeichenregel entdecken.

Stolperstelle: „Minus mal Minus ist Plus“ wird als Spruch gelernt und dann auch beim Addieren angewendet.

Ablauf

1. Vorbemerkung austeilen oder projizieren – zwei Minuten lesen lassen.
2. Die Folgen der Reihe nach. Bei jeder einzelnen Aufgabe derselbe Takt: erst allein Reflect – Expect – Check – Explain, dann eine Frage zu zweit, dann der Zusammenhang im Plenum. Drei bis fünf Minuten pro Aufgabe.
- · Folge A: Über die Null hinaus – 6 Aufgaben
- · Folge B: Minus und Minus – 6 Aufgaben
- · Folge C: Addition mit negativen Zahlen – 6 Aufgaben
- · Folge D: Multiplikation – die Vorzeichenregel entdecken – 12 Aufgaben
- · Folge E: Alles zusammen – 6 Aufgaben
3. Reflexionsfragen – schriftlich oder im Gespräch.

Was Sie sagen können

„Welche Rolle hat dieses Minuszeichen – Vorzeichen oder Rechenzeichen?“
„Bevor du rechnest: Liegt das Ergebnis links oder rechts von der Null?“
„Wer erklärt, warum die Regel beim Addieren nicht gilt?“

Kommentar und Lösungen stehen mit auf dieser Seite – der Teil für die Klasse ist unten eigens markiert. Beim Drucken bleibt der Lehrerteil weg. Kommentar mitdrucken

Vorbereitung · zum Ausdrucken Arbeitsblatt mit Platz zum Rechnen, dahinter das Lösungsblatt. Enthält alle Folgen mit allen Spalten. Arbeitsblatt Regie · zum Projizieren Aufgabe für Aufgabe an die Wand, im Takt Reflect – Expect – Check – Explain. Die vorherige Aufgabe bleibt mit ihrer Lösung stehen. Auf der Folie: Folge A, Folge B, Folge C, Folge D, Folge D, Folge E. Folge projizieren

Vorbemerkung für die Schüler

Das Zeichen „−“ bedeutet in der Mathematik drei verschiedene Dinge, und sie sehen alle gleich aus:

Vorzeichen: $-5$ ist eine Zahl, nämlich fünf unter null.
Rechenzeichen: $8 - 5$ ist eine Aufgabe: von 8 gehe ich 5 nach unten.
Gegenzahl: $-(-5)$ heißt „die Gegenzahl von −5“, also $+5$ .

Wer diese drei Bedeutungen auseinanderhalten kann, braucht fast keine Regeln mehr. Wer sie nicht auseinanderhält, braucht immer neue.

Nützliches Bild für alles Folgende: der Zahlenstrahl. Die erste Zahl ist der Startpunkt, das Rechenzeichen ist die Blickrichtung, die zweite Zahl ist die Schrittweite.

Folge A: Über die Null hinaus

Nur der Subtrahend wächst. Rechne der Reihe nach und achte darauf, was beim Übergang passiert.

Nr.	Aufgabe	Ergebnis
1	$5 - 1$	$4$
2	$5 - 3$	$2$
3	$5 - 5$	$0$
4	$5 - 6$	$-1$
5	$5 - 8$	$-3$
6	$5 - 12$	$-7$

Frage nach Nr. 6: Was ändert sich an der Rechnung, wenn das Ergebnis negativ wird – und was bleibt gleich?

Folge B: Minus und Minus

Jetzt wird der Subtrahend negativ. Vergleiche jede Zeile mit der darüber.

Nr.	Aufgabe	Ergebnis
7	$6 - 3$	$3$
8	$6 - 2$	$4$
9	$6 - 1$	$5$
10	$6 - 0$	$6$
11	$6 - (-1)$	$7$
12	$6 - (-3)$	$9$

Frage nach Nr. 12: Die zweite Zahl wird von Zeile zu Zeile kleiner. Was macht das Ergebnis? Und warum muss deshalb $6 - (-3)$ größer als 6 sein?

Folge C: Addition mit negativen Zahlen

Nr.	Aufgabe	Ergebnis
13	$(-4) + 9$	$5$
14	$(-4) + 4$	$0$
15	$(-4) + 1$	$-3$
16	$(-4) + 0$	$-4$
17	$(-4) + (-2)$	$-6$
18	$(-4) + (-9)$	$-13$

Frage nach Nr. 18: Bei welchen dieser Aufgaben wird das Ergebnis größer als −4, bei welchen kleiner? Woran erkennst du das, bevor du rechnest?

Folge D: Multiplikation – die Vorzeichenregel entdecken

Nur der zweite Faktor ändert sich, und zwar in Einerschritten nach unten.

Nr.	Aufgabe	Ergebnis
19	$3 \cdot 3$	$9$
20	$3 \cdot 2$	$6$
21	$3 \cdot 1$	$3$
22	$3 \cdot 0$	$0$
23	$3 \cdot (-1)$	$-3$
24	$3 \cdot (-2)$	$-6$

Jetzt dasselbe noch einmal, aber mit negativem erstem Faktor:

Nr.	Aufgabe	Ergebnis
25	$(-3) \cdot 3$	$-9$
26	$(-3) \cdot 2$	$-6$
27	$(-3) \cdot 1$	$-3$
28	$(-3) \cdot 0$	$0$
29	$(-3) \cdot (-1)$	$3$
30	$(-3) \cdot (-2)$	$6$

Frage nach Nr. 30: In beiden Tabellen ändert sich das Ergebnis von Zeile zu Zeile um denselben Betrag. In welche Richtung – und warum muss deshalb $(-3) \cdot (-2)$ positiv sein?

Folge E: Alles zusammen

Hier treten alle drei Bedeutungen des Minuszeichens in einer Aufgabe auf.

Nr.	Aufgabe	Ergebnis
31	$-5 + 8 - 3$	$0$
32	$-5 - (-8)$	$3$
33	$(-2) \cdot (-4) - 10$	$-2$
34	$7 - (-3) \cdot 2$	$13$
35	$(-6) : (-2) + (-1)$	$2$
36	$-(3 - 7)$	$4$

Hinweis zu Nr. 34: Punkt vor Strich gilt auch mit Vorzeichen. Erst $(-3) \cdot 2 = -6$ , dann $7 - (-6) = 13$ .

Reflexionsfragen

In Folge A ändert sich nur eine Zahl, in Folge B ebenfalls – und trotzdem passiert etwas anderes. Was genau?
Erkläre mit dem Zahlenstrahl, warum $6 - (-3)$ dasselbe ist wie $6 + 3$ .
In Folge D wird in beiden Tabellen der zweite Faktor um 1 kleiner. In der ersten Tabelle sinkt das Ergebnis um 3, in der zweiten steigt es um 3. Woran liegt das?
Aufgabe 36 enthält ein Minuszeichen vor einer Klammer. Welche der drei Bedeutungen hat es hier?
Nenne eine Alltagssituation, in der „minus minus“ tatsächlich „plus“ bedeutet.

Didaktischer Kommentar

Der Kern. Negative Zahlen sind für Lernende kein Rechenproblem, sondern ein Zeichenproblem. Solange dasselbe Symbol drei Dinge bedeutet und diese Bedeutungen nie getrennt wurden, bleibt jede Vorzeichenregel eine willkürliche Setzung, die man vergessen kann – und regelmäßig vergisst.

Was variiert in Folge A? Nur der Subtrahend, und zwar so, dass die Klasse über die Null hinausrechnet, ohne dass jemand vorher eine Regel angekündigt hätte. Die Zeilen 1 bis 3 sind bekannt, Zeile 4 ist der Sprung. Weil er in einer laufenden Reihe kommt, wird er als Fortsetzung erlebt und nicht als neues Thema.

Was variiert in Folge B? Der Subtrahend nimmt gleichmäßig ab – 3, 2, 1, 0 und dann weiter ins Negative. Genau hier entsteht die Einsicht: Wenn der Subtrahend kleiner wird, wird das Ergebnis größer. Also muss $6 - (-1)$ größer als 6 sein. Das ist keine Regel, die man glauben muss, sondern eine Fortsetzung, der man nicht ausweichen kann. Erfahrungsgemäß ist das der Moment, in dem die Klasse still wird.

Was variiert in Folge D? Dieselbe Bewegung noch einmal, jetzt multiplikativ. Die erste Tabelle zeigt „positiv mal negativ“, die zweite „negativ mal negativ“. Der Vergleich der beiden Tabellen – gleiche Bewegung, entgegengesetzte Richtung – trägt die Vorzeichenregel. Wichtig: beide Tabellen nebeneinander an die Tafel, nicht nacheinander.

Was variiert in Folge E? Nichts Systematisches mehr; hier geht es um das Zusammenspiel und um Punkt vor Strich. Diese Folge ist bewusst kurz – sie ist Kontrolle, nicht Erarbeitung.

Häufige Fehlvorstellungen

„Minus und Minus gibt immer Plus.“ Diese Merkregel wird von der Multiplikation auf die Addition übertragen: $(-4) + (-2)$ wird zu $+6$ . Aufgabe 17 und 18 sind genau dafür gebaut. Gegenmittel: Die Regel gilt für Multiplikation und Division – bei der Addition entscheidet der Zahlenstrahl.
„Negative Zahlen sind kleiner, also ist −10 größer als −2, weil 10 größer als 2 ist.“ Hier wird der Betrag mit der Zahl verwechselt. Gegenmittel: konsequent am Zahlenstrahl arbeiten, links ist immer kleiner.
„Vor der Klammer verschwindet das Minus.“ $-(3 - 7)$ wird zu $-3 - 7$ . Aufgabe 36 deckt es auf. Gegenmittel: Das Minus als $(-1) \cdot$ schreiben und ausmultiplizieren – aus einer Vorzeichenregel wird das Distributivgesetz.

Zum Weiterarbeiten

Zahlenstrahl-Werkzeug – negative Zahlen eintragen und ordnen lassen.
Kopfrechen-Sprint, Bereich „Negative Zahlen“ – zur Automatisierung nach der Erarbeitung.
Diagnostische Fragen zu Vorzeichen – vor der Erarbeitung als Standortbestimmung.