Wurzelrechnung · Klasse 9/10

Wurzeln – was erlaubt ist und was nicht

mittel #wurzeln#quadratwurzel#teilweises-wurzelziehen#betrag#variation-theory

Für die Lehrkraft · in dreißig Sekunden

Die Schüler wissen, dass die Wurzel sich über Produkte verteilt, über Summen aber nicht.

Was variiert: Folge A fragt nur: Produkt oder Summe? Erst danach wird teilweise radiziert und zusammengefasst.

Stolperstelle: $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ – das Streichen funktioniert beim Produkt und wird deshalb übertragen.

Ablauf

1. Vorbemerkung austeilen oder projizieren – zwei Minuten lesen lassen.
2. Die Folgen der Reihe nach. Bei jeder einzelnen Aufgabe derselbe Takt: erst allein Reflect – Expect – Check – Explain, dann eine Frage zu zweit, dann der Zusammenhang im Plenum. Drei bis fünf Minuten pro Aufgabe.
- · Folge A: Produkt oder Summe? – 6 Aufgaben
- · Folge B: Teilweises Wurzelziehen – 6 Aufgaben
- · Folge C: Zusammenfassen – 6 Aufgaben
- · Folge D: Wurzel und Quadrat – Vorsicht – 6 Aufgaben
- · Folge E: Gleichungen mit Quadraten – 6 Aufgaben
3. Reflexionsfragen – schriftlich oder im Gespräch.

Was Sie sagen können

„Steht unter der Wurzel ein Produkt oder eine Summe?“
„Bevor du rechnest: Setze zwei Zahlen ein. Stimmt die Behauptung?“
„Wer erklärt am Flächenbild, warum die Summenregel scheitert?“

Kommentar und Lösungen stehen mit auf dieser Seite – der Teil für die Klasse ist unten eigens markiert. Beim Drucken bleibt der Lehrerteil weg. Kommentar mitdrucken

Vorbereitung · zum Ausdrucken Arbeitsblatt mit Platz zum Rechnen, dahinter das Lösungsblatt. Enthält alle Folgen mit allen Spalten. Arbeitsblatt Regie · zum Projizieren Aufgabe für Aufgabe an die Wand, im Takt Reflect – Expect – Check – Explain. Die vorherige Aufgabe bleibt mit ihrer Lösung stehen. Auf der Folie: Folge A, Folge B, Folge C, Folge D, Folge E. Folge projizieren

Vorbemerkung für die Schüler

Die Quadratwurzel aus einer Zahl $a \ge 0$ ist die nichtnegative Zahl, deren Quadrat $a$ ergibt. Also: $\sqrt{9} = 3$ , nicht $±3$ .

Zwei Rechenregeln gelten, zwei sehr ähnlich aussehende gelten nicht:

Erlaubt: $\sqrt{a\cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ und $\sqrt{a:b} = \sqrt{a} : \sqrt{b}$ Nicht erlaubt: $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ und $\sqrt{a-b} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$

Wene sich unsicher sind: Setze Zahlen ein. Das dauert zehn Sekunden und entscheidet die Frage endgültig.

Folge A: Produkt oder Summe?

Prüfe jede Zeile durch Einsetzen. Stimmen die beiden Seiten überein?

Nr.	Behauptung	Prüfung	Stimmt?
1	$\sqrt{4\cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9}$	$\sqrt{36} = 6$ und $2\cdot 3 = 6$	$ja$
2	$\sqrt{4+9} = \sqrt{4} + \sqrt{9}$	$\sqrt{13} \approx 3{,}61$ und $2+3 = 5$	nein
3	$\sqrt{16\cdot 25} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{25}$	$\sqrt{400} = 20$ und $4\cdot 5 = 20$	$ja$
4	$\sqrt{16+25} = \sqrt{16} + \sqrt{25}$	$\sqrt{41} \approx 6{,}40$ und $4+5 = 9$	nein
5	$\sqrt{36:9} = \sqrt{36} : \sqrt{9}$	$\sqrt{4} = 2$ und $6:3 = 2$	$ja$
6	$\sqrt{36-9} = \sqrt{36} - \sqrt{9}$	$\sqrt{27} \approx 5{,}20$ und $6-3 = 3$	nein

Frage nach Nr. 6: Bei welchen Rechenzeichen darf die Wurzel „hineingezogen“ werden, bei welchen nicht? Formuliere die Regel in einem Satz.

Folge B: Teilweises Wurzelziehen

Zerlege die Zahl unter der Wurzel in ein Produkt aus einer Quadratzahl und einem Rest.

Nr.	Term	Vereinfacht
7	$\sqrt{8}$	$2\sqrt{2}$
8	$\sqrt{12}$	$2\sqrt{3}$
9	$\sqrt{18}$	$3\sqrt{2}$
10	$\sqrt{32}$	$4\sqrt{2}$
11	$\sqrt{50}$	$5\sqrt{2}$
12	$\sqrt{72}$	$6\sqrt{2}$

Frage nach Nr. 12: Vier der sechs Ergebnisse enthalten $\sqrt{2}$ . Woran liegt das? Was haben 8, 18, 32, 50 und 72 gemeinsam?

Folge C: Zusammenfassen

Nr.	Aufgabe	Ergebnis
13	$3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}$	$8\sqrt{2}$
14	$3\sqrt{2} + 5\sqrt{3}$	nicht weiter zusammenfassbar
15	$\sqrt{8} + \sqrt{18}$	$2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
16	$\sqrt{12} - \sqrt{27}$	$2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = -\sqrt{3}$
17	$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$	$\sqrt{16} = 4$
18	$(\sqrt{5})^{2}$	$5$

Frage nach Nr. 18: Nr. 13 und Nr. 14 sehen fast gleich aus. Warum geht das eine und das andere nicht? Vergleiche mit $3x + 5x$ und $3x + 5y$ .

Folge D: Wurzel und Quadrat – Vorsicht

Nr.	Term	Ergebnis
19	$\sqrt{3^{2}}$	$3$
20	$\sqrt{(-3)^{2}}$	$3$ – nicht $-3$
21	$\sqrt{x^{2}}$ für $x = 5$	$5$
22	$\sqrt{x^{2}}$ für $x = -5$	$5$
23	$\sqrt{x^{2}}$ allgemein	$\mid x\mid$
24	$(\sqrt{x})^{2}$ für $x \ge 0$	$x$

Frage nach Nr. 24: Nr. 23 und Nr. 24 sehen aus wie dieselbe Rechnung in anderer Reihenfolge. Warum ist das Ergebnis trotzdem verschieden?

Folge E: Gleichungen mit Quadraten

Nr.	Gleichung	Lösungen
25	$x^{2} = 9$	$x = 3$ oder $x = -3$
26	$x^{2} = 2$	$x = \sqrt{2}$ oder $x = -\sqrt{2}$
27	$x^{2} = 0$	$x = 0$
28	$x^{2} = -4$	keine reelle Lösung
29	$\sqrt{x} = 3$	$x = 9$
30	$\sqrt{x} = -3$	keine Lösung

Frage nach Nr. 30: Nr. 25 hat zwei Lösungen, Nr. 29 nur eine, Nr. 30 gar keine. Erkläre den Unterschied mit der Definition der Wurzel.

Reflexionsfragen

Erkläre mit den Zahlen aus Nr. 2, warum $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ falsch ist.
Warum gilt die Produktregel, die Summenregel aber nicht? Denke an das Flächenbild des Quadrats.
Warum schreibt man $\sqrt{9} = 3$ und nicht $\sqrt{9} = ±3$ , obwohl $(-3)^{2} = 9$ gilt?
Was ist der Unterschied zwischen der Gleichung $x^{2} = 9$ und dem Term $\sqrt{9}$ ?
In Nr. 30 gibt es keine Lösung. Wie sieht der Graph von $y = \sqrt{x}$ aus – und woran erkennt man daran, dass es keine geben kann?

Didaktischer Kommentar

Der Kern. Es geht in diesem Thema fast ausschließlich um eine einzige Unterscheidung: Die Wurzel ist mit Multiplikation und Division verträglich, mit Addition und Subtraktion nicht. Alles andere folgt daraus. Die Schwierigkeit ist, dass die verbotene Variante genauso plausibel aussieht wie die erlaubte – dieselbe Struktur, die den „Freshman’s Dream“ bei den binomischen Formeln erzeugt.

Was variiert in Folge A? Nur das Rechenzeichen unter der Wurzel; die Zahlen sind bewusst so gewählt, dass beide Seiten leicht ausrechenbar sind. Die Zeilenpaare 1/2, 3/4 und 5/6 stehen direkt untereinander. Wichtig ist die Reihenfolge im Unterricht: erst rechnen lassen, dann reden. Wer das Gegenbeispiel selbst ausgerechnet hat, glaubt der Regel danach.

Was variiert in Folge B? Die Zahl unter der Wurzel. Alle sechs enthalten eine Quadratzahl als Faktor, und in vier Fällen ist der verbleibende Rest die 2. Diese Häufung ist Absicht: Sie lädt zu der Beobachtung ein, dass 8, 18, 32, 50, 72 alle die Form $2\cdot k^{2}$ haben.

Was variiert in Folge C? Ob die Wurzelterme gleichartig sind. Der Vergleich mit $3x + 5x$ gegen $3x + 5y$ ist der Schlüssel: Wurzelterme werden zusammengefasst wie Variablen, nicht wie Zahlen. Nr. 15 und 16 verlangen zuerst teilweises Wurzelziehen – erst danach wird die Gleichartigkeit sichtbar.

Was variiert in Folge D? Das Vorzeichen des Ausgangswerts. Nr. 20 und Nr. 22 sind die entscheidenden Zeilen. Dass $\sqrt{x^{2}} = |x|$ und nicht $x$ ist, wird in vielen Büchern übergangen und rächt sich spätestens bei Betragsgleichungen und in der Analysis. Der Weg über konkrete Zahlen (Nr. 21, 22) vor der allgemeinen Aussage (Nr. 23) macht es zugänglich.

Was variiert in Folge E? Die Anzahl der Lösungen – zwei, eine, keine – und die Richtung der Operation. Der Vergleich von Nr. 25 ( $x^{2} = 9$ , zwei Lösungen) mit Nr. 29 ( $\sqrt{x} = 3$ , eine Lösung) ist der Kern: Das Quadrieren ist nicht umkehrbar eindeutig, das Wurzelziehen liefert dagegen genau einen Wert.

Häufige Fehlvorstellungen

$\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ . Folge A. Gegenmittel: Gegenbeispiel selbst ausrechnen lassen, nicht vorsagen.
$\sqrt{x^{2}} = x$ . Folge D. Gegenmittel: $x = -5$ einsetzen; das Ergebnis kann nicht negativ sein, weil die Wurzel nie negativ ist.
$x^{2} = 9$ hat nur die Lösung 3. Nr. 25. Gegenmittel: beide Zahlen einsetzen und die Parabel zeichnen.
$\sqrt{9} = ±3$ . Die Verwechslung von Wurzelterm und Gleichungslösung. Gegenmittel: beide Schreibweisen nebeneinander ins Heft, mit dem Unterschied als Merksatz.

Zum Weiterarbeiten