Lineare Funktionen · Klasse 8
Lineare Funktionen – Steigung und y-Achsenabschnitt
Vorbemerkung für die Schüler
Eine lineare Funktion hat die Form
$$y = m \cdot x + b$$
- $m$ ist die Steigung: wie stark der Graph pro x-Schritt steigt oder fällt.
- $b$ ist der y-Achsenabschnitt: der y-Wert an der Stelle $x = 0$ (also der Schnittpunkt mit der y-Achse).
Die Steigung wird oft als „Steigungsdreieck” gelesen: $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ – wie viel der y-Wert pro x-Einheit zunimmt. Wenn $m > 0$, geht der Graph nach rechts oben; wenn $m < 0$, nach rechts unten; wenn $m = 0$, ist der Graph waagerecht.
Folge A: y-Achsenabschnitt variieren, Steigung bleibt gleich
Alle Funktionen haben dieselbe Steigung $m = 2$. Zeichne die Graphen in ein Koordinatensystem.
| Nr. | Funktion | y-Achsenabschnitt | Punkt für $x = 0$ | Punkt für $x = 1$ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | $y = 2x + 0 = 2x$ | $0$ | $(0, 0)$ | $(1, 2)$ |
| 2 | $y = 2x + 1$ | $1$ | $(0, 1)$ | $(1, 3)$ |
| 3 | $y = 2x + 3$ | $3$ | $(0, 3)$ | $(1, 5)$ |
| 4 | $y = 2x - 1$ | $-1$ | $(0, -1)$ | $(1, 1)$ |
| 5 | $y = 2x - 4$ | $-4$ | $(0, -4)$ | $(1, -2)$ |
Beobachtung: Alle Graphen sind parallel (gleiche Steigung), aber sie schneiden die y-Achse an verschiedenen Stellen. Der y-Achsenabschnitt verschiebt die Gerade nach oben oder unten.
Folge B: Steigung variieren, y-Achsenabschnitt bleibt gleich
Alle Funktionen haben denselben y-Achsenabschnitt $b = 1$. Zeichne sie in ein Koordinatensystem.
| Nr. | Funktion | Steigung | Punkt für $x = 0$ | Punkt für $x = 1$ |
|---|---|---|---|---|
| 6 | $y = 0 \cdot x + 1 = 1$ | $0$ | $(0, 1)$ | $(1, 1)$ |
| 7 | $y = 1 \cdot x + 1$ | $1$ | $(0, 1)$ | $(1, 2)$ |
| 8 | $y = 2 \cdot x + 1$ | $2$ | $(0, 1)$ | $(1, 3)$ |
| 9 | $y = \frac{1}{2} \cdot x + 1$ | $\frac{1}{2}$ | $(0, 1)$ | $(1, 1{,}5)$ |
| 10 | $y = -1 \cdot x + 1$ | $-1$ | $(0, 1)$ | $(1, 0)$ |
| 11 | $y = -2 \cdot x + 1$ | $-2$ | $(0, 1)$ | $(1, -1)$ |
Beobachtung: Alle Graphen gehen durch denselben Punkt $(0, 1)$, aber unter verschiedenen Steigungen. Negative Steigung bedeutet: nach rechts unten.
Folge C: Werte berechnen aus gegebener Funktion
| Nr. | Funktion | $x = -2$ | $x = 0$ | $x = 1$ | $x = 5$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 12 | $y = 3x - 1$ | $-7$ | $-1$ | $2$ | $14$ |
| 13 | $y = \frac{1}{2}x + 4$ | $3$ | $4$ | $4{,}5$ | $6{,}5$ |
| 14 | $y = -2x + 6$ | $10$ | $6$ | $4$ | $-4$ |
| 15 | $y = 0{,}1 x + 100$ | $99{,}8$ | $100$ | $100{,}1$ | $100{,}5$ |
Beobachtung: Bei $x = 0$ ist $y$ immer gleich dem y-Achsenabschnitt $b$. Bei jedem Schritt von $x = 0$ zu $x = 1$ ändert sich $y$ genau um den Wert der Steigung $m$.
Folge D: Aus Graphen die Gleichung ablesen
Aus jedem Graphen sollen die Schüler den y-Achsenabschnitt $b$ und die Steigung $m$ bestimmen.
| Nr. | Beobachtungen am Graphen | Steigung $m$ | y-Achsenabschnitt $b$ | Funktionsgleichung |
|---|---|---|---|---|
| 16 | Schnittpunkt mit y-Achse bei $(0, 2)$; pro $1$ nach rechts geht es $3$ nach oben | $3$ | $2$ | $y = 3x + 2$ |
| 17 | Schnittpunkt mit y-Achse bei $(0, -1)$; pro $2$ nach rechts geht es $1$ nach oben | $\frac{1}{2}$ | $-1$ | $y = \frac{1}{2}x - 1$ |
| 18 | Schnittpunkt mit y-Achse bei $(0, 5)$; pro $1$ nach rechts geht es $2$ nach unten | $-2$ | $5$ | $y = -2x + 5$ |
| 19 | Schnittpunkt mit y-Achse bei $(0, 0)$; pro $4$ nach rechts geht es $3$ nach oben | $\frac{3}{4}$ | $0$ | $y = \frac{3}{4}x$ |
| 20 | Gerade waagerecht durch $(0, 3)$ | $0$ | $3$ | $y = 3$ |
Folge E: Aus zwei Punkten die Gleichung berechnen
Hier wird die Steigung als Verhältnis berechnet: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
| Nr. | Punkt A | Punkt B | Steigung $m$ | y-Achsenabschnitt $b$ | Funktionsgleichung |
|---|---|---|---|---|---|
| 21 | $(0, 1)$ | $(1, 3)$ | $\frac{3-1}{1-0} = 2$ | $1$ (direkt aus Punkt A ablesbar) | $y = 2x + 1$ |
| 22 | $(0, 4)$ | $(2, 0)$ | $\frac{0-4}{2-0} = -2$ | $4$ | $y = -2x + 4$ |
| 23 | $(1, 5)$ | $(3, 11)$ | $\frac{11-5}{3-1} = 3$ | $5 - 3 \cdot 1 = 2$ | $y = 3x + 2$ |
| 24 | $(-2, 1)$ | $(4, 4)$ | $\frac{4-1}{4-(-2)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ | $1 - \frac{1}{2} \cdot (-2) = 1 + 1 = 2$ | $y = \frac{1}{2}x + 2$ |
| 25 | $(2, 7)$ | $(5, 1)$ | $\frac{1-7}{5-2} = -2$ | $7 - (-2) \cdot 2 = 11$ | $y = -2x + 11$ |
Folge F: Sachkontexte erkennen
Schüler übersetzen Sachverhalte in lineare Funktionen.
| Nr. | Sachkontext | Was ist $m$? | Was ist $b$? | Funktionsgleichung |
|---|---|---|---|---|
| 26 | Ein Taxi kostet $4$ Euro Grundgebühr plus $2$ Euro pro Kilometer. Was kostet die Fahrt nach $x$ km? | $2$ (Euro pro km) | $4$ (Grundgebühr) | $y = 2x + 4$ |
| 27 | Eine Kerze ist $20$ cm hoch und brennt $0{,}5$ cm pro Stunde ab. Wie hoch ist sie nach $x$ Stunden? | $-0{,}5$ | $20$ | $y = -0{,}5 x + 20$ |
| 28 | Eine Sparkasse zahlt $50$ Euro Startguthaben und du legst $10$ Euro pro Monat dazu. Kontostand nach $x$ Monaten? | $10$ | $50$ | $y = 10x + 50$ |
| 29 | Du startest mit $0$ Euro und legst $15$ Euro pro Woche zurück. Wie viel hast du nach $x$ Wochen? | $15$ | $0$ | $y = 15x$ |
| 30 | Eine Pflanze ist $5$ cm hoch und wächst $1500$ cm pro Jahr. (Beachte die Plausibilität!) | $1500$ (cm/Jahr) | $5$ | $y = 1500x + 5$ (sehr unrealistisch – aber als Modell formal gültig) |
Reflexionsfragen
- Vergleiche Folge A und Folge B: In welcher Folge sind die Graphen parallel, in welcher gehen sie durch einen gemeinsamen Punkt? Warum?
- Aufgabe 6 zeigt eine waagerechte Gerade. Warum ist eine waagerechte Gerade trotzdem eine lineare Funktion?
- Aufgabe 20 zeigt eine senkrechte Gerade. Ist sie eine lineare Funktion? Warum nicht?
- Aufgabe 30 ist als Modell formal korrekt, aber inhaltlich unsinnig. Welche Frage muss man sich bei jeder Modellierung stellen?
- In Folge E (Aufgaben 23 und 24) ist der y-Achsenabschnitt nicht direkt aus den Punkten ablesbar. Wie berechnet man ihn aus der Steigung und einem Punkt?
Didaktischer Kommentar
Der Kern. Lineare Funktionen sind ein Schlüsselthema in Klasse 8 – nicht nur als eigenständiger Stoff, sondern als Grundlage für jede spätere Funktionsbetrachtung. Wer die Parameter $m$ und $b$ als bedeutungstragende Größen versteht (und nicht nur als „Buchstaben in der Formel”), hat die richtige Vorstellung für quadratische Funktionen ($y = a \cdot x^2 + b \cdot x + c$), Exponentialfunktionen ($y = a \cdot q^x$) und alles, was später kommt.
Was variiert in Folge A? Nur der y-Achsenabschnitt. Die Steigung ist konstant. Schüler erleben isoliert, was $b$ bewirkt – nämlich eine vertikale Verschiebung. Das ist Variation Theory in Reinkultur.
Was variiert in Folge B? Nur die Steigung. Der y-Achsenabschnitt ist konstant. Schüler erleben isoliert, was $m$ bewirkt – nämlich die Neigung. Aufgaben 9 (Bruchsteigung), 10 und 11 (negative Steigung) und 6 (Steigung null) sind diagnostisch wichtig: Sie testen, ob die Vorstellung über die Standardfälle hinaus trägt.
Was variiert in Folge C? Hier wird gerechnet, nicht gezeichnet. Schüler erleben numerisch, dass $y(0) = b$ und dass jeder x-Schritt um $1$ den y-Wert um $m$ erhöht. Aufgabe 15 mit unverhältnismäßigen Zahlen (kleine Steigung, großer y-Achsenabschnitt) prüft, ob die Vorstellung auch in ungewohnter Größenordnung greift.
Was variiert in Folge D? Die Umkehrrichtung: vom Graphen zur Gleichung. Hier wird die Steigung gelesen, nicht berechnet. Aufgabe 17 (Bruchsteigung als Verhältnis $1$ zu $2$) und Aufgabe 20 (waagerechte Gerade als Sonderfall) sind die diagnostisch interessantesten.
Was variiert in Folge E? Hier wird die Steigung berechnet aus zwei Punkten. Aufgaben 23–25 sind besonders wichtig, weil hier der y-Achsenabschnitt nicht direkt aus den gegebenen Punkten ablesbar ist – er muss aus Steigung und einem Punkt rechnerisch bestimmt werden. Das ist eine häufige Stolperfalle.
Was variiert in Folge F? Sachkontext-Übersetzung. Schüler müssen erkennen: Was ist im Text der konstante Anteil ($b$)? Was ist der pro-Schritt-Anteil ($m$)? Aufgabe 30 fordert zur Plausibilitätsprüfung auf – essentiell für Modellierungskompetenz.
Häufige Fehlvorstellungen
- „Die Steigung ist die Höhe des Steigungsdreiecks.” Falsch. Die Steigung ist das Verhältnis $\frac{\text{Höhe}}{\text{Breite}}$. Wer das verwechselt, kann eine Bruchsteigung wie $\frac{1}{2}$ nicht von einer ganzzahligen Steigung wie $2$ unterscheiden.
- „Der y-Achsenabschnitt ist der x-Wert, an dem die Gerade die x-Achse schneidet.” Klassische Verwechslung von x- und y-Achse. Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert an der Stelle $x = 0$.
- „Wenn die Steigung null ist, gibt es keine Funktion.” Doch. Eine konstante Funktion $y = b$ ist eine lineare Funktion mit Steigung null. Ihr Graph ist eine waagerechte Gerade.
- „Eine senkrechte Gerade hat unendliche Steigung.” Sie ist keine Funktion, weil ein x-Wert mehrere y-Werte zugeordnet bekäme. Das ist der Punkt, an dem der Funktionsbegriff schärfer wird.
- „$m$ und $b$ kann man aus jeder Gleichungsform direkt ablesen.” Nur aus der expliziten Form $y = m \cdot x + b$. Steht die Gleichung etwa als $2x + 3y = 6$, muss sie erst umgeformt werden.
Möglicher Anschluss
- Aufgabenfolge zur Schnittpunktberechnung zweier linearer Funktionen (verbindet mit linearen Gleichungssystemen).
- Diagnose-Quiz zu typischen Fehlern bei linearen Funktionen.
- Anwendungsaufgaben: Tarife, Kosten-Modelle, Geschwindigkeit-Zeit-Diagramme.
- Erweiterung in Klasse 9: Übergang zu nichtlinearen Funktionen (quadratisch, exponentiell) – mit dem Bezug, was gleich bleibt (Funktionsbegriff, Graphen, y-Achsenabschnitt) und was anders wird (keine konstante Steigung mehr).