Aufgabenkultur

Aufgabensammlung

24 Aufgabenfolgen, in denen sich von Aufgabe zu Aufgabe genau eine Sache ändert – damit die Reihenfolge selbst etwas erklärt. Zu jeder Folge gehören Lösungen, Reflexionsfragen und ein Kommentar, der benennt, was variiert und warum.

Für die Lehrkraft · in einer Minute

Was eine Aufgabenfolge ist – und wie eine Stunde damit läuft

Eine Aufgabenfolge ist kein Aufgabenblatt. Die Aufgaben stehen in einer bestimmten Reihenfolge, weil sich von einer zur nächsten genau eine Sache ändert. Wer sie der Reihe nach bearbeitet, kann den Zusammenhang selbst entdecken, statt ihn erklärt zu bekommen. Das Verfahren stammt aus der Variation Theory; die vier Schritte gehen auf Craig Barton zurück.

1 · Reflect

Vergleichen

Die Klasse sieht die neue Aufgabe neben der vorherigen: Was hat sich geändert, was ist gleich geblieben?
2 · Expect

Erwarten

Vor dem Rechnen eine Vermutung festlegen: größer, kleiner, gleich? Anderer Rechenweg? Das ist der Schritt, der am meisten trägt.
3 · Check

Prüfen

Jetzt wird gerechnet – mit dem Verfahren, das die Klasse kennt. Die Erwartung bestätigt sich oder nicht.
4 · Explain

Erklären

Warum kam es so? Wer überrascht war, sucht den Grund; wer nicht überrascht war, erklärt es jemandem, der es noch nicht sieht.

So läuft die Stunde

Schritt 1. Die Vorbemerkung der Folge projizieren, zwei Minuten lesen lassen.
Schritt 2. Erste Aufgabe an die Wand. Alle arbeiten gleichzeitig und still die vier Schritte durch – auf Papier oder Whiteboard.
Schritt 3. Eine Frage zu zweit besprechen. Die Folie schlägt passende vor; es geht um eine, nicht um die Liste.
Schritt 4. Im Plenum: nicht das Ergebnis, sondern der Zusammenhang. Erst dem Partner erklärt, dann einer der Klasse.
Schritt 5. Weiter zur nächsten Aufgabe – dieselben vier Schritte, neue Variation.

Pro Aufgabe drei bis fünf Minuten. Eine Folge mit sechs Aufgaben füllt eine Einzelstunde, mit Plenumsphasen eher eine Doppelstunde.

Was Sie brauchen

Zum Projizieren: der Knopf „Folge projizieren“ auf der Seite der Folge. Eine Aufgabe, ein Schritt, große Schrift; weiter mit Leertaste oder Klick.
Zum Vorbereiten: der Kopf jeder Seite nennt in dreißig Sekunden Ziel, Variation, Stolperstelle und Sätze, die Sie sagen können.
Zum Austeilen: auf jeder Folgen-Seite der Knopf „Arbeitsblatt“ – A4 mit Rechenraum, dahinter das Lösungsblatt. Rechenraum und Lösungsblatt lassen sich vor dem Druck einstellen.
Ohne Vorbereitung einsetzbar: Sie müssen nichts anlegen, nichts anmelden, nichts installieren.

Ausführlicher steht das Verfahren im Methodenkoffer unter „Intelligentes Üben“. Was zu welchem Thema schon da ist und wo es dünn wird, zeigt der Bestand nach Themen.

Klasse 5–6

Bruch Dezimal ProzentKl. 6/7einsteiger

Bruch, Dezimalzahl, Prozent – dieselbe Zahl in drei Kleidern

Die drei Schreibweisen werden als drei Themen erlebt, weil sie im Unterricht meist nacheinander behandelt werden. Diese Folge behandelt sie konsequent nebeneinander: In Folge A steht in jeder Zeile dieselbe Zahl dreimal. Folge D ist der eigentliche Prüfstein – dort werden alle drei Schreibweisen in einer Aufgabe verglichen, was nur geht, wenn man übersetzen kann.

BruchrechnungKl. 5/6mittel

Bruchaddition – vom gleichen zum gemeinsamen Nenner

Die Folge trennt vier Fälle, die im Buch meist zusammenfallen: gleicher Nenner, ein Nenner ist Vielfaches des anderen, teilerfremde Nenner, und der Fall, in dem der kleinste gemeinsame Nenner kleiner ist als das Produkt. Erst diese Trennung macht sichtbar, dass „Nenner mal Nenner“ zwar immer funktioniert, aber selten die beste Wahl ist. Folge E dreht die Aufgabe um und deckt auf, wer nur das Verfahren ausführt.

BruchrechnungKl. 5/6einsteiger

Brüche und gemischte Zahlen – hin und her

Eine Aufgabenfolge, die das Umwandeln zwischen unechten Brüchen und gemischten Zahlen sichtbar macht – nicht als Regel, sondern als logische Folge der Bedeutung des Bruchstrichs.

DezimalzahlenKl. 5/6einsteiger

Dezimalzahlen – Stellenwert, Ordnen, Multiplizieren mit Zehnerpotenzen

Vier Folgen gegen die hartnäckigste Fehlvorstellung des Zahlbereichs: Dezimalzahlen als zwei aneinandergehängte natürliche Zahlen. Folge A vergleicht Zahlen mit gleicher Ziffernfolge, aber verschiedener Länge. Folge C zeigt am Kommaverschieben, dass die Stellenwerte wandern und nicht die Ziffern. Alle Aufgaben lassen sich ohne Taschenrechner lösen – das ist Absicht.

Klasse 7–8

AlgebraKl. 7/8einsteiger

Terme umformen – sehen, was sich ändert

Fünf Aufgabenfolgen, die Schritt für Schritt einzelne Aspekte der Termumformung variieren: Klammern auflösen, ausklammern, zusammenfassen, das Minus vor der Klammer und zwei Klammern nebeneinander.

Binomische FormelnKl. 8/9mittel

Binomische Formeln – drei Muster, ein Prinzip

Eine Aufgabenfolge, die die binomischen Formeln in beide Richtungen trainiert: Ausmultiplizieren (vorwärts) und Faktorisieren (rückwärts). Gegen die typische 'Formelliste-auswendig-Lernen'-Sicht wird das gemeinsame Muster sichtbar gemacht – alle drei Formeln sind das gleiche Prinzip mit unterschiedlichen Vorzeichen.

GraphenKl. 8/9einsteiger

Graphen – von der Tabelle zum Bild und zurück

Bevor Funktionstypen besprochen werden, muss das Koordinatensystem selbst sitzen. Diese Folge übt in beide Richtungen: aus dem Term ein Bild und aus dem Bild einen Term. Folge C ist der didaktische Kern – dieselbe Funktion in drei verschiedenen Achsenskalierungen. Erst wenn die Klasse gesehen hat, dass ein Graph beliebig steil aussehen kann, versteht sie, warum die Steigung eine Zahl und kein optischer Eindruck ist.

Lineare FunktionenKl. 8einsteiger

Lineare Funktionen – Steigung und y-Achsenabschnitt

Eine Aufgabenfolge, die die Parameter $m$ und $b$ in $y = m \cdot x + b$ systematisch variiert, damit Schüler erleben, *was* der jeweilige Parameter bewirkt. Erst Steigung allein, dann y-Achsenabschnitt allein, dann beide gemeinsam, dann Umkehr (aus Graph oder zwei Punkten die Gleichung bilden). Die häufigsten Lernlücken: 'Steigung als Strecke statt Verhältnis' und 'y-Achsenabschnitt mit x-Wert verwechseln'.

Lineare GleichungenKl. 7/8einsteiger

Lineare Gleichungen – Schritt für Schritt umstellen

Fünf Variation-Theory-Folgen: Jede Aufgabe ändert nur einen Aspekt gegenüber der vorigen – erst Zahlen und Vorzeichen, dann das $x$ auf beiden Seiten, die Klammer, die Sonderfälle und zuletzt der Bruchstrich.

Lineare GleichungssystemeKl. 8/9mittel

Lineare Gleichungssysteme – drei Methoden, eine Idee

Eine Aufgabenfolge, die die drei Standardmethoden (Gleichsetzen, Einsetzen, Addieren) parallel an *demselben* Aufgabenkorpus übt. Schüler lernen, dass nicht eine Methode 'die richtige' ist, sondern dass die Methode zur Form der Gleichung passt – und dass alle drei dieselbe Lösung produzieren. Das ist die Kern-Einsicht, die später beim Gauß-Verfahren in der Oberstufe trägt.

Negative ZahlenKl. 7/8einsteiger

Negative Zahlen – die drei Bedeutungen des Minuszeichens

Das Minuszeichen hat drei Rollen – Vorzeichen, Rechenzeichen und Gegenzahl-Operator –, die alle gleich aussehen. Diese Folge trennt sie systematisch: Erst wird nur eine Rolle variiert, dann kommen sie kontrolliert zusammen. Folge B ist der Kern: Dieselbe Rechnung wandert schrittweise über die Null, ohne dass eine Regel genannt wird. Die Klasse setzt fort und formuliert die Regel selbst.

ProzentrechnungKl. 7/8einsteiger

Prozentrechnung – der Dreischritt sichtbar gemacht

Eine Aufgabenfolge, die systematisch durch die drei möglichen Fragen der Prozentrechnung führt: Prozentwert gesucht, Grundwert gesucht, Prozentsatz gesucht. Schüler sehen, dass es nicht 'drei Verfahren', sondern eine Beziehung mit drei Sichtweisen ist.

StochastikKl. 7/8einsteiger

Wahrscheinlichkeit – vom Schätzen zum Rechnen

Stochastik ist das einzige Gebiet, in dem die Intuition systematisch in die Irre führt – und zwar auch bei Erwachsenen. Diese Folge nutzt das: Jede Aufgabe wird zuerst geschätzt, dann gerechnet, dann simuliert. Folge D ist bewusst gegen die Intuition gebaut (Gedächtnis der Münze, gleich wahrscheinliche Ergebnisse bei zwei Würfeln). Die Simulation gehört zum Unterrichtsgang dazu, nicht als Zugabe.

Klasse 9–10

BruchgleichungenKl. 9/10vertieft

Bruchgleichungen – Definitionsbereich zuerst, Probe zuletzt

Bruchgleichungen sind der erste Ort im Lehrgang, an dem eine formal richtige Rechnung zu einer falschen Lösung führen kann. Das Multiplizieren mit dem Hauptnenner ist keine Äquivalenzumformung, wenn der Nenner null werden kann – deshalb rahmen Definitionsbereich und Probe jede Aufgabe ein. Folge D besteht ausschließlich aus Gleichungen mit Scheinlösungen; wer sie ohne Probe rechnet, bekommt zuverlässig falsche Ergebnisse.

ExponentialfunktionenKl. 10mittel

Exponentielles Wachstum und Zerfall – vom Faktor zur Funktion

Eine Aufgabenfolge, die exponentielle Modelle systematisch von der konkreten Vermehrungsfaktor-Rechnung zur Funktionsschreibweise f(t) = a · q^t führt. Schüler erleben, dass exponentielles Wachstum und Zerfall *dasselbe* sind – nur mit einem Faktor q > 1 bzw. q < 1. Der häufigste Lernverlust an dieser Stelle: prozentuale und multiplikative Sicht werden nicht verbunden.

KreisgeometrieKl. 9/10mittel

Kreis – Umfang, Flächeninhalt und der Sektor

Die Kreisformeln werden verwechselt, weil sie als Zeichenketten gelernt werden: In U = πd steht d, in A = πr² steht r. Diese Folge trennt beide Größen konsequent – Folge A variiert nur den Radius, Folge B nur den Durchmesser, Folge C zeigt das quadratische Wachstum der Fläche. Folge E kehrt die Formeln um: gegeben ist der Umfang oder die Fläche, gesucht der Radius.

LogarithmenKl. 10mittel

Logarithmen – die Umkehrung der Exponentialfunktion

Eine Aufgabenfolge, die den Logarithmus von Grund auf als *Umkehrung* der Exponentialfunktion einführt. Schüler erleben den Logarithmus nicht als 'neue Operation', sondern als Antwort auf die Frage 'mit welcher Hochzahl?'. Daraus ergeben sich die Logarithmusgesetze als Spiegelbilder der Potenzgesetze. Zentral: Wann man mit log10, ln oder log_q rechnet – und warum die Basis am Ende egal ist.

PythagorasKl. 9/10mittel

Pythagoras – Grundform und Anwendung

Eine Aufgabenfolge, die den Satz des Pythagoras systematisch von der nackten Berechnung zur Anwendung führt – inklusive Aufgaben, in denen das rechtwinklige Dreieck erst *gefunden* werden muss. Die größte Hürde ist nicht die Formel, sondern das Erkennen der Geometrie. Diese Folge übt genau das.

Quadratische FunktionenKl. 9/10mittel

Quadratische Funktionen – Scheitelpunktform und Normalform

Eine Aufgabenfolge, die das Hin- und Herwandern zwischen Scheitelpunktform und Normalform übt – die zentrale algebraische Operation der Klasse 9/10. Schüler lernen, dass beide Formen *dieselbe* Funktion beschreiben, nur unterschiedliche Aspekte sichtbar machen: die eine den Scheitelpunkt direkt, die andere die Schnittpunkte mit den Achsen.

Quadratische GleichungenKl. 9/10mittel

Quadratische Gleichungen mit dem Satz vom Nullprodukt

Eine Aufgabenfolge, die den Satz vom Nullprodukt durch minimale Variation aufbaut: erst Faktorform, dann Ausklammern, dann binomische Form, schließlich Mischformen. Der Trick: Die Schüler sehen, dass nicht *die Gleichung* schwer ist, sondern *das Erkennen der passenden Faktorzerlegung*.

StrahlensätzeKl. 9/10mittel

Strahlensätze – zwei Figuren, eine Idee

Eine Aufgabenfolge, die die zwei Standardfiguren der Strahlensätze (V-Figur und X-Figur) parallel übt – und dabei beide gleichzeitig als Anwendungen *eines* Prinzips sichtbar macht: Wenn Parallelen zwei Strahlen schneiden, sind die Streckenverhältnisse identisch. Schüler lernen, Figuren *als Strahlensatz-Konfiguration zu erkennen* – das ist die eigentliche Hürde, nicht das Auflösen einer Verhältnisgleichung.

TermumformungenKl. 9/10mittel

Bruchterme – kürzen, erweitern, addieren

„Aus Differenzen kürzen die Dummen“ ist ein Merkspruch, den alle kennen und trotzdem verletzen. Der Grund: Kürzen wird als Streichen gleicher Zeichen gelernt, nicht als Wegkürzen gemeinsamer Faktoren. Folge A trennt deshalb zuerst systematisch, was ein Faktor ist und was ein Summand. Erst danach wird gekürzt. Folge E bringt den Definitionsbereich – er ist bei Bruchtermen kein Formalismus, sondern Teil der Aufgabe.

TrigonometrieKl. 9/10mittel

Trigonometrie – welche Seite ist welche?

Ankathete und Gegenkathete sind keine Eigenschaften einer Seite, sondern einer Seite *bezogen auf einen Winkel*. Wer das nicht trennt, scheitert, sobald der Winkel wechselt. Folge A übt deshalb ausschließlich das Benennen – ohne jede Rechnung. Erst Folge B rechnet, und Folge C dreht dieselbe Figur, damit die Benennungen wandern.

WurzelrechnungKl. 9/10mittel

Wurzeln – was erlaubt ist und was nicht

Die Wurzel verteilt sich über Produkte, aber nicht über Summen. Diese eine Unterscheidung trägt das ganze Thema – und sie wird zuverlässig verletzt, weil bei Produkten das Streichen ja tatsächlich funktioniert. Folge A stellt beide Fälle deshalb unmittelbar nebeneinander und lässt mit Zahlen prüfen. Folge D behandelt den Fall, den fast jedes Buch übergeht: Warum ist die Wurzel aus x² nicht x, sondern der Betrag von x?

Mehr Aufgaben brauchen?

Die Folgen hier sind zum Lesen und Besprechen gedacht. Für beliebig viele Übungsaufgaben mit Lösungen – als Bildschirmübung oder druckfertiges Arbeitsblatt – gibt es zu jedem Thema einen Generator.

Übungsgeneratoren nach Thema Kopfrechen-Sprint Methode: Intelligentes Üben