Dezimalzahlen – Stellenwert, Ordnen, Multiplizieren mit Zehnerpotenzen

Vorbemerkung für die Schüler

Eine Dezimalzahl ist eine Zahl, nicht zwei. In 3,47 steht die 3 für drei Ganze, die 4 für vier Zehntel und die 7 für sieben Hundertstel.

Der entscheidende Punkt: Ein Zehntel ist zehnmal so groß wie ein Hundertstel. Deshalb entscheidet beim Vergleichen immer die vorderste Stelle nach dem Komma zuerst – nicht die Anzahl der Ziffern.

Folge A: Gleiche Ziffern, andere Länge

Ordne jedes Paar. Schreibe <, > oder =.

Nr.	Vergleich	Lösung
1	0,5 □ 0,50	0,5 = 0,50
2	0,5 □ 0,05	0,5 > 0,05
3	0,5 □ 0,45	0,5 > 0,45
4	0,5 □ 0,55	0,5 < 0,55
5	0,5 □ 0,499	0,5 > 0,499
6	0,5 □ 0,501	0,5 < 0,501

Frage nach Nr. 6: In allen sechs Aufgaben steht links dieselbe Zahl. Was entscheidet den Vergleich – die Länge der rechten Zahl oder etwas anderes?

Folge B: Ordnen

Ordne jede Gruppe von der kleinsten zur größten Zahl.

Nr.	Zahlen	Lösung
7	0,7 · 0,25 · 0,45	0,25 < 0,45 < 0,7
8	1,2 · 1,15 · 1,08	1,08 < 1,15 < 1,2
9	0,3 · 0,03 · 0,303	0,03 < 0,3 < 0,303
10	2,5 · 2,50 · 2,05	2,05 < 2,5 = 2,50
11	0,9 · 0,89 · 0,899	0,89 < 0,899 < 0,9
12	4,06 · 4,6 · 4,006	4,006 < 4,06 < 4,6

Frage nach Nr. 12: Trage die Zahlen aus Nr. 11 auf einem Zahlenstrahl zwischen 0,88 und 0,91 ein. Wie weit liegen sie auseinander?

Folge C: Mit Zehnerpotenzen multiplizieren

Nur der Faktor ändert sich. Achte darauf, was mit dem Komma passiert – und was mit den Ziffern.

Nr.	Aufgabe	Ergebnis
13	3,47 · 1	3,47
14	3,47 · 10	34,7
15	3,47 · 100	347
16	3,47 · 1000	3470
17	3,47 · 0,1	0,347
18	3,47 · 0,01	0,0347

Frage nach Nr. 18: Die Ziffernfolge 347 bleibt in allen sechs Aufgaben dieselbe. Was ändert sich stattdessen?

Folge D: Addieren und Subtrahieren

Rechne ohne Taschenrechner. Schreibe die Zahlen so untereinander, dass die Kommas übereinanderstehen.

Nr.	Aufgabe	Ergebnis
19	3,4 + 0,25	3,65
20	3,4 + 0,6	4
21	5 − 0,25	4,75
22	1,05 + 0,95	2
23	2,3 − 1,45	0,85
24	0,07 + 0,7 + 7	7,77

Hinweis zu Nr. 21: Schreiben Sie 5 als 5,00 – dann stehen die Stellenwerte richtig untereinander.

Folge E: Dividieren durch Zahlen unter 1

Nr.	Aufgabe	Ergebnis
25	6 : 2	3
26	6 : 1	6
27	6 : 0,5	12
28	6 : 0,25	24
29	6 : 0,1	60
30	6 : 0,01	600

Frage nach Nr. 30: Der Divisor wird von Zeile zu Zeile kleiner. Was macht das Ergebnis? Stimmt die Regel „Teilen macht kleiner” hier noch?

Reflexionsfragen

1. Warum ist 0,5 genauso groß wie 0,50, aber nicht genauso groß wie 0,05?
2. Erkläre einer Mitschülerin in einem Satz, warum 0,7 größer ist als 0,45.
3. Was passiert beim Multiplizieren mit 10 wirklich – wandert das Komma oder wandern die Ziffern? Begründe mit der Stellenwerttafel.
4. In Folge E wird das Ergebnis größer, obwohl geteilt wird. Wie kann das sein? Beschreibe es mit der Frage „Wie oft passt … in …?”
5. Zwischen 0,89 und 0,9 liegt noch eine Zahl – nenne drei.

Didaktischer Kommentar

Der Kern. Fünf Jahre lang gilt für natürliche Zahlen: Die längere Zahl ist die größere. Diese Regel funktioniert zuverlässig und wird deshalb tief eingeschliffen. Bei Dezimalzahlen bricht sie – aber niemand sagt es explizit, weil es für Erwachsene selbstverständlich ist. Die Folge sind zwei entgegengesetzte, gleich falsche Strategien: „längere Zahl ist größer” und, bei denen, die schon einmal korrigiert wurden, „kürzere Zahl ist größer”.

Was variiert in Folge A? Die linke Zahl bleibt konstant bei 0,5; nur die rechte ändert sich – und zwar so, dass Länge und Größe systematisch entkoppelt werden. In Nr. 5 ist die längere Zahl kleiner, in Nr. 6 ist die längere Zahl größer. Wer nach Länge urteilt, liegt bei einer der beiden zwangsläufig daneben. Dieser Widerspruch in zwei benachbarten Zeilen ist der didaktische Motor der Folge.

Was variiert in Folge C? Der Faktor durchläuft die Zehnerpotenzen von 1 bis 1000 und dann in die andere Richtung. Die Ziffernfolge 347 bleibt erhalten – sichtbar bleibt nur die Verschiebung. Wichtig ist die Sprechweise: Nicht „das Komma wandert”, sondern „jede Ziffer rückt eine Stelle höher”. Die erste Formulierung ist eine Rechenanweisung, die zweite eine Aussage über Stellenwerte. Nur die zweite trägt bis zu den Zehnerpotenzen in Klasse 9.

Was variiert in Folge E? Der Divisor wird kleiner, das Ergebnis größer. Damit bricht die Grundvorstellung „Teilen macht kleiner”, die aus der Grundschule stammt und dort immer stimmte. Die tragfähige Ersatzvorstellung ist die Frage „Wie oft passt der Divisor in den Dividenden?” – bei 0,25 passt er eben oft.

Häufige Fehlvorstellungen

• „Mehr Nachkommastellen bedeutet größere Zahl.” Folge A, besonders Nr. 5. Gegenmittel: die Zahlen auf dem Zahlenstrahl eintragen lassen, nicht argumentieren.
• „Angehängte Nullen ändern den Wert.” Nr. 1 und Nr. 10. Gegenmittel: Stellenwerttafel danebenlegen – die zusätzliche Null steht für null Hundertstel.
• „Beim Addieren rechtsbündig untereinanderschreiben.” Nr. 19 und Nr. 21 sind genau dafür konstruiert. Gegenmittel: fehlende Stellen mit Nullen auffüllen, dann steht alles automatisch richtig.
• „Teilen macht kleiner.” Folge E. Gegenmittel: „Wie oft passt … in …?” als Standardfrage etablieren.

Zum Weiterarbeiten

• Zahlenstrahl & Stellenwert – Zahlen eintragen, hineinzoomen, Stellenwerttafel synchron mitlesen.
• Diagnostische Fragen zu Dezimalzahlen – als Standortbestimmung vor der Reihe.
• Fehlvorstellungs-Katalog – die vier dokumentierten Denkfehler zu diesem Thema mit Gegenmitteln.