Binomische Formeln
Klasse 8–9 Die drei binomischen Formeln sind *eine* Idee mit drei Vorzeichen-Varianten – Ausmultiplizieren des Spezialfalls $(a\pm b)^2$ und $(a+b)(a-b)$. Wer sie als Liste lernt, vergisst sie. Wer sie hin- und herrichtungsfest übt, erkennt später quadratische Ergänzung und Faktorisierung ohne neues Werkzeug.
Typische Fehlvorstellungen
- $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ – der gemischte Term fehlt.
- Vorzeichen in der 2. Formel wird falsch gesetzt: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab - b^2$.
- $(a+b)(a-b)$ wird mit $(a+b)^2$ verwechselt.
- Beim Faktorisieren wird nicht erkannt, dass eine binomische Struktur vorliegt.
🎯 Diagnose-Quizzes
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$(3x+4)^2 = ?$
Lösung: $9x^2+24x+16$
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$(5a-2b)^2 = ?$
Lösung: $25a^2-20ab+4b^2$
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$(x+7)(x-7) = ?$
Lösung: $x^2-49$
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Faktorisiere $x^2-10x+25$.
Lösung: $(x-5)^2$
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Lineare Funktionen
Klasse 8 Lineare Funktionen sind der erste Funktionstyp, an dem Schüler die *Bedeutung* von Parametern erleben können. $m$ ist Steigung – ein Verhältnis, keine Strecke. $b$ ist der y-Achsenabschnitt – nicht der x-Wert irgendwo. Wer diese Unterscheidung sauber hat, hat den Übergang zu quadratischen, exponentiellen und trigonometrischen Funktionen schon halb geschafft.
Typische Fehlvorstellungen
- Steigung wird als „Höhe" statt als Verhältnis $\tfrac{\Delta y}{\Delta x}$ gelesen.
- y-Achsenabschnitt wird mit dem x-Wert verwechselt („Wo ist $b$ auf der x-Achse?").
- Eine negative Steigung wird als „die Gerade geht unter 0" missverstanden.
- Zwei parallele Geraden „müssen den gleichen y-Wert haben" – Steigung wird nicht isoliert.
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Gleichung der Geraden durch $(0,3)$ mit Steigung $-2$?
Lösung: $y=-2x+3$
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Gleichung der Geraden durch $(2,5)$ und $(6,13)$?
Lösung: $m=2$, $b=1$, also $y=2x+1$
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Schnittpunkt von $y=2x-4$ mit der x-Achse?
Lösung: $(2,0)$
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Welche Steigung hat eine Gerade parallel zu $y=-\tfrac{1}{3}x+5$?
Lösung: $-\tfrac{1}{3}$
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Lineare Gleichungssysteme
Klasse 8–9 Gleichsetzen, Einsetzen, Addieren – drei Werkzeuge, ein Ziel. Welches Verfahren am schnellsten ist, hängt von der *Form* des Systems ab, nicht von Vorlieben. Diese Sicht trägt später bis ins Gauß-Verfahren der Oberstufe.
Typische Fehlvorstellungen
- Es wird nur ein Verfahren beherrscht, das dann gegen jede Form gestemmt wird.
- Beim Additionsverfahren wird nur eine Gleichung mit dem Faktor multipliziert (eine Seite vergessen).
- Wenn $0=0$ herauskommt, wird „keine Lösung" statt „unendlich viele" notiert.
- Lösungspaare werden als zwei einzelne Lösungen behandelt, nicht als geometrischer Schnittpunkt.
🎯 Diagnose-Quizzes
Noch keine Diagnose-Fragen – kommen.
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Löse: $\begin{cases} x+y=10 \\ x-y=4 \end{cases}$
Lösung: $x=7,\ y=3$
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Löse: $\begin{cases} 2x+3y=12 \\ x=2y-1 \end{cases}$
Lösung: $y=2,\ x=3$
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Was bedeutet $0=5$ als Endzeile?
Lösung: Keine Lösung – Geraden sind parallel.
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Was bedeutet $0=0$ als Endzeile?
Lösung: Unendlich viele Lösungen – identische Geraden.
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Termumformungen – Bruchterme
Klasse 8–9 Bruchterme sind Brüche mit Variablen – die Regeln sind die gleichen wie bei Zahlenbrüchen, aber die Versuchung, *Summanden* statt *Faktoren* zu kürzen, ist hier am größten. Definitionsbereich wird oft vergessen, bis er später bei Bruchgleichungen zu Scheinlösungen führt.
Typische Fehlvorstellungen
- „Aus Differenzen kürzen die Dummen": $\tfrac{x+3}{x+5}$ wird zu $\tfrac{3}{5}$ gekürzt.
- Der Definitionsbereich wird nicht bestimmt.
- Beim Addieren wird kein gemeinsamer Nenner gebildet.
- Bruchterme werden mit Bruchgleichungen verwechselt – „über Kreuz multiplizieren" überall.
📚 Aufgabenfolgen
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Kürze $\tfrac{2x+6}{4}$.
Lösung: $\tfrac{x+3}{2}$
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Darf $\tfrac{x+5}{x+3}$ zu $\tfrac{5}{3}$ gekürzt werden?
Lösung: Nein – Summe, kein Faktor.
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Bestimme den Definitionsbereich von $\tfrac{1}{x-4}$.
Lösung: $x\neq 4$
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Berechne $\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{x+1}$.
Lösung: $\tfrac{2x+1}{x(x+1)}$
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Wurzelrechnung
Klasse 8–9 Die Quadratwurzel ist eine Umkehrung – aber eine *eindeutige* Umkehrung: $\sqrt{a}$ ist die *nichtnegative* Zahl, deren Quadrat $a$ ist. Wer das nicht sauber hat, addiert Wurzeln summandenweise und löst $x^2=9$ nur mit $x=3$.
Typische Fehlvorstellungen
- $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$.
- $\sqrt{a^2}=a$ – ohne Betragszeichen.
- $x^2=9$ hat nur die Lösung $x=3$ (die negative wird vergessen).
- $\sqrt{a}$ ist „irgendwie negativ möglich" – das Wurzelsymbol ist *immer* nichtnegativ.
📚 Aufgabenfolgen
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$\sqrt{72}$ als einfacher Wurzelausdruck?
Lösung: $\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$
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Stimmt $\sqrt{9+16}=\sqrt{9}+\sqrt{16}$?
Lösung: Nein: $\sqrt{25}=5\neq 3+4=7$.
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Löse $x^2=49$.
Lösung: $x=7$ oder $x=-7$
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$\sqrt{50}-\sqrt{18}=?$
Lösung: $5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
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Bruchgleichungen
Klasse 9 Bruchgleichungen sind der erste Ort, an dem der Definitionsbereich beißt: Eine Lösung, die den Nenner null macht, ist *keine* Lösung. Schüler, die nur „über Kreuz multiplizieren" lernen, übersehen Scheinlösungen verlässlich.
Typische Fehlvorstellungen
- Definitionsbereich wird nicht angegeben.
- Nach dem Multiplizieren wird die Probe weggelassen – Scheinlösungen bleiben stehen.
- Beim Hauptnenner wird ein Faktor vergessen.
- $\tfrac{1}{x}=0$ wird mit $x=0$ „gelöst" statt „keine Lösung".
📚 Aufgabenfolgen
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Definitionsbereich von $\tfrac{x+1}{x-2}=3$?
Lösung: $x\neq 2$
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Löse $\tfrac{1}{x}=\tfrac{2}{x+3}$.
Lösung: $x+3=2x \Rightarrow x=3$
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Warum ist $x=2$ bei $\tfrac{1}{x-2}=4$ keine Lösung?
Lösung: $x=2$ ist nicht im Definitionsbereich.
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Löse $\tfrac{x}{x-1}=2$.
Lösung: $x=2(x-1)$, $x=2$
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Quadratische Gleichungen
Klasse 9–10 Quadratische Gleichungen sind nicht *ein* Werkzeug, sondern eine kleine Werkstatt: Satz vom Nullprodukt, quadratische Ergänzung, p-q- bzw. abc-Formel. Welche Methode am schnellsten ans Ziel kommt, hängt von der *Form* der Gleichung ab.
Typische Fehlvorstellungen
- Bei $x^2-9=0$ wird sofort die p-q-Formel angesetzt, obwohl Faktorisierung schneller wäre.
- Satz vom Nullprodukt wird angewendet, *ohne* dass tatsächlich ein Produkt $=0$ vorliegt.
- Bei $x^2=16$ wird nur $x=4$ angegeben.
- Quadratische Gleichungen ohne reelle Lösungen werden als „Fehler" gelesen statt als Information.
🎯 Diagnose-Quizzes
Noch keine Diagnose-Fragen – kommen.
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Löse $x^2-7x=0$.
Lösung: $x(x-7)=0$, also $x=0$ oder $x=7$
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Löse $x^2+4x-12=0$.
Lösung: p-q oder Faktorisierung: $x=2$ oder $x=-6$
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Löse $(x-3)(x+5)=0$.
Lösung: $x=3$ oder $x=-5$
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Wie viele Lösungen hat $x^2+1=0$?
Lösung: Keine reelle Lösung.
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Quadratische Funktionen
Klasse 9–10 Scheitelpunktform und Normalform sind keine zwei *Funktionen*, sondern zwei *Darstellungen* derselben Funktion. Die eine macht den Scheitelpunkt sichtbar, die andere die Nullstellen. Wer das hin- und herwechseln kann, hat den Schlüssel für Steckbriefaufgaben in der Oberstufe.
Typische Fehlvorstellungen
- $f(x)=(x-3)^2$ habe den Scheitel bei $x=-3$ – Vorzeichenfehler bei der Form.
- Streckungsfaktor $a$ wird mit y-Verschiebung verwechselt.
- Beim Übergang Normalform → Scheitelpunktform wird die quadratische Ergänzung halb gemacht.
- „Eine quadratische Funktion *muss* zwei Nullstellen haben."
🎯 Diagnose-Quizzes
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Scheitelpunkt von $f(x)=(x-2)^2+5$?
Lösung: $S(2|5)$
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Bringe $f(x)=x^2-6x+5$ in Scheitelpunktform.
Lösung: $(x-3)^2-4$
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Wie viele Nullstellen hat $f(x)=(x-1)^2+3$?
Lösung: Keine reellen Nullstellen.
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Streckungsfaktor und Scheitel von $f(x)=-2(x+1)^2-4$?
Lösung: $a=-2$, $S(-1|-4)$, nach unten geöffnet
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Der Satz des Pythagoras ist algebraisch trivial – die eigentliche Schwierigkeit liegt nicht in $a^2+b^2=c^2$, sondern im *Erkennen* eines rechtwinkligen Dreiecks in einer Figur. Wer Hypotenuse und Katheten zuverlässig identifiziert, kann den Satz auf Diagonalen, Höhen und Abstände anwenden.
Typische Fehlvorstellungen
- $a^2+b^2=c^2$ wird auch für nicht-rechtwinklige Dreiecke verwendet.
- Die Hypotenuse wird mit einer Kathete verwechselt – $a^2-c^2$ statt $c^2-a^2$.
- Die Hypotenuse ist „die längste Seite, also rechne ich immer $a^2+b^2$" – auch wenn sie schon gegeben ist.
- Begriffe aus der Trigonometrie (Ankathete/Gegenkathete) werden mit Pythagoras vermischt.
🎯 Diagnose-Quizzes
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Hypotenuse bei Katheten $a=6,\ b=8$?
Lösung: $c=\sqrt{36+64}=10$
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Kathete bei $c=13,\ a=5$?
Lösung: $b=\sqrt{169-25}=12$
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Diagonale eines Rechtecks mit Seiten $6$ und $8$?
Lösung: $d=\sqrt{36+64}=10$
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Abstand der Punkte $A(0\mid 0)$ und $B(3\mid 4)$?
Lösung: $d=\sqrt{9+16}=5$
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Strahlensätze
Klasse 9–10 Strahlensätze sind die figürliche Form der *Ähnlichkeit*: Wenn zwei Strahlen von einem Scheitel $Z$ ausgehen und durch zwei Parallelen geschnitten werden, sind die entstehenden Streckenverhältnisse identisch. V- und X-Figur sind zwei Anwendungsformen *einer* Idee – nicht zwei Sätze.
Typische Fehlvorstellungen
- Strecken auf demselben Strahl werden ins Verhältnis gesetzt (statt entsprechende Strecken auf den zwei Strahlen).
- V- und X-Figur werden als zwei separate Sätze gelernt, nicht als *eine* Konfiguration.
- Die Voraussetzung „parallele Schnittgeraden" wird übergangen.
- Bei der V-Figur wird addiert, bei der X-Figur subtrahiert (Mythos).
🎯 Diagnose-Quizzes
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Welche Strecken müssen parallel sein, damit der Strahlensatz gilt?
Lösung: Die Strecken zwischen den zwei Strahlen.
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Verhältnis bei V-Figur: $\tfrac{SA}{SA'}=?$
Lösung: $\tfrac{SA}{SA'}=\tfrac{SB}{SB'}=\tfrac{AB}{A'B'}$
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V-Figur: $ZA=4$, $ZA'=12$, $ZB=5$. Wie groß ist $ZB'$?
Lösung: $\tfrac{4}{12}=\tfrac{5}{ZB'}\Rightarrow ZB'=15$
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Stange $1{,}5\,\text{m}$ wirft $2\,\text{m}$ Schatten. Baum wirft $14\,\text{m}$ Schatten. Wie hoch ist der Baum?
Lösung: $\tfrac{1{,}5}{2}=\tfrac{h}{14}\Rightarrow h=10{,}5\,\text{m}$
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Kreisgeometrie
Klasse 9–10 Kreis und $\pi$ machen Schülern oft mehr Mühe als nötig: Radius und Durchmesser werden vertauscht, $U$ und $A$ verwechselt, der Sektoranteil $\tfrac{\alpha}{360^\circ}$ wird vergessen. Wer die Bedeutung von $r$, $d$, $U=2\pi r$ und $A=\pi r^2$ klar trennt, kommt mit den Standardaufgaben zuverlässig zurecht.
Typische Fehlvorstellungen
- Radius und Durchmesser werden verwechselt – $U=\pi d$ wird mit $r$ statt mit $d$ benutzt.
- $A=\pi r^2$ wird mit $A=\pi d$ verwechselt (lineare statt quadratische Skalierung).
- Beim Sektor wird der Anteil $\tfrac{\alpha}{360^\circ}$ vergessen.
- Tangente und Sekante werden gleichgesetzt – die Tangente berührt den Kreis nur in *einem* Punkt.
📚 Aufgabenfolgen
Noch keine Aufgabenfolge – kommt.
🎯 Diagnose-Quizzes
Noch keine Diagnose-Fragen – kommen.
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Radius $r=5\,\text{cm}$. Durchmesser $d=?$
Lösung: $d=2r=10\,\text{cm}$
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Umfang eines Kreises mit $r=4\,\text{cm}$?
Lösung: $U=2\pi r=8\pi\,\text{cm}\approx 25{,}1\,\text{cm}$
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Flächeninhalt eines Kreises mit $r=6\,\text{cm}$?
Lösung: $A=\pi r^2=36\pi\,\text{cm}^2\approx 113{,}1\,\text{cm}^2$
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Welcher Winkel liegt zwischen Radius und Tangente im Berührpunkt?
Lösung: Genau $90^\circ$ – Radius und Tangente stehen senkrecht aufeinander.
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Trigonometrie
Klasse 9–10 Sinus, Kosinus und Tangens sind erstmal *Verhältnisse* im rechtwinkligen Dreieck – nicht Tasten am Taschenrechner. Wer „Gegen-/Ankathete/Hypotenuse" als Beziehungen sieht, kann Aufgaben aufstellen. Wer sie als Vokabel lernt, vergisst die Zuordnung.
Typische Fehlvorstellungen
- Gegenkathete und Ankathete werden vertauscht (Bezugswinkel nicht beachtet).
- $\sin^{-1}$ wird mit $\tfrac{1}{\sin}$ verwechselt.
- Bei einem Winkel über 90° wird die Definition aus dem rechtwinkligen Dreieck angewendet.
- Sinussatz und Pythagoras werden ohne Bedingung eingesetzt.
📚 Aufgabenfolgen
Noch keine Aufgabenfolge – kommt.
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Im rechtwinkligen Dreieck: Gegenkathete $=3$, Hypotenuse $=5$. $\sin(\alpha)=?$
Lösung: $\sin(\alpha)=\tfrac{3}{5}=0{,}6$
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$\tan(45°)=?$
Lösung: $1$
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Bezugswinkel $\alpha=30°$, Hypotenuse $=10$. Gegenkathete?
Lösung: $10\cdot\sin 30°=5$
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Welche Beziehung gilt zwischen $\sin^2\alpha$ und $\cos^2\alpha$?
Lösung: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$
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