Logarithmen · Klasse 10
Logarithmen – die Umkehrung der Exponentialfunktion
Vorbemerkung für die Schüler
Der Logarithmus ist die Umkehrung der Exponentialfunktion. Anders gesagt: Er beantwortet die Frage „Mit welcher Hochzahl muss ich a potenzieren, damit ich b bekomme?”
Formal: log_a(b) = c ⟺ a^c = b.
Wenn a = 10 (Zehner-Logarithmus), schreibt man oft einfach log.
Wenn a = e ≈ 2,718 (natürlicher Logarithmus), schreibt man ln.
Die Logarithmusgesetze spiegeln die Potenzgesetze in der Umkehrung:
log_a(x · y) = log_a(x) + log_a(y)(Produkt → Summe)log_a(x / y) = log_a(x) − log_a(y)(Quotient → Differenz)log_a(x^n) = n · log_a(x)(Potenz → Faktor)
Damit kann man exponentielle Gleichungen wie a^t = b lösen: t = log_a(b) oder t = log(b) / log(a).
Folge A: Direkt ablesen
Schreib für jede Gleichung die zugehörige Logarithmus-Form auf.
| Nr. | Potenzform | Logarithmus-Form |
|---|---|---|
| 1 | 10² = 100 | log(100) = 2 |
| 2 | 10³ = 1000 | log(1000) = 3 |
| 3 | 10⁰ = 1 | log(1) = 0 |
| 4 | 10⁻¹ = 0,1 | log(0,1) = −1 |
| 5 | 2³ = 8 | log_2(8) = 3 |
| 6 | 2⁴ = 16 | log_2(16) = 4 |
| 7 | 5² = 25 | log_5(25) = 2 |
| 8 | 7⁰ = 1 | log_7(1) = 0 |
| 9 | (½)² = ¼ | log_(1/2)(1/4) = 2 |
Folge B: Logarithmen ohne Taschenrechner
Berechne den Wert direkt im Kopf. (Frage: „mit welcher Hochzahl?”)
| Nr. | Aufgabe | Antwort |
|---|---|---|
| 10 | log_2(32) | 5 (denn 2⁵ = 32) |
| 11 | log_3(81) | 4 |
| 12 | log_5(125) | 3 |
| 13 | log_10(10000) | 4 |
| 14 | log_2(1) | 0 |
| 15 | log_2(1/4) | −2 |
| 16 | log_2(2) | 1 |
| 17 | log_4(2) | 1/2 (denn 4^(1/2) = √4 = 2) |
| 18 | log_3(√3) | 1/2 |
Folge C: Anwendung der Logarithmusgesetze
Vereinfache mit den Gesetzen.
| Nr. | Aufgabe | Vereinfachung |
|---|---|---|
| 19 | log(20) + log(5) | log(100) = 2 |
| 20 | log(30) − log(3) | log(10) = 1 |
| 21 | log(8) − log(4) | log(2) |
| 22 | 2 · log(5) + log(4) | log(25) + log(4) = log(100) = 2 |
| 23 | log(125) − 2 · log(5) | log(125) − log(25) = log(5) |
| 24 | log(x²) − log(x) (x > 0) | log(x²/x) = log(x) |
| 25 | log(x³ · y²) − log(x · y) (x, y > 0) | log(x²y) |
Folge D: Exponentielle Gleichungen lösen
Hier braucht man den Logarithmus als Werkzeug, um die Variable t zu isolieren.
| Nr. | Gleichung | Lösungsweg | Lösung |
|---|---|---|---|
| 26 | 2^t = 64 | direkt: t = log_2(64) | t = 6 |
| 27 | 2^t = 1000 | t = log_2(1000) = log(1000)/log(2) | t ≈ 9,966 |
| 28 | 10^t = 50 | t = log(50) | t ≈ 1,699 |
| 29 | 1,05^t = 2 (Verdopplung bei 5 % p.a.) | t = log(2)/log(1,05) | t ≈ 14,21 |
| 30 | 0,9^t = 0,5 (Halbwertszeit bei 10 % Abnahme) | t = log(0,5)/log(0,9) | t ≈ 6,58 |
| 31 | e^t = 10 | t = ln(10) | t ≈ 2,303 |
| 32 | 5 · 2^t = 80 | erst durch 5: 2^t = 16, dann t = log_2(16) | t = 4 |
Folge E: Basiswechsel und Plausibilität
In dieser Folge wird klar, dass die Basis nur bequemes Mittel ist – die Antwort ist immer dieselbe.
| Nr. | Aufgabe | Antwort |
|---|---|---|
| 33 | Berechne log_2(8) und log(8) / log(2). Was fällt auf? | beide 3 |
| 34 | Berechne log_5(125) über log(125) / log(5). | 3 |
| 35 | Berechne log_2(7) über log(7) / log(2). | ≈ 2,807 |
| 36 | Berechne log_2(7) über ln(7) / ln(2). | ≈ 2,807 (identisch zu 35) |
| 37 | Wie groß ist log(0)? | nicht definiert (es gibt kein x mit 10^x = 0). |
| 38 | Wie groß ist log(−1)? | nicht definiert in den reellen Zahlen (10^x ist immer positiv). |
Reflexionsfragen
- Aufgabe 3 zeigt:
log(1) = 0. Warum gilt das für jede Basis (also auchlog_2(1) = 0,log_5(1) = 0, …)? - Vergleiche Aufgabe 26 (
t = 6exakt) und Aufgabe 27 (t ≈ 9,966). Warum ist die eine exakt und die andere nur näherungsweise? - In Folge D, Aufgabe 29, geht es um die Verdopplungszeit bei 5 % Wachstum. Die Antwort ist ≈ 14,21 Jahre. Wie nahe ist das an der Faustregel „72/p”?
- Aufgabe 37 und 38: Warum ist der Logarithmus für
0und negative Werte nicht definiert? Wie hängt das mit der Exponentialfunktion zusammen? - Aufgaben 33–36 zeigen: Der Wert von
log_a(b)ist unabhängig davon, welche Basis man bei der Umrechnung verwendet. Warum?
Didaktischer Kommentar
Der Kern. Der Logarithmus ist im deutschen Schulunterricht oft die Stelle, an der die meisten Schüler aussteigen – nicht wegen der Mathematik, sondern wegen der ungewohnten Schreibweise und der zugleich abstrakten Definition. Diese Folge geht den Weg, der erfahrungsgemäß funktioniert: Erst den Logarithmus als Hochzahl erleben, dann den Bezug zur Exponentialfunktion herstellen, dann die Gesetze als Spiegelbild der Potenzgesetze entdecken.
Was variiert in Folge A?
Die Variation Theory-Standardform: Eine Form wechselt zur anderen. Schüler erkennen, dass 10² = 100 und log(100) = 2 dieselbe Aussage in zwei Sprachen sind. Das ist die zentrale Grundvorstellung.
Was variiert in Folge B? Hier wird ohne Taschenrechner gerechnet. Schüler erleben den Logarithmus als Hochzahl – als Antwort auf eine Frage, nicht als kryptischen Knopfdruck. Aufgaben 15 (negativer Logarithmus) und 17 (Bruchexponent) sind diagnostisch wichtig: Sie testen, ob die Hochzahl-Vorstellung wirklich verankert ist.
Was variiert in Folge C?
Die Logarithmusgesetze in Anwendung. Schüler erleben, dass log(20) + log(5) = log(100) – Addition wird zu Multiplikation. Das ist der zentrale historische Punkt, der den Logarithmus überhaupt nützlich macht: Rechenwege werden vereinfacht.
Was variiert in Folge D? Hier wird der Logarithmus zum Werkzeug. Schüler sehen, warum sie ihn überhaupt brauchen: zur Auflösung exponentieller Gleichungen. Aufgaben 29 und 30 verbinden direkt mit der Aufgabenfolge zu exponentiellem Wachstum und Zerfall.
Was variiert in Folge E?
Tiefere Reflexion: Basiswechsel und Grenzen des Logarithmus. Schüler erleben, dass log_a(b) = log(b)/log(a) eine Universalformel ist und dass der Logarithmus nicht für alle Zahlen definiert ist (Definitionsbereich!). Aufgaben 37 und 38 sind essentielle Diagnose für später kommende Themen (Logarithmusgleichungen, Logarithmusfunktion).
Häufige Fehlvorstellungen
- „
log(x + y) = log(x) + log(y).” Falsch. Die Gesetze gelten für Multiplikation, nicht für Addition. Probe mit Zahlen:log(10 + 100) = log(110) ≠ log(10) + log(100) = 3. - „
log(x) · log(y) = log(xy).” Falsch. Richtig istlog(x) + log(y) = log(xy). Wer hier multipliziert, kombiniert die Operationen falsch. - „
log(x)für negative x ist eine negative Zahl.” Falsch.log(x)fürx < 0ist nicht definiert. (log(x) = cwürde10^c = x < 0bedeuten, aber10^cist immer positiv.) - „Der Logarithmus ist nur eine seltsame Tasten-Funktion am Taschenrechner.” Diese funktionale Sicht verfehlt den Kern. Der Logarithmus ist eine Frage: „Welche Hochzahl?” Wer das einmal verstanden hat, braucht den Knopf nur noch für die numerische Antwort.
Möglicher Anschluss
- Anwendungsaufgaben: pH-Wert, Schalldruckpegel (Dezibel), Erdbeben (Richterskala) – alles logarithmische Skalen.
- Diagnose-Quiz zu typischen Fehlern bei Logarithmen.
- Aufgabenfolge zu Logarithmusgleichungen (
log(x) = 2,log(x+1) = log(2x−5)). - Erweiterung in der Oberstufe: Ableitung und Integral des Logarithmus.