Lineare Gleichungen – Schritt für Schritt umstellen

Folge A: Eine Änderung nach der anderen

Bearbeite die Aufgaben in dieser Reihenfolge. Notiere bei jeder Lösung, was sich gegenüber der Aufgabe davor geändert hat.

Folge B: Die Unbekannte steht auf beiden Seiten

Hier steht das $x$ auch rechts. Sieh vor dem Rechnen hin: Auf welcher Seite steht mehr $x$?

Frage nach Nr. 18: Zwischen Nr. 15 und Nr. 16 wechselt die Lösung das Vorzeichen. Was ist dort passiert – und woran hättest du es vorher sehen können?

Folge C: Eine Klammer in der Gleichung

Frage nach Nr. 24: Nr. 22 und Nr. 24 haben dieselbe Lösung, sehen aber verschieden aus. Warum?

Folge D: Eine Lösung, keine Lösung, alle Zahlen

Nicht jede Gleichung hat genau eine Lösung. Rechne wie immer – und schau dir an, was am Ende dasteht.

Frage nach Nr. 30: Bei Nr. 25 bleibt am Ende $6 = 6$ stehen, bei Nr. 26 aber $6 = 7$. Was bedeutet das jeweils?

Folge E: Der Bruchstrich

Frage nach Nr. 36: Nr. 34 und Nr. 35 sehen fast gleich aus und haben verschiedene Lösungen. Woran liegt das?

Reflexionsfragen für die Schüler

1. Vergleiche Aufgabe 1, 2 und 3. Was bleibt gleich, was ändert sich? Was passiert mit der Lösung?
2. Sieh dir 3 → 4 an. Was hat sich geändert? Warum sinkt die Lösung, obwohl die rechte Seite gleich blieb?
3. In Aufgabe 9 ist die Lösung $x = 0$. Wieso ist das nicht dasselbe wie „keine Lösung“?
4. In Folge B steht das $x$ auf beiden Seiten. Schreibe eine Regel auf, an der du vor dem Rechnen erkennst, ob die Lösung negativ wird.
5. Vergleiche Nr. 12 mit Nr. 19: Beide haben eine Klammer. Was ist trotzdem verschieden?
6. Erfinde selbst eine Gleichung, die keine Lösung hat, und eine, die von jeder Zahl gelöst wird.
7. Welche Aufgabe in der Liste war für dich am schwierigsten? Warum?

Didaktischer Kommentar (für die Lehrkraft)

Was variiert in Folge A? Die Folge variiert systematisch:

• 1 → 2 → 3: nur die Konstante rechts. Schüler sehen: Erhöhung der rechten Seite um 2 erhöht die Lösung um 1 (Koeffizient 2!).
• 3 → 4: Konstante links wird größer, rechts bleibt. Schüler erleben den umgekehrten Effekt.
• 4 → 5: Vorzeichen der Konstanten links wechselt – die Lösung springt deutlich.
• 6 → 7: Koeffizient ändert sich. Schüler sehen: Größerer Koeffizient → kleinere Lösung (bei gleicher rechter Seite).
• 8, 9, 10: Lösung 0 vs. negative Lösung – häufige Fehlerquelle.
• 11: Koeffizient negativ – Vorzeichenarbeit.
• 12: Klammer – Verbindung zu vorherigem Thema (Distributivgesetz).

Was variiert in Folge B? Das $x$ steht auf beiden Seiten. Variiert wird die Frage, wo mehr $x$ steht:

• 13 → 14: nur die Konstante rechts. Der vertraute Effekt aus Folge A, jetzt im neuen Aufbau – die Schüler sollen merken, dass die alte Beobachtung weiter trägt.
• 14 → 15: der Koeffizient rechts wächst von 3 auf 4. Der Abstand zwischen links und rechts schrumpft von 2 auf 1, die Lösung verdoppelt sich. Das ist der Moment für die Frage „Warum wird sie größer, obwohl rechts mehr steht?“
• 15 → 16: rechts steht jetzt mehr $x$ als links. Die Lösung kippt ins Negative. Dieser Vorzeichenwechsel ist der Kern der Folge: Er ist vorhersagbar, ohne zu rechnen.
• 16 → 17 → 18: die Konstante links wächst von 0 über 1 auf 13. Die Lösung wandert von $-12$ über $-11$ zurück auf $+1$. Wer den Zusammenhang erkannt hat, kann Nr. 18 im Kopf.

Wer die Gleichung lieber nach links auflöst, bekommt in Nr. 16 bis 18 ein negatives Vielfaches von $x$. Beide Wege im Plenum nebeneinander an die Tafel – das ist hier lehrreicher als die Einigung auf einen.

Was variiert in Folge C? Die Klammer aus Aufgabe 12 wird zur eigenen Folge:

• 19 → 20: nur die rechte Seite. Die Klammer bleibt unangetastet, das Verfahren auch.
• 20 → 21: die Konstante in der Klammer. Jetzt wird die rechte Seite gleich gehalten und trotzdem ändert sich die Lösung – der Unterschied zu 19 → 20 ist der eigentliche Lerngegenstand.
• 21 → 22: Vorzeichen in der Klammer.
• 22 → 23: Vorzeichen vor der Klammer. Erfahrungsgemäß die härteste Stelle der Folge.
• 23 → 24: Vorzeichen rechts. Nr. 22 und Nr. 24 haben dieselbe Lösung – die Frage am Ende der Folge zielt genau darauf: Beide Seiten mit $-1$ multipliziert ändert nichts an der Lösung.

Beide Wege sind erlaubt: erst durch 2 teilen oder erst ausmultiplizieren. Lassen Sie beide zeigen und fragen Sie, welcher hier weniger Schreibarbeit macht.

Was variiert in Folge D? Hier variiert nicht die Rechnung, sondern der Lösungsfall. Die Paare stehen bewusst dicht beieinander:

• 25 / 26: $2x + 6 = 2x + 6$ gegen $2x + 6 = 2x + 7$ – ein einziges Zeichen entscheidet zwischen „jede Zahl“ und „keine Lösung“.
• 27 / 28: ein einziges $x$ mehr rechts, und schon gibt es wieder genau eine Lösung. Das entlastet: Der Sonderfall ist die Ausnahme, nicht die Regel.
• 29 / 30: dieselbe Unterscheidung, aber die Gleichheit steckt hinter einer Klammer. Wer Folge C hinter sich hat, muss erst ausmultiplizieren, um zu sehen, welcher Fall vorliegt.

Wichtig ist die Sprachregelung: Am Ende steht nicht „$x$ fällt weg, also geht es nicht“, sondern eine wahre Aussage ($6 = 6$) oder eine falsche ($6 = 7$). Halten Sie beide Sätze an der Tafel fest.

Was variiert in Folge E? Der Bruchstrich – und vor allem, was unter ihm steht:

• 31 → 32 → 33: erst die Zahl rechts, dann der Nenner. Vertrautes Muster im neuen Gewand.
• 33 → 34: ein Summand tritt neben den Bruch.
• 34 → 35: derselbe Summand rückt unter den Bruchstrich. $\frac{x}{3} + 1$ und $\frac{x+1}{3}$ sehen fast gleich aus und sind es nicht. Das ist die Schlüsselstelle der Folge; die Lösungen 15 und 17 liegen absichtlich nah beieinander, damit der Unterschied nicht an einer großen Zahl hängt.
• 35 → 36: Vorzeichen rechts, mit negativer Lösung.

Mögliche Stolpersteine.

• Aufgabe 9 verwirrt Schüler oft („0 ist doch keine Zahl?“). Aktiv ansprechen.
• In Aufgabe 11 vertauschen Schüler häufig die Vorzeichen. Vorgreifen, indem Sie das Wegrechnen vom Multiplizieren mit −1 unterscheiden.
• In Folge B wird oft auf einer Seite subtrahiert und auf der anderen vergessen. Der Blick auf beide Seiten hilft mehr als jede Merkregel.
• In Folge D schreiben Schüler „$x = 0$“, wenn das $x$ wegfällt. Nr. 27 steht genau deshalb daneben: Dort ist die Lösung null, und man sieht den Unterschied.
• In Folge E wird der Nenner nur auf einen Summanden angewendet. Nr. 34 und Nr. 35 nebeneinander an die Tafel.

Zeitbedarf. Eine Folge ist eine halbe Doppelstunde wert, wenn man sie im Plenum durchspricht. Die fünf Folgen sind nicht als Block gedacht, sondern als Reihe über mehrere Stunden – A und B in der ersten, C in der zweiten, D und E in der dritten.

Möglicher Anschluss. Passende Diagnostische Fragen zu typischen Vorzeichenfehlern; danach Gleichungen mit Klammern auf beiden Seiten oder eine erste Textaufgabe, bei der die Gleichung selbst aufgestellt werden muss.