Konkret – bildlich – abstrakt

Eine Schülerin in Klasse 7 löst eine Gleichung wie $3x + 5 = 17$. Sie zieht $5$ ab, teilt durch $3$, schreibt $x = 4$. Auf Nachfrage, warum das funktioniert, kommt: „Weil man das so macht.” Auf die Frage „Was bedeutet $x$?” zuckt sie mit den Schultern.

Wir kennen das. Und wir wissen, dass das Problem nicht die Rechnung ist, sondern dass die Symbole $x$, $=$, $+$ für die Schülerin keine Bedeutung tragen. Sie sind Knöpfe in einem Algorithmus. Jerome Bruner hat in den 1960er Jahren eine Theorie formuliert, die genau dieses Problem beschreibt – und einen Weg vorschlägt, wie man es lösen kann.

Bruners drei Repräsentationsformen

Bruner unterscheidet in Toward a Theory of Instruction (1966) drei Formen, in denen Menschen Wissen darstellen und mit ihm umgehen:

Enaktive Repräsentation (handelnd). Wissen wird durch Handlung repräsentiert. Ein Kind „weiß”, was ein Kreis ist, weil es ihn mit dem Finger nachzeichnen kann. Ein Schüler „versteht” Addition, indem er Steine zusammenschiebt.

Ikonische Repräsentation (bildlich). Wissen wird in Bildern und Diagrammen dargestellt. Der Kreis ist jetzt eine Zeichnung. Die Addition wird zu einem Punkt-Diagramm oder einem Streifenmodell.

Symbolische Repräsentation (abstrakt). Wissen wird in Zeichen und Sprache codiert. Der Kreis wird zur Gleichung $x^2 + y^2 = r^2$. Die Addition wird zu $3 + 4 = 7$.

Bruners Pointe: Diese drei Formen sind keine Entwicklungsstufen, die nacheinander abgelegt werden. Sie sind drei parallel verfügbare Modi, in denen Mathematik verstanden werden kann. Ein Mathematiker greift bei einer schwierigen Aufgabe auch dann auf ikonische Repräsentation zurück, wenn er die symbolische Form längst beherrscht – er zeichnet, um sich zu orientieren.

Was im Unterricht oft passiert

Im deutschen Mathematikunterricht wird – das ist mein Eindruck nach Jahren von Hospitationen – meist zu schnell auf die symbolische Ebene gesprungen. Wir zeigen eine Definition, ein Beispiel, eine Übung. Das Material, mit dem ein Kind ein Konzept handelnd erlebt, fehlt. Das Bild, das die Brücke zwischen Handlung und Symbol schlägt, wird übergangen.

Das Ergebnis: Schüler, die symbolisch korrekt rechnen, aber bei einer Anwendung – wo sie die symbolische Form selbst herstellen müssten – scheitern. Sie haben Symbole gelernt, ohne die Erfahrung, die diese Symbole bedeuten.

Ein Beispiel aus der Bruchrechnung

Klasse 6 lernt: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$. Wie wird das typisch eingeführt?

• Symbolisch zuerst: „Suche den Hauptnenner. Erweitere. Addiere die Zähler.” Die Schüler üben das Verfahren. Manche verstehen, viele führen aus.
• Mit Bruner: Erst die enaktive Phase – Schüler falten ein Blatt in Hälften und Drittel und erleben, dass die Zerlegungen nicht zusammenpassen. Dann die ikonische Phase – ein Streifendiagramm, das Sechstel zeigt, in denen sowohl Hälften als auch Drittel sich finden lassen. Erst dann der symbolische Algorithmus – jetzt mit Bedeutung.

Was in der Bruner-Variante länger dauert, zahlt sich später aus: Schüler, die die Idee des Hauptnenners erfahren haben, können sie auf Bruchterme übertragen. Wer nur das Verfahren kennt, hat einen Algorithmus, der bei der ersten Variation zusammenbricht.

Singapur, Japan, Shanghai

Der asiatische Mathematikunterricht – insbesondere in Singapur, Japan und Shanghai – hat Bruners Modell systematisch in eine Methode übersetzt. Die Concrete–Pictorial–Abstract-Sequenz (CPA) ist dort Standardpraxis: Ein Konzept wird zuerst mit Material erlebt, dann mit Bildern dargestellt, dann symbolisch formalisiert.

Das Bar Model, das in Singapur in der Grundschule eingeführt wird, ist die ikonische Brücke schlechthin. Ein Streifen repräsentiert eine Größe. Mit zwei oder drei Streifen kann ein Kind komplexe Sachaufgaben lösen, bevor es Algebra im symbolischen Sinn kennt. Im englischen Sprachraum hat sich das in den letzten zwanzig Jahren weit verbreitet – im deutschen Sprachraum ist es bemerkenswerterweise selten zu sehen.

Das ist kein Plädoyer für Methodenimport. Aber es ist ein Anlass zur Selbstbefragung: Warum springen wir so schnell zum Symbol?

Wie Bruner mit Variation Theory zusammenhängt

Wer Marton liest, findet bei Bruner einen Vorläufer. Variation Theory besagt: Was unterschieden wird, muss in Variation auftreten – sonst ist es nicht unterscheidbar. Bruner sagt das ähnlich auf anderer Ebene: Was als Symbol verstanden werden soll, muss zuvor in nicht-symbolischer Form erlebt worden sein – sonst ist das Symbol ein leeres Zeichen.

Beide Theorien gehen davon aus, dass Begriffsbildung Erfahrungsaufbau braucht. Sie unterscheiden sich im Fokus: Marton schaut auf die Aufgabenkonstellation, Bruner auf die Repräsentationsform. Im guten Unterricht greifen beide ineinander.

Was Bruner nicht sagt

Eine häufige Fehlinterpretation: „Bruner sagt, dass man immer mit konkretem Material anfangen muss.” Falsch. Bruner sagt, dass die drei Repräsentationsformen zur Verfügung stehen müssen. In welcher Reihenfolge sie eingesetzt werden, hängt vom Stoff und vom Lerner ab.

Für junge Kinder ist die enaktive Phase oft der einzige Zugang. Für Oberstufenschüler kann eine ikonische Skizze ausreichen, um eine abstrakte Definition zu verankern. Wer eine schwierige Differentialgleichung verstehen will, profitiert oft mehr von einem Phasenraum-Diagramm als von noch einem symbolischen Beweis.

Bruners Pointe ist nicht „immer konkret zuerst”. Es ist: Mathematik ist nicht nur Symbole. Wer beim Symbol stehenbleibt, hat das Konzept vielleicht nicht.

Drei Routinen für den Unterricht

Erstens: Frage nach dem Bild. Wenn ein Schüler eine symbolische Aufgabe gelöst hat, frage gelegentlich: „Wie würdest du das zeichnen?” Eine Skizze, ein Diagramm, ein Streifenmodell. Wer keine Idee hat, hat möglicherweise nur das Verfahren – nicht den Begriff.

Zweitens: Beginne mit der Geste, wenn möglich. Vektoraddition wird greifbarer, wenn Schüler sich vorstellen, einen Vektor entlang zu „gehen”. Funktionen werden greifbarer, wenn Schüler eine Größe „wachsen” lassen. Solche Handlungsbilder im Kopf sind enaktive Repräsentationen, auch ohne physisches Material.

Drittens: Lass mehrere Repräsentationen koexistieren. Bei einer linearen Funktion $y = 2x + 3$ zeigen Schüler die Wertetabelle, das Diagramm und die Gleichung nebeneinander und beziehen sie aufeinander. Verschiedene Wege, dieselbe Sache zu sehen. Bruner hätte das so gewollt.

Was du diese Woche tun kannst

Such dir die nächste Unterrichtsstunde, in der du ein neues Konzept einführst. Plane eine ikonische Repräsentation ein, bevor du das Symbol oder die Formel einführst. Eine Skizze. Ein Streifendiagramm. Ein Funktionspfeil. Was auch immer das Konzept zugänglich macht.

Frage dich nach der Stunde: Welche Schüler haben das Symbol verstanden, weil sie das Bild davor gesehen haben? Welche hätten ohne das Bild nur das Verfahren – aber keinen Begriff?

Quellen

• Bruner, J. S. (1966). Toward a Theory of Instruction. Harvard University Press.
• Bruner, J. S. (1960). The Process of Education. Harvard University Press.
• Leong, Y. H., Ho, W. K., & Cheng, L. P. (2015). Concrete-Pictorial-Abstract: Surveying its origins and charting its future. The Mathematics Educator, 16(1), 1–18.
• Marton, F., & Pang, M. F. (2006). On Some Necessary Conditions of Learning. Journal of the Learning Sciences, 15(2), 193–220.