Distributivgesetz – sehen, was sich ändert

Vorbemerkung für die Schüler

Bearbeite die Aufgaben in der gegebenen Reihenfolge. Notiere bei jeder Aufgabe einen Satz: Was hat sich gegenüber der Aufgabe davor geändert? Was hat sich an der Lösung geändert?

Aufgabenfolge: Klammern auflösen

Nr.	Aufgabe	Lösung
1	3 · (x + 2)	3x + 6
2	3 · (x + 4)	3x + 12
3	3 · (x + 5)	3x + 15
4	5 · (x + 5)	5x + 25
5	5 · (x − 5)	5x − 25
6	5 · (x − 3)	5x − 15
7	−5 · (x − 3)	−5x + 15
8	−5 · (3 − x)	−15 + 5x
9	(x + 4) · 2	2x + 8
10	(2x + 4) · 3	6x + 12
11	3 · (2x + 4) − 6	6x + 6
12	3 · (2x − 4) − 6 · (x − 1)	−6

Aufgabenfolge: Klammern setzen (Faktorisieren)

Nr.	Aufgabe	Lösung
13	4x + 8	4 · (x + 2)
14	4x + 12	4 · (x + 3)
15	6x + 12	6 · (x + 2)
16	6x − 12	6 · (x − 2)
17	−6x + 12	−6 · (x − 2) oder 6 · (−x + 2)
18	6x + 9	3 · (2x + 3)
19	12x + 8	4 · (3x + 2)
20	12x − 8y	4 · (3x − 2y)

Reflexionsfragen

1. Vergleiche Aufgabe 1 bis 3. Welche Regel erkennst du, wenn nur die Konstante in der Klammer wächst?
2. In Aufgabe 7 steht ein Minus vor der Klammer. Vergleiche mit Aufgabe 6. Was ist die “schwierige Stelle”?
3. Aufgabe 8 ist trickreich. Versuche, das Ergebnis mit zwei verschiedenen Wegen zu erreichen.
4. Aufgaben 13 bis 20 gehen in die andere Richtung als 1 bis 12. Was ändert sich dabei in deinem Vorgehen?
5. In Aufgabe 12 ist das Endergebnis eine Zahl, kein Term mit x. Wie kann das sein?

Didaktischer Kommentar

Was variiert in der ersten Folge?

Die Aufgaben sind so geordnet, dass jeweils nur ein Aspekt verändert wird:

• 1 → 2 → 3: Nur die Konstante in der Klammer wächst. Schüler sehen die multiplikative Struktur direkt: Verdopplung der Konstanten verdoppelt den hinteren Summanden, der Term in x bleibt gleich.
• 3 → 4: Der Faktor vor der Klammer wechselt. Schüler beobachten, dass beide Summanden multipliziert werden – die häufigste Lehrleerstelle ist hier die Annahme, der Faktor wirke nur auf einen der beiden Klammerinhalte.
• 4 → 5: Vorzeichen in der Klammer wechselt. Vorbereitung auf die spätere Vorzeichenarbeit.
• 6 → 7: Vorzeichen vor der Klammer. Kritische Stelle. Hier vergessen Schüler oft, dass auch der zweite Summand sein Vorzeichen ändert.
• 7 → 8: Reihenfolge in der Klammer. Schüler erkennen, dass (3 − x) nicht dasselbe ist wie (x − 3).
• 8 → 9: Faktor hinter der Klammer. Stützt das Verständnis der Kommutativität der Multiplikation.
• 10 → 11: Distributivgesetz mit anschließender Subtraktion einer Konstante – Übergang zur Termvereinfachung.
• 12: Höhepunkt. Beide Klammern müssen aufgelöst und zusammengefasst werden; das x fällt weg, das Ergebnis ist eine Konstante. Diese “Überraschung” ist pädagogisch wertvoll.

Was variiert in der zweiten Folge?

Das Ausklammern ist die Umkehrung. Hier ist die zentrale Frage: Welcher gemeinsame Faktor steckt in beiden Summanden?

• 13 → 14 → 15: Schüler sehen, dass der ausgeklammerte Faktor immer der größte gemeinsame Teiler der Koeffizienten ist.
• 15 → 16: Vorzeichenwechsel im zweiten Summanden – Schüler erleben, dass das Vorzeichen innerhalb der Klammer landet.
• 16 → 17: Vorzeichenwechsel im ersten Summanden. Hier gibt es zwei mögliche Lösungen, beide korrekt – ein guter Anlass für die Frage: “Welche Form ist wann praktisch?”
• 18 → 19: Wechselnder gemeinsamer Faktor (3 statt 4 statt 6). Die Schüler müssen den ggT aktiv suchen.
• 19 → 20: Übergang zu zwei Variablen.

Was Schüler typischerweise falsch machen

• Bei Aufgabe 7: Klammer wird nur “aufgelöst”, das Vorzeichen vor der Klammer wird ignoriert. Häufiges Ergebnis: −5x − 3 statt −5x + 15.
• Bei Aufgabe 8: Reihenfolge in der Klammer wird nicht beachtet. Häufiges Ergebnis: −15 − 5x statt −15 + 5x.
• Bei Aufgabe 17: Schüler schreiben 6 · (−x + 2) und merken nicht, dass diese Form korrekt ist. Sie “korrigieren” zu −6 · (x + 2) und produzieren so einen Folgefehler.

Möglicher Anschluss

• Diagnose-Quiz zu Vorzeichenfehlern bei Klammern (siehe /quizzes).
• Aufgabenfolge zum Multiplizieren von Klammern: (x + 2)(x + 3).