Terme umformen – sehen, was sich ändert

Vorbemerkung für die Schüler

Bearbeite die Aufgaben in der gegebenen Reihenfolge. Notiere bei jeder Aufgabe einen Satz: Was hat sich gegenüber der Aufgabe davor geändert? Was hat sich an der Lösung geändert?

Folge A: Klammern auflösen

Folge B: Klammern setzen (Faktorisieren)

Folge C: Zusammenfassen, was zusammengehört

Frage nach Nr. 26: Von Nr. 22 zu Nr. 23 wird aus einem Summanden ein $b$. Warum lässt sich das Ergebnis danach nicht mehr zu einem einzigen Term zusammenfassen?

Folge D: Das Minus vor der Klammer

Frage nach Nr. 32: Zwischen Nr. 27 und Nr. 28 ändert sich ein einziges Zeichen. Wie viele Vorzeichen im Ergebnis ändern sich dadurch?

Folge E: Zwei Klammern

Frage nach Nr. 38: Nr. 34 und Nr. 35 unterscheiden sich in einem einzigen Zeichen, ihre Ergebnisse aber um 8. Woher kommt die 8?

Reflexionsfragen

1. Vergleiche Aufgabe 1 bis 3. Welche Regel erkennst du, wenn nur die Konstante in der Klammer wächst?
2. In Aufgabe 7 steht ein Minus vor der Klammer. Vergleiche mit Aufgabe 6. Was ist die “schwierige Stelle”?
3. Aufgabe 8 ist trickreich. Versuche, das Ergebnis mit zwei verschiedenen Wegen zu erreichen.
4. Aufgaben 13 bis 20 gehen in die andere Richtung als 1 bis 12. Was ändert sich dabei in deinem Vorgehen?
5. In Aufgabe 12 ist das Endergebnis eine Zahl, kein Term mit $x$. Wie kann das sein?
6. In Folge C wird aus $3a + 4a$ ein einziger Term, aus $3a + 4b$ nicht. Erkläre den Unterschied jemandem, der die Aufgabe nicht gesehen hat.
7. Vergleiche Aufgabe 27 und 28. Ein Zeichen ändert sich – wie viele Zeichen ändern sich im Ergebnis?
8. Aufgabe 28 und Aufgabe 34 haben dieselbe Schwierigkeit. Beschreibe sie in einem Satz, ohne eine einzige Zahl zu nennen.

Didaktischer Kommentar

Was variiert in Folge A?

Die Aufgaben sind so geordnet, dass jeweils nur ein Aspekt verändert wird:

• 1 → 2 → 3: Nur die Konstante in der Klammer wächst. Schüler sehen die multiplikative Struktur direkt: Verdopplung der Konstanten verdoppelt den hinteren Summanden, der Term in $x$ bleibt gleich.
• 3 → 4: Der Faktor vor der Klammer wechselt. Schüler beobachten, dass beide Summanden multipliziert werden – die häufigste Lehrleerstelle ist hier die Annahme, der Faktor wirke nur auf einen der beiden Klammerinhalte.
• 4 → 5: Vorzeichen in der Klammer wechselt. Vorbereitung auf die spätere Vorzeichenarbeit.
• 6 → 7: Vorzeichen vor der Klammer. Kritische Stelle. Hier vergessen Schüler oft, dass auch der zweite Summand sein Vorzeichen ändert.
• 7 → 8: Reihenfolge in der Klammer. Schüler erkennen, dass $(3 - x)$ nicht dasselbe ist wie $(x - 3)$.
• 8 → 9: Faktor hinter der Klammer. Stützt das Verständnis der Kommutativität der Multiplikation.
• 10 → 11: Distributivgesetz mit anschließender Subtraktion einer Konstante – Übergang zur Termvereinfachung.
• 12: Höhepunkt. Beide Klammern müssen aufgelöst und zusammengefasst werden; das $x$ fällt weg, das Ergebnis ist eine Konstante. Diese “Überraschung” ist pädagogisch wertvoll.

Was variiert in Folge B?

Das Ausklammern ist die Umkehrung. Hier ist die zentrale Frage: Welcher gemeinsame Faktor steckt in beiden Summanden?

• 13 → 14 → 15: Schüler sehen, dass der ausgeklammerte Faktor immer der größte gemeinsame Teiler der Koeffizienten ist.
• 15 → 16: Vorzeichenwechsel im zweiten Summanden – Schüler erleben, dass das Vorzeichen innerhalb der Klammer landet.
• 16 → 17: Vorzeichenwechsel im ersten Summanden. Hier gibt es zwei mögliche Lösungen, beide korrekt – ein guter Anlass für die Frage: “Welche Form ist wann praktisch?”
• 18 → 19: Wechselnder gemeinsamer Faktor (3 statt 4 statt 6). Die Schüler müssen den ggT aktiv suchen.
• 19 → 20: Übergang zu zwei Variablen.

Was variiert in Folge C?

Diese Folge kommt vor dem Minus vor der Klammer, weil das Zusammenfassen die Voraussetzung dafür ist. Variiert wird, wie viele verschiedene Variablen im Spiel sind:

• 21 → 22: ein weiterer Summand derselben Variablen. Das Ergebnis bleibt ein einziger Term – der Regelfall, an dem die Schüler sich festhalten.
• 22 → 23: aus dem mittleren Summanden wird ein $b$. Jetzt bleiben zwei Terme stehen. Genau hier setzt die Frage am Ende an: Nicht „man darf nicht“, sondern „$a$ und $b$ zählen verschiedene Dinge“.
• 23 → 24: das dritte Glied wechselt die Sorte. Die Schüler müssen sortieren, bevor sie rechnen.
• 24 → 25 → 26: zwei Vorzeichenwechsel hintereinander. Beim Sprung von Nr. 25 zu Nr. 26 wird aus $-3b$ ein $-5b$ – Schüler, die $-4b - b$ als $-4b$ lesen, fallen hier auf.

Eine tragfähige Sprechweise: Terme mit derselben Variablen sind „gleichartig“, nur die lassen sich zusammenfassen. Die Deutung mit Gegenständen („4 Äpfel und 3 Birnen“) trägt in Klasse 7 gut, hält aber später nicht mehr – sagen Sie das gleich dazu.

Was variiert in Folge D?

Das Herzstück der Sammlung, weil hier der häufigste Fehler der Mittelstufe wohnt. Der Aufbau ist bewusst eng:

• 27 → 28: ein Zeichen kippt, aus $+$ wird $-$. Im Ergebnis ändern sich dagegen zwei Vorzeichen: aus $x + 7$ wird $13 - x$. Wer das Minus nur auf den ersten Summanden anwendet, rechnet $10 - x - 3$ und erhält $7 - x$ – und das ist ausgerechnet das Ergebnis von Nr. 29. Die Folge legt den Fehler damit neben genau die Aufgabe, zu der er gehören würde. Beides an die Tafel und mit einer Probezahl prüfen, etwa $x = 1$.
• 28 → 29: Vorzeichen in der Klammer. Der Unterschied zu 27 → 28 ist der eigentliche Lerngegenstand: außen wirkt es auf alles, innen nur auf einen Summanden.
• 29 → 30: die Reihenfolge in der Klammer dreht sich. $(3 - x)$ ist nicht $(x + 3)$.
• 30 → 31: ein Faktor tritt zwischen Minus und Klammer. Jetzt greifen Distributivgesetz und Vorzeichenregel gleichzeitig.
• 31 → 32: wieder nur ein Zeichen in der Klammer – und aus $+2x$ wird $-2x$.

Die Probe mit einer eingesetzten Zahl ist hier keine Zugabe, sondern das Mittel der Wahl: Sie entscheidet den Streit, ohne dass die Lehrkraft ihn entscheiden muss.

Was variiert in Folge E?

Zwei Klammern nebeneinander – die Zusammenführung von A, C und D:

• 33 → 34: aus Plus wird Minus zwischen den Klammern. Derselbe Sprung wie 27 → 28, jetzt mit einem Term in der Klammer statt einer Zahl davor.
• 34 → 35: Vorzeichen in der zweiten Klammer. Das Ergebnis springt von $x - 1$ auf $x + 7$ – acht Einheiten für ein Zeichen.
• 35 → 36: Vorzeichen in der ersten Klammer, die vom Minus gar nicht betroffen ist. Der Sprung ist mit sechs Einheiten kleiner. Das lohnt den Vergleich: Ein Zeichen in der hinteren Klammer wiegt schwerer als eines in der vorderen.
• 36 → 37 → 38: erst vor der ersten, dann auch vor der zweiten Klammer ein Faktor. Nr. 38 verlangt alles auf einmal.

Die Abschlussfrage zielt auf 34 → 35: Aus $-(x + 4)$ wird $-(x - 4)$, also aus $-4$ ein $+4$ – eine Änderung um 8, nicht um 4. Dass ein Vorzeichenwechsel den doppelten Abstand macht, ist eine Einsicht, die weit über diese Folge hinaus trägt.

Was Schüler typischerweise falsch machen

• Bei Aufgabe 7: Klammer wird nur “aufgelöst”, das Vorzeichen vor der Klammer wird ignoriert. Häufiges Ergebnis: $-5x - 3$ statt $-5x + 15$.
• Bei Aufgabe 8: Reihenfolge in der Klammer wird nicht beachtet. Häufiges Ergebnis: $-15 - 5x$ statt $-15 + 5x$.
• Bei Aufgabe 17: Schüler schreiben $6 \cdot (-x + 2)$ und merken nicht, dass diese Form korrekt ist. Sie “korrigieren” zu $-6 \cdot (x + 2)$ und produzieren so einen Folgefehler.
• Bei Aufgabe 23: $3a + 4b + a$ wird zu $8ab$ oder $7a + b$ zusammengezogen. Beides zeigt dieselbe Vorstellung – Buchstaben seien austauschbar.
• Bei Aufgabe 28: nur das erste Vorzeichen wird geändert, Ergebnis $13 + x$. Der häufigste Fehler der ganzen Sammlung.
• Bei Aufgabe 34: die zweite Klammer wird abgeschrieben statt subtrahiert, Ergebnis $3x + 7$ – dasselbe wie Nr. 33, aber aus dem falschen Grund. Wer hier prüft, ob zwei gleiche Ergebnisse denselben Weg hatten, findet den Fehler.

Reihenfolge der Folgen. A und B gehören zusammen (Hin- und Rückrichtung), C steht danach als Voraussetzung, D ist die Schlüsselstunde, E die Zusammenführung. Wer wenig Zeit hat, nimmt A und D – das ist die kürzeste Strecke zum eigentlichen Stolperstein.

Möglicher Anschluss

• Diagnostische Fragen zu Vorzeichenfehlern bei Klammern (siehe /quizzes).
• Aufgabenfolge zum Multiplizieren von Klammern: $(x + 2)(x + 3)$.
• Der Stundenverlauf zum Minus vor der Klammer nimmt Folge D als Kern.