Fehlvorstellungen sind keine Defizite – sie sind Daten

In meinem zweiten Referendariatsjahr habe ich einen Test korrigiert, in dem siebzehn von achtundzwanzig Schülerinnen und Schülern zur Aufgabe 1/3 + 1/4 die Lösung 2/7 aufgeschrieben hatten. Mein erster Reflex war Ärger: “Das hatten wir doch! Wie kann das sein?”

Die Antwort: Genau deshalb war es so. Die Klasse hatte eine vollständig konsistente Theorie aufgebaut – nur eben die falsche. Sie addierte Brüche, indem sie Zähler und Nenner getrennt addierte. Das ist keine Schludrigkeit. Das ist eine Hypothese.

Fehler sind keine Zufallsabweichungen

In der medizinischen Diagnostik unterscheidet man Symptome von Krankheiten. Ein Symptom ist sichtbar, eine Krankheit ist die zugrundeliegende Struktur. Niemand würde Fieber alleine behandeln, ohne zu fragen, woher es kommt.

Fehler in Mathearbeiten sind Symptome. Die zugrundeliegende Struktur ist eine Vorstellung – manchmal aus früherem Lernen mitgeschleppt, manchmal eigenständig konstruiert, manchmal in der Stunde davor entstanden. Wer Fehler nur durch rote Striche und Punktabzug “behandelt”, behandelt Symptome.

Die englischsprachige Forschung spricht hier von misconceptions. Der deutsche Begriff Fehlvorstellung trifft es noch besser, weil er den konstruktiven Charakter mitführt: Es ist eine Vorstellung – sie hat eine innere Logik, sie funktioniert in manchen Fällen, sie hat Wurzeln. Sie ist nicht die Abwesenheit von Wissen, sondern eine Form von Wissen.

Drei Beispiele, die jeder kennt

1. “Wenn ich eine Zahl mit einem Bruch multipliziere, wird sie kleiner.” Stimmt für Brüche zwischen 0 und 1. Die Schüler haben aus zwölf Beispielen eine Regel abgeleitet, die in elf davon stimmt. Das ist gutes induktives Schließen – nur reicht die Stichprobe nicht.

2. “Bei −3 − 4 muss ich die Beträge addieren und ein Minus davorsetzen.” Stimmt im Spezialfall. Aber bei −3 − (−4) greift das Schema nicht mehr. Der Schüler hat eine Regel verinnerlicht, die nicht das Konzept (Subtraktion als Addition der Gegenzahl), sondern die Erscheinungsform abbildet.

3. “Wenn f linear ist und f(2) = 6, dann ist f(4) = 12.” Funktioniert für Proportionalität, nicht für lineare Funktionen mit Achsenabschnitt. Schüler übertragen ein gut gelerntes Schema (Dreisatz) auf einen Bereich, in dem es nicht mehr trägt.

In allen drei Fällen ist der Fehler nicht zu wenig Mathematik, sondern eine Art von Mathematik, die in einem engeren Bereich richtig war.

Wenn man so liest, ändert sich der Unterricht

Drei Konsequenzen ergeben sich aus dieser Sicht.

Erste Konsequenz: Die Diagnose vor der Therapie. Wenn ich nicht weiß, welche Vorstellung mein Gegenüber hat, kann ich auch nicht zielgerichtet erklären. Eine bloße Wiederholung der “richtigen” Erklärung trifft die Wurzel selten. Ein Schüler, der 2/7 rechnet, braucht keine erneute Erklärung der Bruchaddition – er braucht ein Erlebnis, das seine Theorie zum Bröckeln bringt. Etwa: “Ist 1/2 + 1/2 gleich 2/4? Was sagt dein Bauchgefühl?” Wenn er einsieht, dass 1/2 + 1/2 = 1 ist, aber 2/4 = 1/2 ist, hat seine Theorie ein Problem – und das ist der Lernanlass.

Zweite Konsequenz: Distraktoren als Werkzeug. Multiple-Choice-Aufgaben sind in Deutschland traditionell verpönt. Zu Recht, wenn sie reines Raten erlauben. Aber als diagnostisches Werkzeug – mit Distraktoren, die jeweils eine typische Fehlvorstellung repräsentieren – sind sie überlegen. Die Verteilung der Antworten in einer Klasse zeigt mir mehr als zwanzig korrekturierte Hausaufgabenhefte. Mehr dazu in den Diagnose-Fragen auf dieser Seite.

Dritte Konsequenz: Die Klassenarbeit als Lernchance. Wenn ich eine Arbeit nicht nur als Bewertung verstehe, sondern als kollektive Sichtbarmachung von Vorstellungen, dann ist der spannendste Moment nicht die Notenliste – sondern die nächste Stunde, in der ich die häufigsten Fehler aufgreife und gemeinsam dekonstruiere. Dafür braucht es eine Arbeitsatmosphäre, in der falsche Antworten nicht beschämen, sondern interessieren. Das ist Kulturarbeit, nicht Methodik.

Eine kleine Übung für die nächste Korrektur

Beim nächsten Stapel Klassenarbeiten: Lies einen falschen Lösungsweg dreimal. Frag dich nicht: “Was hat der Schüler falsch gemacht?” Sondern: “Welche Theorie hat dieser Schüler in diesem Moment angewandt? Wo war diese Theorie schon einmal richtig? Wo bricht sie?”

Du wirst feststellen, dass viele Fehler nicht mehr willkürlich erscheinen. Manche werden dich sogar beeindrucken.

Quellen und Anregungen

• Smith, J. P., diSessa, A. A., & Roschelle, J. (1993). Misconceptions reconceived: A constructivist analysis of knowledge in transition. Journal of the Learning Sciences, 3(2), 115–163.
• Vom Hofe, R. (1995). Grundvorstellungen mathematischer Inhalte. Spektrum.
• Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical Problem Solving. Academic Press.