Strahlensätze – zwei Figuren, eine Idee

Vorbemerkung für die Schüler

Die Strahlensätze beschreiben, was passiert, wenn zwei Geraden (die Strahlen) sich in einem Punkt Z schneiden und durch zwei parallele Geraden geschnitten werden.

Es gibt zwei Standardfiguren:

• V-Figur: Beide Parallelen liegen auf derselben Seite des Schnittpunkts Z. Die Figur sieht aus wie ein V (oder umgekehrtes V).
• X-Figur: Die Parallelen liegen auf gegenüberliegenden Seiten von Z. Die Figur sieht aus wie ein X.

In beiden Fällen gilt der erste Strahlensatz:

ZA / ZA' = ZB / ZB'

(also: die Strecken auf einem Strahl verhalten sich wie die entsprechenden Strecken auf dem anderen.)

Und der zweite Strahlensatz – über die Strecken auf den Parallelen:

AB / A'B' = ZA / ZA' = ZB / ZB'

Die zentrale Operation: Erkenne die Figur, identifiziere die zusammengehörigen Strecken, schreibe das Verhältnis auf, löse die Gleichung.

Folge A: V-Figur, Streckenlänge bestimmen

Der Schnittpunkt Z liegt außen, beide Parallelen schneiden beide Strahlen auf derselben Seite. Gegeben sind drei Strecken; berechne die vierte.

Nr.	Gegeben	Gesucht	Lösung
1	ZA = 4, ZA’ = 12, ZB = 5	ZB’	ZB’ = 15 (denn 4/12 = 5/15)
2	ZA = 3, ZA’ = 9, ZB = 4	ZB’	ZB’ = 12
3	ZA = 6, ZA’ = 10, ZB = 9	ZB’	ZB’ = 15
4	ZA = 5, ZA’ = 12, ZB = 10	ZB’	ZB’ = 24
5	ZA = 4, ZA’ = 14, ZB = 6	ZB’	ZB’ = 21
6	ZA = 7, ZA’ = 21, AB = 4	A’B’	A’B’ = 12 (zweiter Strahlensatz)

Folge B: X-Figur, Streckenlänge bestimmen

Hier liegt der Schnittpunkt Z zwischen den beiden Parallelen. Die Figur sieht aus wie ein X.

Nr.	Gegeben	Gesucht	Lösung
7	ZA = 4, ZA’ = 6, ZB = 8	ZB’	ZB’ = 12
8	ZA = 3, ZA’ = 9, ZB = 5	ZB’	ZB’ = 15
9	ZA = 6, ZA’ = 10, AB = 9	A’B’	A’B’ = 15
10	ZA = 5, ZB = 8, ZA’ = 15	ZB’	ZB’ = 24
11	ZA = 4, AB = 6, ZA’ = 12	A’B’	A’B’ = 18

Folge C: Welche Figur ist es? (Erkennen vor dem Rechnen)

In jeder Aufgabe wird eine Skizze beschrieben. Entscheide zuerst: V- oder X-Figur? Welche Strecken gehören zusammen? Dann rechne.

Nr.	Beschreibung	Figur	Lösung
12	Zwei Geraden schneiden sich in Z. Ein Lichtstrahl (Parallele 1) trifft beide Strahlen 4 cm bzw. 6 cm weit von Z entfernt. Eine zweite Parallele schneidet den ersten Strahl 12 cm hinter Z.	V (beide Parallelen auf derselben Seite, je weiter weg)	Zweite Parallele schneidet den zweiten Strahl bei 12·(6/4) = 18 cm.
13	Zwei Geraden kreuzen sich. Auf einer Seite liegt eine Parallele, die beide Strahlen bei 5 cm und 7 cm von Z trifft. Auf der anderen Seite trifft eine zweite Parallele den ersten Strahl bei 10 cm.	X	Zweite Parallele trifft den zweiten Strahl bei 10·(7/5) = 14 cm.
14	Ein Wanderer steht im Punkt Z. Er sieht auf 100 m Entfernung einen Baum, dessen Schatten zwei Stäben gleicher Höhe entspricht. Die Stäbe sind 1 m bzw. 4 m vom Wanderer entfernt.	V	Stäbe haben 1 m und 4 m. Der Höhen-Stab am Baum: 100·(Höhe / 4) — Verhältnis bleibt.
15	Zwei sich kreuzende Geraden, der Schnittpunkt liegt zwischen zwei parallelen Wegen. Die Wegabstände sind 12 m und 18 m. Wie lang ist der zweite Weg, wenn der erste 24 m misst?	X	24·(18/12) = 36 m.

Folge D: Strahlensatz oder nicht?

Diagnostische Variation. In manchen Aufgaben gilt der Strahlensatz, in anderen nicht – weil eine Voraussetzung verletzt ist.

Nr.	Aufgabe	Gilt Strahlensatz?	Begründung
16	Zwei Geraden, die sich in Z schneiden, mit zwei Parallelen.	Ja	Standardvoraussetzung erfüllt.
17	Zwei Geraden, zwei nicht-parallele Schnittlinien.	Nein	Ohne Parallelität gilt der Satz nicht. Das Verhältnis ist nicht garantiert.
18	Ein gleichschenkliges Dreieck mit zwei Parallelen zu der Basis.	Ja	Die zwei Schenkel sind die Strahlen, die Spitze ist Z, die Basis-Parallelen sind die Schnittgeraden.
19	Drei Geraden, die durch einen Punkt Z gehen, mit einer Parallele, die alle drei schneidet.	Variante des Strahlensatzes	Erweiterung: Verhältnisse zwischen allen drei Strahlen bleiben erhalten.
20	Zwei parallele Geraden, die durch eine dritte schräg geschnitten werden.	Nein im klassischen Sinne	Es gibt keinen Schnittpunkt Z. Hier wirkt nicht der Strahlensatz, sondern Stufen-/Wechselwinkel oder ähnliches.

Folge E: Anwendungen – Höhe oder Breite messen, ohne hinzukommen

Klassische Anwendungen: Wie hoch ist ein Baum? Wie breit ein Fluss? Hier wird der Strahlensatz zum Werkzeug.

Nr.	Aufgabe	Lösungsidee
21	Eine Stange von 1,5 m Höhe wirft 2 m Schatten. Ein Baum daneben wirft 14 m Schatten. Wie hoch ist der Baum?	V-Figur: Sonnenstrahlen sind parallel. 1,5/2 = h/14, also h = 10,5 m.
22	Du stellst dich 5 m vor einen Spiegel auf den Boden. Im Spiegel siehst du gerade die Spitze einer Mauer. Du bist 1,8 m groß. Die Mauer ist 12 m vom Spiegel entfernt. Wie hoch ist die Mauer?	X-Figur über den Spiegelpunkt: 1,8/5 = h/12, also h = 4,32 m.
23	Ein Punkt B ist 30 m von dir entfernt, ein Punkt B’ liegt in gleicher Richtung, weiter weg. Du markierst auf dem Boden Punkte A (2 m vor dir) und A’ (10 m vor dir) auf einer Geraden parallel zu BB’. Wenn AB = 1,5 m, wie groß ist A’B’?	V-Figur: 2/10 = 1,5/A’B’, also A’B’ = 7,5.
24	Ein Schiff fährt auf einem Fluss. Du stehst am Ufer und peilst es zweimal an: einmal direkt vor dir (Punkt A), einmal weiter unten (Punkt B). Eine Hilfsperson 50 m hinter dir peilt das Schiff zur gleichen Zeit an, einmal mit 25 m Abstand zum Schiff. Wie weit ist das Schiff von dir?	Strahlensatz mit den Sichtlinien als Strahlen.

Reflexionsfragen

1. Vergleiche Aufgabe 1 (V-Figur) und Aufgabe 7 (X-Figur). Was ist mathematisch gleich, was unterscheidet sich in der Skizze?
2. In Folge B wird in Aufgabe 10 der Wert 24 berechnet. Hätte das Ergebnis auch eine Strecke kleiner als ZB sein können? Welche Konstellation müsste dafür vorliegen?
3. In Aufgabe 17 gilt der Strahlensatz nicht. Was wäre die typische Falle, wenn man ihn trotzdem anwendet?
4. In Aufgabe 21 (Baum-und-Stange) wird angenommen, dass die Sonnenstrahlen parallel sind. Warum ist das eine zulässige Annahme?
5. In Folge D, Aufgabe 19: Wenn drei Strahlen von Z ausgehen und alle von einer einzigen Parallele geschnitten werden – wie viele Verhältnisse gibt es dann zwischen welchen Strecken?

Didaktischer Kommentar

Der Kern. Der Strahlensatz ist mathematisch nichts Neues über die Ähnlichkeit von Dreiecken hinaus – die V- und X-Figur sind beide Spezialfälle ähnlicher Dreiecke. Was den Strahlensatz didaktisch wertvoll macht, ist seine figürliche Klarheit: Schüler sehen den Satz, bevor sie ihn berechnen. Die Schwierigkeit ist nicht der Bruchstrich, sondern das Erkennen der Figur – „welche Strecken sind die zusammengehörigen?”

Was variiert in Folge A? Die Werte ändern sich, die Konfiguration bleibt: V-Figur, immer mit der Frage „die Streckenlänge auf dem zweiten Strahl”. Schüler entwickeln durch Wiederholung ein Gefühl für das Verhältnis-Setup.

Was variiert in Folge B? Die Figur wechselt zur X-Form. Schüler sehen: Die Formel bleibt strukturell identisch. Das ist die Pointe – nicht zwei verschiedene Sätze, sondern ein Satz mit zwei Anwendungsformen.

Was variiert in Folge C? Hier müssen die Schüler die Figur selbst identifizieren. Das Erkennen wird zur Aufgabe. Die meisten Klassenarbeitsfehler entstehen genau hier: Schüler haben den Satz auswendig, aber sehen ihn nicht in der konkreten Skizze.

Was variiert in Folge D? Diagnostisch wertvoll: Hier wird die Voraussetzung (Parallelität) explizit problematisiert. Schüler entdecken, dass der Satz keine Universal-Formel ist, sondern an Bedingungen geknüpft – was im Alltag oft übersehen wird.

Was variiert in Folge E? Anwendungsmodellierung. Aus dem Sachkontext (Schatten, Spiegel, Sichtlinie) muss zuerst die V- oder X-Figur extrahiert werden. Diese Übersetzung ist die anspruchsvollste Operation – sie verbindet Geometrie mit dem realen Raum.

Häufige Fehlvorstellungen

• „Beim Strahlensatz dividiere ich immer ZA / ZB.” Nein – die Verhältnisse setzen gleichliegende Strecken auf den zwei verschiedenen Strahlen in Beziehung. Innerhalb desselben Strahls werden Strecken nicht ins Verhältnis gesetzt.
• „Bei einer V-Figur wird addiert, bei einer X-Figur subtrahiert.” Nein. Die Verhältnisformel ist in beiden Fällen identisch. Was sich unterscheidet, ist allein, wie die Strecken vom Schnittpunkt aus liegen.
• „Ohne Parallelität gilt der Strahlensatz auch.” Falsch. Die Parallelität ist die zentrale Voraussetzung. Ohne sie gibt es keine Garantie für gleiche Verhältnisse.
• „Der Strahlensatz funktioniert nur in Skizzen, nicht im echten Raum.” Der Strahlensatz funktioniert überall, wo die Voraussetzungen erfüllt sind – auch beim Schatten, beim Spiegel, beim Theodolit.

Möglicher Anschluss

• Aufgabenfolge zur Ähnlichkeit von Dreiecken (Erweiterung des Verhältnisgedankens).
• Diagnose-Quiz zu typischen Strahlensatz-Fehlern (Figur-Erkennung, Voraussetzungsverletzung).
• Erweiterung in Klasse 10: Das Strahlensatz-Theorem in der analytischen Geometrie (Streckenverhältnisse mit Vektoren).