Quadratische Gleichungen · Klasse 9/10

Quadratische Gleichungen mit dem Satz vom Nullprodukt

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Für die Lehrkraft · in dreißig Sekunden

Die Schüler bringen Gleichungen auf Faktorform – weil ein Produkt genau dann null ist, wenn ein Faktor null ist.

Was variiert: Folge A steht schon in Faktorform, Folge B klammert aus, Folge C nutzt die binomische Form, Folge D bringt erst auf null.

Stolperstelle: Es wird durch $x$ geteilt und dabei eine Lösung verloren.

Ablauf

1. Vorbemerkung austeilen oder projizieren – zwei Minuten lesen lassen.
2. Die Folgen der Reihe nach. Bei jeder einzelnen Aufgabe derselbe Takt: erst allein Reflect – Expect – Check – Explain, dann eine Frage zu zweit, dann der Zusammenhang im Plenum. Drei bis fünf Minuten pro Aufgabe.
- · Folge A: Bereits in Faktorform – 8 Aufgaben
- · Folge B: Durch Ausklammern in Faktorform bringen – 6 Aufgaben
- · Folge C: Binomische Form – 6 Aufgaben
- · Folge D: Erst auf null bringen, dann faktorisieren – 5 Aufgaben
3. Reflexionsfragen – schriftlich oder im Gespräch.

Was Sie sagen können

„Steht hier schon ein Produkt – oder muss erst eines entstehen?“
„Bevor du rechnest: Wie viele Lösungen erwartest du?“
„Wer erklärt, warum Teilen durch $x$ eine Lösung verschluckt?“

Kommentar und Lösungen stehen mit auf dieser Seite – der Teil für die Klasse ist unten eigens markiert. Beim Drucken bleibt der Lehrerteil weg. Kommentar mitdrucken

Vorbereitung · zum Ausdrucken Arbeitsblatt mit Platz zum Rechnen, dahinter das Lösungsblatt. Enthält alle Folgen mit allen Spalten. Arbeitsblatt Regie · zum Projizieren Aufgabe für Aufgabe an die Wand, im Takt Reflect – Expect – Check – Explain. Die vorherige Aufgabe bleibt mit ihrer Lösung stehen. Auf der Folie: Folge A, Folge B, Folge C, Folge D. Folge projizieren

Vorbemerkung für die Schüler

Der Satz vom Nullprodukt sagt: Wenn ein Produkt null ergibt, muss mindestens einer der Faktoren null sein. Formal: $a \cdot b = 0 ⟺ a = 0 oder b = 0$ .

Das ist ein extrem mächtiger Satz, weil er eine quadratische Gleichung in zwei lineare zerlegt – sobald wir die Gleichung als Produkt schreiben können. Diese Aufgabenfolge übt genau das: das Schreiben einer quadratischen Gleichung als Produkt.

Folge A: Bereits in Faktorform

Die Gleichung steht schon als Produkt. Du musst nur den Satz anwenden.

Nr.	Aufgabe	Lösungen
1	$(x - 3)(x - 5) = 0$	x = 3 oder x = 5
2	$(x - 3)(x + 5) = 0$	x = 3 oder x = −5
3	$(x + 3)(x + 5) = 0$	x = −3 oder x = −5
4	$(x - 3)(2x - 10) = 0$	x = 3 oder x = 5
5	$2(x - 3)(x - 5) = 0$	x = 3 oder x = 5
6	$x(x - 5) = 0$	x = 0 oder x = 5
7	$(x - 3)^{2} = 0$	x = 3 (doppelt)
8	$(x - 3)(x - 3)(x + 1) = 0$	x = 3 (doppelt) oder x = −1

Folge B: Durch Ausklammern in Faktorform bringen

Die Gleichung hat keinen konstanten Term – also lässt sich $x$ ausklammern.

Nr.	Aufgabe	Faktorform	Lösungen
9	$x^{2} - 5x = 0$	$x(x - 5) = 0$	x = 0 oder x = 5
10	$x^{2} + 5x = 0$	$x(x + 5) = 0$	x = 0 oder x = −5
11	$2x^{2} - 10x = 0$	$2x(x - 5) = 0$	x = 0 oder x = 5
12	$3x^{2} + 12x = 0$	$3x(x + 4) = 0$	x = 0 oder x = −4
13	$x^{2} - 7x = 0$	$x(x - 7) = 0$	x = 0 oder x = 7
14	$-4x^{2} + 8x = 0$	$-4x(x - 2) = 0$	x = 0 oder x = 2

Folge C: Binomische Form

Die linke Seite ist eine binomische Formel – als Quadrat schreiben.

Nr.	Aufgabe	Faktorform	Lösungen
15	$x^{2} - 6x + 9 = 0$	$(x - 3)^{2} = 0$	x = 3 (doppelt)
16	$x^{2} + 6x + 9 = 0$	$(x + 3)^{2} = 0$	x = −3 (doppelt)
17	$x^{2} - 10x + 25 = 0$	$(x - 5)^{2} = 0$	x = 5 (doppelt)
18	$x^{2} - 9 = 0$	$(x - 3)(x + 3) = 0$	x = 3 oder x = −3
19	$x^{2} - 25 = 0$	$(x - 5)(x + 5) = 0$	x = 5 oder x = −5
20	$4x^{2} - 9 = 0$	$(2x - 3)(2x + 3) = 0$	x = 1,5 oder x = −1,5

Folge D: Erst auf null bringen, dann faktorisieren

Achtung: Der Satz vom Nullprodukt funktioniert nur, wenn die Gleichung die Form $... = 0$ hat.

Nr.	Aufgabe	Schritt 1 (= 0)	Faktorform	Lösungen
21	$x^{2} = 4x$	$x^{2} - 4x = 0$	$x(x - 4) = 0$	x = 0 oder x = 4
22	$x^{2} = 9$	$x^{2} - 9 = 0$	$(x - 3)(x + 3) = 0$	x = 3 oder x = −3
23	$x^{2} + 6x = -9$	$x^{2} + 6x + 9 = 0$	$(x + 3)^{2} = 0$	x = −3 (doppelt)
24	$(x - 2)^{2} = 16$	$(x - 2)^{2} - 16 = 0$	$(x - 6)(x + 2) = 0$	x = 6 oder x = −2
25	$x(x - 5) = 6$	$x^{2} - 5x - 6 = 0$	$(x - 6)(x + 1) = 0$	x = 6 oder x = −1

Reflexionsfragen

Vergleiche Aufgabe 1, 9 und 21. Sie haben dieselbe Lösung – was haben sie als Gleichung gemeinsam, was unterscheidet sie?
In Aufgabe 7 ist x = 3 eine doppelte Lösung. Was bedeutet das geometrisch (denke an die Parabel)?
Aufgabe 25 sieht aus wie ein Fall für den Satz vom Nullprodukt – die linke Seite ist sogar schon ein Produkt. Warum funktioniert es trotzdem nicht direkt?
In Folge B fällt etwas auf: $x = 0$ ist immer eine Lösung. Warum? Was ist die strukturelle Eigenschaft der Gleichungen in Folge B?
Welche der vier Folgen war für dich am leichtesten? Welche hat den größten Aha-Moment gebracht?

Didaktischer Kommentar

Der Kern. Der Satz vom Nullprodukt ist – wenn die Schüler ihn einmal verstanden haben – die natürliche Methode für quadratische Gleichungen. Die p-q-Formel ist eine Notlösung für Fälle, in denen das Faktorisieren nicht direkt gelingt. Wenn man umgekehrt die Schüler zuerst auf die p-q-Formel trainiert, lernen sie, jede quadratische Gleichung mit derselben Maschine zu erschlagen – und sehen oft jahrelang nicht, dass eine Gleichung wie $x^{2} - 5x = 0$ in zwei Sekunden im Kopf zu lösen ist.

Was variiert in Folge A? Hier ist die Faktorform schon gegeben; das einzige Element, das sich von Aufgabe zu Aufgabe ändert, sind die Vorzeichen in den Klammern (Aufg. 1–3) und dann die Form der Faktoren (Aufg. 4–8). Schüler sehen: Die Methode ist immer dieselbe; was sich ändert, ist die Form, in der die Faktoren auftreten.

Was variiert in Folge B? Der konstante Term ist immer null. Schüler entdecken: Wenn das stimmt, kann man immer $x$ ausklammern, und $x = 0$ ist garantiert eine der Lösungen. Aufgabe 14 mit dem negativen Vorfaktor ist eine Hürde: Manche Schüler glauben, sie müssten erst das Vorzeichen “wegmachen” und vergessen dabei, dass das die Gleichung nicht ändert.

Was variiert in Folge C? Hier wird das Erkennen der binomischen Formel geübt. Aufgabe 18–20 ist diagnostisch wichtig: Eine Gleichung wie $x^{2} - 9 = 0$ lösen viele Schüler über Wurzelziehen ( $x = ±3$ ). Das ist nicht falsch, aber pädagogisch verpasst es eine Chance: Sie ist auch ein Fall für den Satz vom Nullprodukt mit der dritten binomischen Formel. Beide Wege zu sehen, ist mehr wert als nur einer.

Was variiert in Folge D? Hier wird das Umformen vor dem Faktorisieren geübt. Aufgabe 25 ist die Falle: Die linke Seite ist schon ein Produkt, aber die rechte Seite ist nicht null – also bringt der Satz vom Nullprodukt direkt nichts. Schüler, die hier sofort $x = 0$ oder $x - 5 = 6$ schreiben, machen einen klassischen Fehler. Dies ist ein “fast schon”-Moment, an dem sich die Methode schärft.

Häufige Fehlvorstellungen

” $x^{2} = 4x$ , also $x = 4$ .” Hier wird durch $x$ geteilt, ohne zu bedenken, dass $x = 0$ ebenfalls eine Lösung ist. Durch eine Variable darf man nur teilen, wenn man sicher weiß, dass sie nicht null ist.
” $x^{2} - 9 = 0$ , also $x = 3$ .” Die negative Lösung wird vergessen. Hilft: Auf die binomische Form $(x-3)(x+3)$ kommen, dann wird die Symmetrie sichtbar.
” $(x - 6)(x + 2) = 0$ , also $x = 6$ und $x = -2$ .” Der “und”/“oder”-Unterschied. Streng genommen ist es ein “oder”; eine Gleichung mit zwei Lösungen heißt: x kann entweder das eine oder das andere sein.

Möglicher Anschluss

Aufgabenfolge zur p-q-Formel (mit Verbindung: Welche dieser Aufgaben hätten wir auch ohne p-q-Formel lösen können?).
Diagnostische Fragen zu typischen Fehlern beim Faktorisieren.
Anwendungsaufgaben aus der Geometrie (Flächengleichungen) und Physik (freier Fall).