Bruchaddition – vom gleichen zum gemeinsamen Nenner

Vorbemerkung für die Schüler

Zusammenzählen kann man nur gleich große Teile. Zwei Achtel und drei Achtel sind fünf Achtel – das ist Zählen. Bei einem Halben und einem Drittel geht das nicht, weil die Teile verschieden groß sind. Also macht man sie zuerst gleich groß. Das ist alles, was Erweitern bedeutet.

Bei jeder Aufgabe steht deshalb die gleiche Frage am Anfang: In wie viele gleich große Teile passen beide Brüche?

Folge A: Gleiche Nenner

Hier ist nichts zu erweitern. Achten Sie darauf, was sich von Aufgabe zu Aufgabe ändert.

Nr.	Aufgabe	Ergebnis
1	1/5 + 2/5	3/5
2	2/5 + 2/5	4/5
3	3/5 + 2/5	5/5 = 1
4	3/8 + 2/8	5/8
5	5/8 + 2/8	7/8
6	7/8 + 2/8	9/8 = 1 1/8

Frage nach Nr. 6: In Nr. 1 bis 3 bleibt der zweite Bruch gleich und der erste wächst. Was passiert mit dem Nenner? Und warum ändert er sich nicht?

Folge B: Ein Nenner ist Vielfaches des anderen

Nur einer der beiden Brüche muss erweitert werden. Der Hauptnenner steht schon da.

Nr.	Aufgabe	Hauptnenner	Erweitert	Ergebnis
7	1/2 + 1/4	4	2/4 + 1/4	3/4
8	1/2 + 1/6	6	3/6 + 1/6	4/6 = 2/3
9	1/2 + 1/8	8	4/8 + 1/8	5/8
10	1/3 + 1/6	6	2/6 + 1/6	3/6 = 1/2
11	1/3 + 1/9	9	3/9 + 1/9	4/9
12	2/3 + 1/6	6	4/6 + 1/6	5/6

Frage nach Nr. 12: In Nr. 7, 8 und 9 ist der erste Summand immer 1/2, das Ergebnis wird aber kleiner. Wie kann das sein?

Folge C: Teilerfremde Nenner

Jetzt müssen beide Brüche erweitert werden. Der Hauptnenner ist hier das Produkt der Nenner – aber nur, weil die Nenner keinen gemeinsamen Teiler haben.

Nr.	Aufgabe	Hauptnenner	Erweitert	Ergebnis
13	1/2 + 1/3	6	3/6 + 2/6	5/6
14	1/2 + 1/5	10	5/10 + 2/10	7/10
15	1/3 + 1/4	12	4/12 + 3/12	7/12
16	1/3 + 1/5	15	5/15 + 3/15	8/15
17	2/3 + 1/4	12	8/12 + 3/12	11/12
18	3/4 + 2/5	20	15/20 + 8/20	23/20 = 1 3/20

Frage nach Nr. 18: Bei Nr. 13 bis 16 sind beide Zähler 1, und trotzdem sind die Ergebnisse ganz verschieden groß. Ordnen Sie die vier Ergebnisse der Größe nach – ohne zu rechnen.

Folge D: Wenn das Produkt zu groß ist

In dieser Folge haben die Nenner einen gemeinsamen Teiler. Das Produkt funktioniert weiterhin, aber es gibt einen kleineren gemeinsamen Nenner.

Nr.	Aufgabe	Produkt der Nenner	Kleinster gemeinsamer Nenner	Erweitert	Ergebnis
19	1/4 + 1/6	24	12	3/12 + 2/12	5/12
20	1/6 + 1/8	48	24	4/24 + 3/24	7/24
21	3/4 + 5/6	24	12	9/12 + 10/12	19/12 = 1 7/12
22	3/8 + 5/12	96	24	9/24 + 10/24	19/24
23	5/6 + 7/10	60	30	25/30 + 21/30	46/30 = 23/15 = 1 8/15
24	7/10 + 11/15	150	30	21/30 + 22/30	43/30 = 1 13/30

Frage nach Nr. 24: Rechnen Sie Nr. 22 zusätzlich mit dem Nenner 96. Kommt dasselbe heraus? Was ist am Ende zusätzlich zu tun?

Folge E: Rückwärts

Hier ist ein Summand gesucht. Wer nur das Verfahren gelernt hat, kommt hier ins Stocken.

Nr.	Aufgabe	Lösung
25	1/2 + ___ = 3/4	1/4
26	1/3 + ___ = 1/2	1/6
27	1/4 + ___ = 5/8	3/8
28	2/5 + ___ = 9/10	1/2
29	1/6 + ___ = 1/2	1/3
30	3/8 + ___ = 1	5/8

Frage nach Nr. 30: Nr. 26 und Nr. 29 sehen sehr ähnlich aus und haben verschiedene Lösungen. Woran liegt das?

Reflexionsfragen

1. Warum darf man 2/8 + 3/8 einfach zusammenzählen, 1/2 + 1/3 aber nicht?
2. In Folge C ist der Hauptnenner immer das Produkt, in Folge D nie. Woran erkennt man den Unterschied, bevor man rechnet?
3. Jemand rechnet 1/2 + 1/3 = 2/5. Nennen Sie eine Aufgabe, an der dieser Person sofort auffallen müsste, dass die Regel nicht stimmen kann.
4. Kann die Summe zweier Brüche kleiner sein als einer der beiden Summanden? Begründen Sie.
5. In Folge A ändert sich der Nenner nie, in Folge B manchmal, in Folge C immer. Formulieren Sie in einem Satz, wovon das abhängt.

Didaktischer Kommentar

Was variiert in Folge A? Nur der Zähler des ersten Bruchs, dann der Nenner beider. Die Folge dient nicht der Übung – sie stellt sicher, dass der einfache Fall trägt, bevor er verlassen wird. Nr. 3 und Nr. 6 sind bewusst gesetzt: Sie führen auf 1 und auf einen unechten Bruch, ohne dass darüber geredet werden müsste.

Was variiert in Folge B? Der Faktor, mit dem erweitert wird. Weil nur ein Bruch erweitert werden muss, bleibt die Aufmerksamkeit bei der eigentlichen Frage („welche Teile sind gleich groß?“) und wird nicht durch zwei gleichzeitige Umformungen geteilt. Die Frage nach Nr. 12 trifft eine verbreitete Fehlvorstellung: dass ein größerer Nenner einen größeren Bruch bedeutet.

Was variiert in Folge C? Nichts am Verfahren – jetzt wird beides erweitert. Neu ist, dass der Hauptnenner erst gefunden werden muss. Die Frage nach Nr. 18 verlangt einen Größenvergleich ohne Rechnung und lässt sich am Streifenbild in Sekunden beantworten: 1/2 + 1/3 > 1/2 + 1/5 > 1/3 + 1/4 > 1/3 + 1/5.

Was variiert in Folge D? Der Abstand zwischen Produkt und kleinstem gemeinsamen Nenner. Nr. 22 ist der Extremfall: 96 gegenüber 24. Wer mit 96 rechnet, bekommt 36/96 + 40/96 = 76/96 und muss anschließend kürzen – das Ergebnis stimmt, der Weg ist nur unnötig lang. Genau das soll die Frage nach Nr. 24 zeigen. Der Begriff kgV wird dabei nicht gebraucht; „der kleinste Nenner, in den beide passen“ genügt und ist näher an der Sache.

Was variiert in Folge E? Die Richtung. Umkehraufgaben trennen zuverlässig zwischen Verfahren und Verständnis: 1/4 + ___ = 5/8 lässt sich nicht durch Erweitern und Addieren lösen, sondern verlangt, den Ansatz zu drehen. Nr. 26 und Nr. 29 sind bewusst fast gleich – ihre verschiedenen Lösungen zeigen, dass hier nichts auswendig geht.

Häufige Fehlvorstellungen

• Zähler und Nenner getrennt addieren. Gegenmittel: 1/2 + 1/2 nach dieser Regel rechnen lassen. Es käme 2/4 heraus – ein halber Streifen statt eines ganzen.
• Der Hauptnenner ist immer das Produkt. Folge D. Gegenmittel: Nr. 22 mit beiden Nennern rechnen und die Wege vergleichen.
• Beim Erweitern nur den Nenner ändern. Gegenmittel: Erweitern immer als „mal 1 in Verkleidung“ sprechen: 1/2 = 1/2 · 2/2. Wer den Zähler vergisst, hat den Bruch verändert.
• Das Ergebnis nicht kürzen. Nr. 8, 10 und 23. Gegenmittel: Nicht als Formfehler behandeln – nachfragen, ob 4/6 und 2/3 verschiedene Zahlen sind.

Zum Weiterarbeiten

• Stundenverlauf: Warum 1/2 + 1/3 nicht 2/5 ist – diese Folge im Unterrichtsablauf
• Diagnostische Fragen zur Bruchaddition
• Werkzeug: Bruchstreifen
• Übungsgenerator Bruchrechnung