Stundenverlauf · Bruchrechnung · Klasse 6
Bruchaddition: Warum 1/2 + 1/3 nicht 2/5 ist
Das braucht die Klasse schon
- Brüche als Anteile am Ganzen deuten und am Streifen darstellen
- Erweitern und Kürzen als Verfahren (auch ohne Begründung)
- Addition von Brüchen mit gleichem Nenner
Material
- Mini-Whiteboards oder Abstimmkarten für die ganze Klasse
- Streifenpapier: pro Kind zwei Streifen (Papier-Werkstatt, Vorlage „Bruchstreifen“)
- Beamer für Bruchstreifen-Werkzeug und Timer
Die Frage zu Stundenbeginn
Alle antworten gleichzeitig. Nicht die richtige Lösung ist der Ertrag, sondern die Verteilung.
Was ist 1/2 + 1/3?
-
2/5
Zähler und Nenner werden getrennt addiert. Das ist die häufigste Antwort und der eigentliche Gegenstand der Stunde – nicht als Schlamperei behandeln, sondern als Übertragung einer Regel, die bei der Multiplikation tatsächlich funktioniert.
-
5/6 richtig
Trägt. Bei dieser Gruppe im weiteren Verlauf nachfragen, ob sie das Ergebnis auch begründen kann oder nur das Verfahren ausführt.
-
2/6
Zähler addiert, Nenner ohne Grund übernommen oder multipliziert. Häufig bei Lernenden, die das Verfahren für gleiche Nenner halbwegs sicher können und es unverändert übertragen.
-
Das geht nicht, die Nenner sind verschieden.
Die Regel für gleiche Nenner ist bekannt, aber als Bedingung missverstanden. Diese Antwort ist didaktisch die wertvollste: Sie benennt das Problem, das die Stunde löst.
Verlauf
90 Minuten in 7 Phasen, nach dem KLAR-Ablauf. Die Zeiten sind Anhaltspunkte – die Weichen darunter sagen, wann man abweichen sollte.
- K 0:00–0:10 Klären · 10 min
Alle antworten gleichzeitig
Die Einstiegsfrage steht an der Tafel. Nach 30 Sekunden Denkzeit halten alle gleichzeitig ihr Whiteboard hoch. Keine Diskussion, kein Melden – nur das Bild der Klasse aufnehmen.
Lehrkraft: Zählen, nicht bewerten. Die Verteilung laut benennen („zwölfmal 2/5, achtmal 5/6, dreimal geht nicht“) und offen lassen, welche Antwort stimmt. Wer jetzt auflöst, verschenkt die ganze Stunde.
- L 0:10–0:18 Lösen lassen · 8 min
Erst schätzen, dann rechnen
Neue Frage, wieder alle gleichzeitig: „Ist 1/2 + 1/3 größer oder kleiner als 1?“ Danach: „Größer oder kleiner als 1/2?“ Beides ohne Rechnung, nur mit Begründung in einem Satz.
Lehrkraft: Diese acht Minuten sind der Hebel der Stunde. Wer 2/5 gerechnet hat und gleichzeitig sagt „mehr als 1/2“, hat einen Widerspruch im eigenen Kopf – und den muss er selbst bemerken, nicht die Lehrkraft. Den Widerspruch nur sichtbar machen, nicht auflösen.
- L 0:18–0:40 Lösen lassen · 22 min
Am Streifen nachlegen
Partnerarbeit mit Streifenpapier: einen Streifen halbieren, einen zweiten dritteln, beide Anteile abtragen und die Summe bestimmen. Leitfrage auf der Karte: „Wie müssen die Teile aussehen, damit man sie zusammenzählen kann?“
Lehrkraft: Herumgehen und die vier Lösungswege notieren, die später gebraucht werden (siehe Abgleich). Nicht korrigieren. Wer feststeckt, bekommt genau eine Frage: „Kannst du beide Streifen in gleich große Teile teilen?“
- A 0:40–1:05 Abgleichen · 25 min
Vier Lösungen in bewusster Reihenfolge
Vier ausgewählte Lösungen kommen in dieser Reihenfolge an die Tafel: (1) 2/5 mit Begründung, (2) eine Zeichnung ohne gemeinsame Einteilung, (3) eine Zeichnung mit Sechsteln, (4) die symbolische Rechnung mit Erweitern. Nach jeder Lösung eine Frage an die Klasse, nicht an die vortragende Person.
Lehrkraft: Die Reihenfolge ist die eigentliche Erklärung – vom Irrweg über das Bild zum Verfahren. Bei (1) ausdrücklich würdigen, dass die Regel bei der Multiplikation stimmt. Bei (3) fragen: „Warum ausgerechnet Sechstel? Ginge auch Zwölftel?“ Erst bei (4) den Begriff Hauptnenner einführen.
- A 1:05–1:15 Abgleichen · 10 min
Tafelanschrieb aus den Lösungen
Der Hefteintrag entsteht sichtbar aus den vier Lösungen: das Streifenbild links, die Rechnung rechts, dazwischen der Satz, der beide verbindet.
Lehrkraft: Nicht diktieren, sondern aus den vorhandenen Tafelbildern zusammensetzen. Der Merksatz wird von der Klasse formuliert und danach von Ihnen präzisiert.
- R 1:15–1:25 Rückkoppeln · 10 min
Übung mit einer Variation
Aus der Aufgabenfolge die Folge B rechnen (Nr. 7 bis 12): Dort muss nur ein Bruch erweitert werden, der Hauptnenner steht schon da. Wer schnell fertig ist, geht in Folge C weiter.
Lehrkraft: Nach der dritten Aufgabe unterbrechen und fragen, was sich von Aufgabe zu Aufgabe geändert hat. Wer das benennen kann, rechnet die restlichen schneller.
- R 1:25–1:30 Rückkoppeln · 5 min
Exit-Ticket
Drei Fragen auf einem Zettel, ohne Namen. Einsammeln an der Tür.
Lehrkraft: Vor der nächsten Stunde durchsehen und in drei Stapel sortieren: trägt / wackelt / trägt nicht. Der mittlere Stapel bestimmt den Einstieg der Folgestunde.
Weichen
Eine Diagnose, die den Plan nicht ändern darf, ist keine Diagnose. Diese Fälle sind vorgedacht.
- Wenn: Über 80 % antworten in der Einstiegsfrage richtig.
- Dann: Die Streifenphase auf zehn Minuten kürzen und stattdessen die Umkehraufgabe stellen: „Finde zwei Stammbrüche, deren Summe 1/2 ist.“ (1/3 + 1/6 und 1/4 + 1/4 – die Klasse findet meist nur eine der beiden.)
- Wenn: Unter 50 % antworten richtig, und viele wählen „das geht nicht“.
- Dann: Die Stunde läuft wie geplant – diese Antwort ist der beste denkbare Ausgangspunkt. Sie benennt das Problem bereits.
- Wenn: Unter 50 % richtig, und die Klasse kann auch 1/4 + 1/4 nicht sicher.
- Dann: Die Doppelstunde umwidmen: erst Addition bei gleichem Nenner am Streifen sichern, die ungleichen Nenner in die Folgestunde verschieben. Ohne diese Grundlage ist das Erweitern reine Formalität.
- Wenn: In der Streifenphase entsteht keine Lösung mit gemeinsamer Einteilung.
- Dann: Am Beamer zwei Streifen übereinanderlegen und die Klasse die Frage beantworten lassen, in wie viele gleiche Teile man beide zerlegen kann. Erst danach zurück in die Partnerarbeit.
Exit-Ticket
- Rechne: 1/4 + 1/6.
- Jemand rechnet 2/3 + 1/4 = 3/7. Erkläre in einem Satz, warum das nicht stimmen kann – ohne nachzurechnen.
- Ordne der Größe nach: 3/4, 1/2 + 1/3, 1.
Differenzierung
Wer schneller fertig ist: Zerlegungsaufgabe: Schreibe 1/2 als Summe zweier verschiedener Stammbrüche (1/3 + 1/6). Danach 1/3 als Summe zweier verschiedener Stammbrüche (1/4 + 1/12). Wer beide findet, sucht die Regel dahinter.
Wer mehr Zeit braucht: Streifen mit vorgegebener Zwölftel-Einteilung austeilen. Die Frage „In wie viele Teile teile ich?“ entfällt damit, die eigentliche Einsicht bleibt erhalten.
Stolpersteine
Zähler und Nenner werden getrennt addiert (a/b + c/d = (a+c)/(b+d)).
1/2 + 1/2 rechnen lassen. Nach dieser Regel käme 2/4 heraus – also ein halber Streifen statt eines ganzen. Der Widerspruch ist am Bild sofort sichtbar und braucht kein Wort der Lehrkraft.
Der Hauptnenner wird als das Produkt der Nenner gelernt und nie hinterfragt.
1/4 + 1/6 stellen. Das Produkt 24 funktioniert, 12 auch – und 12 ist die kleinere Zahl. Die Frage „Muss es das Produkt sein?“ trennt Verfahren und Verständnis.
Größenvergleich nur über den Zähler („3/8 > 1/4, weil 3 > 1“).
Beide Brüche am selben Streifen abtragen. Hier stimmt das Ergebnis zufällig – deshalb 1/8 und 1/4 danebenlegen, wo dieselbe Regel scheitert.
Hausaufgabe
Aus der Aufgabenfolge die Aufgaben 13 bis 18 (teilerfremde Nenner). Dazu eine Zusatzfrage: Schreibe eine Aufgabe auf, bei der jemand 2/5 herausbekommen könnte – und daneben, was er falsch gemacht hat.
Tafelbild
Die Tafel wird von links nach rechts gefüllt und bleibt bis zum Stundenende stehen. Links das Bild, rechts die Rechnung, in der Mitte der Satz, der beides verbindet.
| links | Mitte | rechts |
|---|---|---|
| Zwei Streifen übereinander: einer halbiert, einer gedrittelt. Darunter derselbe Streifen in Sechsteln, mit 3 + 2 markierten Feldern. | Zusammenzählen kann man nur gleich große Teile. | 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 |
Der Merksatz in der Mitte wird von der Klasse formuliert. Erfahrungsgemäß kommt zuerst „man muss den Nenner gleich machen“ – das ist die Verfahrensbeschreibung. Die Nachfrage „Warum muss man das?“ führt auf die Fassung oben.
Was in dieser Stunde bewusst nicht vorkommt
Der Begriff kgV. Er ist für die Sache nicht nötig und verschiebt die Aufmerksamkeit von der Frage „welche Teile sind gleich groß?“ auf ein Rechenverfahren aus der Teilbarkeitslehre. Wer ihn schon kennt, darf ihn benutzen; eingeführt wird er hier nicht.
Die Regel für die Multiplikation. Sie steht in dieser Stunde nicht an der Tafel, obwohl sie sich aufdrängt: Genau die Ähnlichkeit der beiden Regeln erzeugt die Fehlvorstellung. Die Multiplikation kommt frühestens in der Folgestunde und dann mit ausdrücklicher Gegenüberstellung.
Das Kürzen des Ergebnisses. 5/6 ist bereits vollständig gekürzt – das ist kein Zufall, sondern bei der Aufgabenauswahl berücksichtigt. Kürzen als zusätzlicher Schritt würde die Aufmerksamkeit in der entscheidenden Phase teilen.
Didaktischer Kommentar
Warum die Schätzfrage vor der Rechnung steht. Die Fehlvorstellung „2/5“ ist erstaunlich robust gegen Korrektur, weil sie aus einer richtigen Regel entsteht: Bei der Multiplikation werden Zähler und Nenner tatsächlich getrennt behandelt. Eine Korrektur von außen trifft deshalb nur das Ergebnis, nicht die Ursache. Die Schätzfrage erzeugt dagegen einen Widerspruch innerhalb der Lernenden: Wer sagt „mehr als die Hälfte“ und gleichzeitig 2/5 aufschreibt, hat zwei unvereinbare Überzeugungen und muss selbst entscheiden, welche fällt. Genau das ist der Punkt, an dem Lernen anfängt.
Warum der Irrweg zuerst an die Tafel kommt. Nach den fünf Praktiken (Stein & Smith) wird die Reihenfolge der präsentierten Lösungen vorab festgelegt – sie ist die Erklärung. Beginnt man mit der richtigen Rechnung, hören die zwölf Kinder mit 2/5 nur, dass sie falsch lagen. Beginnt man bei ihnen, ist ihr Denkweg das Material, an dem die Klasse arbeitet. Die Würdigung „bei der Multiplikation stimmt das“ ist dabei keine Freundlichkeit, sondern fachlich richtig und für die Folgestunde wichtig.
Warum das Bild nicht schöner sein darf als die Zahl. Die Streifen werden maßstabsgetreu gelegt, auch wenn Sechstel unhandlich sind. Ein Bild, in dem 1/3 und 1/2 ungefähr gleich groß aussehen, erzeugt genau die Vorstellungen, die es beheben soll. Beim Werkzeug ist das garantiert; auf Papier lohnt es sich, die Streifen vorher auf gleiche Länge zu schneiden.
Warum das Exit-Ticket eine Begründungsfrage enthält. Die zweite Frage lässt sich nicht durch Ausführen des Verfahrens beantworten. Wer schreibt „2/3 ist allein schon größer als 3/7“, hat die Stunde verstanden; wer 2/3 + 1/4 ausrechnet und das Ergebnis vergleicht, kann rechnen, aber noch nicht schätzen. Beides ist ein brauchbares Ergebnis – aber es sind unterschiedliche Ergebnisse, und die Folgestunde sieht je nach Verteilung anders aus.
Zum Weiterarbeiten
- Diagnostische Fragen: Bruchaddition – sechs Fragen für die Vorabdiagnose oder als zweite Runde
- Aufgabenfolge: Bruchaddition – vom gleichen zum gemeinsamen Nenner
- Übungsgenerator Bruchrechnung – beliebig viele Aufgaben mit Lösungen
- Fehlvorstellungen zur Bruchrechnung – mit ausgearbeitetem Gegenmittel