Termumformungen · Klasse 9/10

Bruchterme – kürzen, erweitern, addieren

mittel #bruchterme#kuerzen#definitionsbereich#faktorisieren#variation-theory

Vorbemerkung für die Schüler

Beim Kürzen gilt genau eine Regel: Gekürzt wird nur, was als Faktor dasteht.

Das ist keine Schikane, sondern folgt direkt aus der Bruchrechnung: (2·3)/(2·5) = 3/5, weil man den gemeinsamen Faktor 2 herausziehen und wegkürzen kann. Bei (2+3)/(2+5) geht das nicht – hier ist die 2 kein Faktor, sondern ein Summand. Und tatsächlich: 5/7 ≠ 3/5.

Zweite Regel, ebenso wichtig: Ein Bruchterm ist nur definiert, wenn der Nenner nicht null ist. Die verbotenen Werte gehören zur Lösung dazu.

Folge A: Faktor oder Summand?

Noch nicht kürzen – nur benennen. Ist die markierte Zahl bzw. Variable ein Faktor des ganzen Zählers/Nenners oder nur ein Summand?

Nr.	Term	Ist `x` Faktor des Zählers?
1	`(3x)/(5x)`	ja, in Zähler und Nenner
2	`(x+3)/(x+5)`	nein, `x` ist Summand
3	`(x·(x+3))/(x·(x+5))`	ja, in Zähler und Nenner
4	`(x+3)/(x·(x+5))`	nein im Zähler, ja im Nenner
5	`(2x+6)/(2x+10)`	nein – aber 2 ist ausklammerbar
6	`(x²+3x)/(x²+5x)`	ja, nach Ausklammern von `x`

Frage nach Nr. 6: In Nr. 2 und Nr. 6 stehen die Zahlen 3 und 5 an derselben Stelle. Warum darf man im einen Fall kürzen und im anderen nicht?

Folge B: Kürzen

Nr.	Term	Gekürzt
7	`(6x)/(9x)`	`2/3`
8	`(6x²)/(9x)`	`(2x)/3`
9	`(x²+3x)/(x²+5x)`	`(x+3)/(x+5)`
10	`(2x+6)/(2x+10)`	`(x+3)/(x+5)`
11	`(x²−9)/(x+3)`	`x−3`
12	`(x²−9)/(x²−6x+9)`	`(x+3)/(x−3)`

Hinweis zu Nr. 11 und 12: Hier hilft die dritte binomische Formel: x²−9 = (x+3)(x−3) und x²−6x+9 = (x−3)².

Folge C: Nicht kürzbar – begründen

Alle Terme sehen aus, als ließe sich etwas streichen. Nichts davon ist erlaubt. Begründen Sie jeweils in einem Satz.

Nr.	Term	Warum nicht?
13	`(x+3)/(x+5)`	`x` ist Summand, kein Faktor.
14	`(x+3)/3`	3 ist im Zähler nur Summand.
15	`(x²+9)/(x+3)`	`x²+9` ist keine Differenz; es lässt sich nicht faktorisieren.
16	`(2x+3)/(2x+5)`	Der Faktor 2 steckt nur beim `x`, nicht im ganzen Zähler.
17	`(x+y)/(x·y)`	Zähler ist Summe, Nenner Produkt – kein gemeinsamer Faktor.
18	`(x−4)/(x²−4)`	Nenner zerfällt in `(x−2)(x+2)`; `x−4` kommt darin nicht vor.

Kontrolle für alle sechs: Setzen Sie x = 1 (und y = 2) ein und vergleichen Sie mit dem angeblich gekürzten Term.

Folge D: Addieren und Subtrahieren

Nr.	Aufgabe	Ergebnis
19	`2/x + 3/x`	`5/x`
20	`2/x + 3/(2x)`	`7/(2x)`
21	`1/x + 1/y`	`(x+y)/(xy)`
22	`1/x − 1/(x+1)`	`1/(x(x+1))`
23	`3/(x−2) + 2/(x+2)`	`(5x+2)/((x−2)(x+2))`
24	`x/(x+1) + 1/(x+1)`	`1`

Frage nach Nr. 24: Das Ergebnis ist eine reine Zahl – für alle zulässigen x. Wie kommt das?

Folge E: Definitionsbereich

Für welche Werte ist der Term nicht definiert?

Nr.	Term	Ausgeschlossen
25	`1/x`	`x = 0`
26	`1/(x−3)`	`x = 3`
27	`1/(x²−9)`	`x = 3` und `x = −3`
28	`(x−3)/(x−3)`	`x = 3` – trotz Kürzbarkeit
29	`1/(x²+1)`	keine Ausschlüsse
30	`(x+2)/(x²+4x+4)`	`x = −2`

Frage nach Nr. 28: Der Term lässt sich zu 1 kürzen. Warum bleibt x = 3 trotzdem verboten?

Reflexionsfragen

Erklären Sie mit Zahlen, warum (2+3)/(2+5) nicht 3/5 ist.
Woran erkennen Sie, ob ein Zähler faktorisierbar ist? Nennen Sie drei Muster.
In Folge B liefern Nr. 9 und Nr. 10 dasselbe Ergebnis. Was haben die beiden Ausgangsterme gemeinsam?
Warum muss der Definitionsbereich vor dem Kürzen bestimmt werden?
Der Term (x²−1)/(x−1) ist für x = 1 nicht definiert, obwohl er sich zu x+1 kürzen lässt. Zeichnen Sie den Graphen von y = (x²−1)/(x−1) – wie sieht die Stelle x = 1 aus?

Didaktischer Kommentar

Der Kern. Kürzen ist keine Streichoperation an Zeichen, sondern das Wegkürzen eines gemeinsamen Faktors. Solange diese Unterscheidung nicht sitzt, ist jeder Merkspruch wirkungslos – die Klasse kennt ihn, erkennt aber im Einzelfall nicht, ob ein Faktor vorliegt. Deshalb steht Folge A bewusst vor jedem Kürzen und verlangt ausdrücklich, nicht zu rechnen.

Was variiert in Folge A? Die Struktur des Zählers bei nahezu identischem Aussehen. Nr. 2 und Nr. 6 sind das entscheidende Paar: (x+3)/(x+5) und (x²+3x)/(x²+5x) sehen ähnlich aus, aber im zweiten Fall lässt sich x ausklammern und damit kürzen. Wer den Unterschied benennen kann, hat den Begriff.

Was variiert in Folge B? Der Weg zum gemeinsamen Faktor: erst offen sichtbar (Nr. 7, 8), dann durch Ausklammern (Nr. 9, 10), dann über binomische Formeln (Nr. 11, 12). Der Anspruch steigt, das Prinzip bleibt identisch.

Was variiert in Folge C? Nichts – und genau das ist die Pointe. Sechs Terme, die zum Streichen einladen, und bei keinem ist es erlaubt. Die Zahlenprobe am Ende ist Pflicht: Sie verwandelt eine behauptete Regel in eine überprüfbare Aussage und ist zugleich die Strategie, die Lernende später bei jeder Unsicherheit selbst anwenden können.

Was variiert in Folge D? Die Nenner – von gleich über Vielfache bis zu teilerfremd. Nr. 24 ist der Schlusspunkt: Ein Bruchterm, der sich zu einer Konstanten zusammenfasst, überrascht zuverlässig und lohnt eine Minute Gespräch.

Was variiert in Folge E? Die Anzahl und Art der Ausschlüsse. Nr. 28 und die letzte Reflexionsfrage zielen auf denselben Punkt: Der Definitionsbereich bezieht sich auf den ursprünglichen Term. Kürzen darf ihn nicht stillschweigend erweitern – im Graphen bleibt an dieser Stelle eine Lücke.

Häufige Fehlvorstellungen

„Aus Differenzen kürzen die Dummen” – und trotzdem gekürzt. Der Spruch ist bekannt, die Erkennung nicht. Gegenmittel: Folge A, ohne Rechnen.
Definitionsbereich als Formalismus. Gegenmittel: Nr. 28 und die Grafik zur Definitionslücke – dort wird sichtbar, dass etwas fehlt.
Bruchterme wie Bruchgleichungen behandelt. „Über Kreuz multiplizieren” ist eine Umformung von Gleichungen. Ein Term wird nicht umgeformt, indem man ihn mit etwas multipliziert.
Beim Addieren keinen gemeinsamen Nenner gebildet. Derselbe Fehler wie in Klasse 6, nur mit Buchstaben. Gegenmittel: einmal den Zahlenfall daneben rechnen.

Zum Weiterarbeiten