Kreisgeometrie · Klasse 9/10

Kreis – Umfang, Flächeninhalt und der Sektor

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Vorbemerkung für die Schüler

Am Kreis gibt es zwei Längen, die man ständig verwechseln kann:

der Radius r – vom Mittelpunkt zum Rand,
der Durchmesser d – einmal quer durch, also d = 2r.

Und zwei Formeln:

Umfang: U = 2πr – gleichbedeutend mit U = πd
Fläche: A = πr²

Der wichtigste Rat: Zeichnen und beschriften Sie zuerst. Der erste Schritt jeder Kreisaufgabe ist keine Rechnung, sondern die Entscheidung, ob die gegebene Länge r oder d ist. Rechnen Sie im Folgenden mit π ≈ 3,14 und runden Sie auf eine Nachkommastelle.

Folge A: Umfang bei gegebenem Radius

Nr.	Radius	Umfang
1	r = 1 cm	U ≈ 6,3 cm
2	r = 2 cm	U ≈ 12,6 cm
3	r = 3 cm	U ≈ 18,8 cm
4	r = 5 cm	U ≈ 31,4 cm
5	r = 10 cm	U ≈ 62,8 cm
6	r = 0,5 cm	U ≈ 3,1 cm

Frage nach Nr. 6: Der Radius verdoppelt sich von Nr. 1 zu Nr. 2 und von Nr. 4 zu Nr. 5. Was macht der Umfang jeweils?

Folge B: Umfang bei gegebenem Durchmesser

Achtung: Jetzt ist nicht der Radius gegeben.

Nr.	Durchmesser	Umfang
7	d = 2 cm	U ≈ 6,3 cm
8	d = 4 cm	U ≈ 12,6 cm
9	d = 6 cm	U ≈ 18,8 cm
10	d = 10 cm	U ≈ 31,4 cm
11	d = 20 cm	U ≈ 62,8 cm
12	d = 1 cm	U ≈ 3,1 cm

Frage nach Nr. 12: Vergleiche Folge A und Folge B Zeile für Zeile. Warum stehen rechts dieselben Ergebnisse?

Folge C: Flächeninhalt

Nr.	Radius	Fläche
13	r = 1 cm	A ≈ 3,1 cm²
14	r = 2 cm	A ≈ 12,6 cm²
15	r = 3 cm	A ≈ 28,3 cm²
16	r = 4 cm	A ≈ 50,3 cm²
17	r = 6 cm	A ≈ 113,1 cm²
18	r = 10 cm	A ≈ 314,2 cm²

Frage nach Nr. 18: Von Nr. 13 zu Nr. 14 verdoppelt sich der Radius. Um welchen Faktor wächst die Fläche? Prüfe die Vermutung an Nr. 15 und Nr. 17.

Folge D: Kreissektor

Der Sektor ist ein Ausschnitt des Kreises. Sein Anteil am ganzen Kreis ist α : 360°.

Nr.	Radius	Winkel	Sektorfläche
19	r = 4 cm	360°	A ≈ 50,3 cm²
20	r = 4 cm	180°	A ≈ 25,1 cm²
21	r = 4 cm	90°	A ≈ 12,6 cm²
22	r = 4 cm	45°	A ≈ 6,3 cm²
23	r = 4 cm	60°	A ≈ 8,4 cm²
24	r = 4 cm	120°	A ≈ 16,8 cm²

Frage nach Nr. 24: Der Radius bleibt in der ganzen Folge gleich. Welche Rechnung steckt hinter jeder Zeile – und wie kommt man von Nr. 21 zu Nr. 24, ohne neu anzusetzen?

Folge E: Formeln umkehren

Jetzt ist das Ergebnis gegeben, gesucht ist die Länge.

Nr.	Gegeben	Gesucht	Lösung
25	U ≈ 18,85 cm	r	r = 3 cm
26	U ≈ 31,4 cm	d	d = 10 cm
27	A ≈ 78,5 cm²	r	r = 5 cm
28	A ≈ 12,57 cm²	r	r = 2 cm
29	U ≈ 12,57 cm	A	A ≈ 12,57 cm²
30	A ≈ 200 cm²	r	r ≈ 8,0 cm

Hinweis zu Nr. 29: Erst aus dem Umfang den Radius bestimmen (r = 2 cm), dann die Fläche berechnen. Dass Zahlenwert von Umfang und Fläche hier übereinstimmen, ist ein Zufall dieses Radius – die Einheiten sind verschieden.

Folge F: Anwendungen

Nr.	Aufgabe	Lösungsidee
31	Ein Fahrradreifen hat 28 Zoll Durchmesser (≈ 71 cm). Wie weit fährt das Rad bei einer Umdrehung?	Eine Umdrehung entspricht dem Umfang: U ≈ 3,14 · 71 ≈ 223 cm, also gut 2,2 m.
32	Wie oft dreht sich dieses Rad auf 1 km?	100 000 cm : 223 cm ≈ 448 Umdrehungen.
33	Eine runde Pizza mit 30 cm Durchmesser kostet 9 €, eine mit 40 cm kostet 15 €. Welche ist günstiger je cm²?	A₃₀ ≈ 707 cm² → 1,27 ct/cm²; A₄₀ ≈ 1257 cm² → 1,19 ct/cm². Die große Pizza ist günstiger.
34	Ein Rasensprenger bewässert im Winkel von 120° bis 5 m weit. Welche Fläche?	Sektor: (120 : 360) · π · 25 ≈ 26,2 m².
35	Ein quadratisches Blech mit Seitenlänge 20 cm; daraus wird der größtmögliche Kreis ausgestanzt. Wie viel Prozent bleiben übrig?	Kreis: r = 10 cm, A ≈ 314 cm²; Quadrat: 400 cm². Rest ≈ 86 cm², also rund 21,5 %.
36	Ein Kreisring: äußerer Radius 6 cm, innerer Radius 4 cm. Fläche?	Differenz der Kreisflächen: π(36 − 16) ≈ 62,8 cm².

Reflexionsfragen

Warum liefern U = 2πr und U = πd dasselbe Ergebnis? Ist das eine Zufälligkeit oder eine Notwendigkeit?
In Folge C wächst die Fläche stärker als der Radius. Erkläre den Faktor 4 bei Verdopplung – ohne die Formel zu nennen.
Aufgabe 33 ist die praktische Version von Frage 2. Warum ist die große Pizza im Verhältnis fast immer günstiger?
In Folge D bleibt der Radius konstant und nur der Winkel ändert sich. Wie verhält sich die Sektorfläche zum Winkel?
Was bedeutet die Zahl π anschaulich? Beschreibe sie ohne die Formel, nur als Verhältnis.

Didaktischer Kommentar

Der Kern. Die Verwechslung von Radius und Durchmesser ist kein Flüchtigkeitsfehler, sondern die Folge davon, dass die Formeln als Symbolketten gelernt werden. Die Gegenmaßnahme ist strukturell: Radius und Durchmesser werden nie in derselben Folge gemischt, sondern nacheinander variiert – und Folge B endet mit der Beobachtung, dass beide Wege dasselbe liefern.

Was variiert in Folge A und B? Jeweils nur eine der beiden Längen, in beiden Folgen mit denselben Ergebnissen rechts. Die Zeilen 1 bis 6 und 7 bis 12 gehören paarweise zusammen. Legt man beide Tabellen nebeneinander, entsteht die Einsicht: Es sind nicht zwei Formeln, es ist eine – zweimal aufgeschrieben.

Was variiert in Folge C? Nur der Radius, aber die Ergebnisse wachsen quadratisch. Die Klasse soll den Faktor 4 bei Verdopplung selbst finden. Das ist der Übergang von „Formel anwenden” zu „Wachstumsverhalten verstehen” und bereitet die Ähnlichkeitslehre vor.

Was variiert in Folge D? Nur der Winkel; der Radius bleibt bewusst bei 4 cm. Damit ist die Sektorfläche direkt proportional zum Winkel, und Nr. 24 lässt sich aus Nr. 21 durch Verdreifachen gewinnen. Wer das sieht, hat den Anteil α : 360° verstanden – wer jedes Mal neu einsetzt, noch nicht.

Was variiert in Folge E? Die Rechenrichtung. Umkehraufgaben sind der beste Test dafür, ob eine Formel verstanden oder auswendig gelernt wurde. Nr. 30 ist bewusst ohne glattes Ergebnis gebaut.

Häufige Fehlvorstellungen

Radius und Durchmesser verwechselt. Gegenmittel: In jeder Aufgabe zuerst r einzeichnen und beschriften, auch wenn d gegeben ist.
A = πd statt A = πr². Die Fläche skaliert quadratisch – die Formel muss also ein Quadrat enthalten. Ein Überschlag hilft: Die Kreisfläche liegt immer knapp unter der Fläche des umschreibenden Quadrats mit Seitenlänge d.
Beim Sektor den Anteil vergessen. Nr. 19 ist absichtlich der Vollkreis, damit die Klasse den Anteil 360 : 360 = 1 selbst formuliert.
Umfang und Fläche vertauscht. Gegenmittel: konsequent auf Einheiten achten – cm gegen cm² entscheidet die Frage vor jeder Rechnung.

Zum Weiterarbeiten

Diagnostische Fragen zur Kreisgeometrie
Papier-Werkstatt – Karopapier für maßstäbliche Kreiszeichnungen
Übungsgenerator Kreisgeometrie