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Arbeitsblatt: Kreis – Umfang, Flächeninhalt und der Sektor

36 Aufgaben mit Platz zum Rechnen, dahinter das Lösungsblatt. Auf Papier steht die Tabelle so, wie sie gedacht ist: mit allen Spalten nebeneinander und Platz zum Rechnen dazwischen. Zur Aufgabenfolge

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Kreisgeometrie · Klasse 9/10

Kreis – Umfang, Flächeninhalt und der Sektor

Name: Datum:

Am Kreis gibt es zwei Längen, die man ständig verwechseln kann:

der Radius $r$ – vom Mittelpunkt zum Rand,
der Durchmesser $d$ – einmal quer durch, also $d = 2r$ .

Und zwei Formeln:

Umfang: $U = 2πr$ – gleichbedeutend mit $U = πd$
Fläche: $A = πr^{2}$

Der wichtigste Rat: Zeichnen und beschrifte zuerst. Der erste Schritt jeder Kreisaufgabe ist keine Rechnung, sondern die Entscheidung, ob die gegebene Länge $r$ oder $d$ ist. Rechne im Folgenden mit $π \approx 3{,}14$ und runde auf eine Nachkommastelle.

Folge A: Umfang bei gegebenem Radius

Nr.	Radius	Umfang
1	$r = 1 cm$
2	$r = 2 cm$
3	$r = 3 cm$
4	$r = 5 cm$
5	$r = 10 cm$
6	$r = 0{,}5 cm$

Frage nach Nr. 6: Der Radius verdoppelt sich von Nr. 1 zu Nr. 2 und von Nr. 4 zu Nr. 5. Was macht der Umfang jeweils?

Folge B: Umfang bei gegebenem Durchmesser

Achtung: Jetzt ist nicht der Radius gegeben.

Nr.	Durchmesser	Umfang
7	$d = 2 cm$
8	$d = 4 cm$
9	$d = 6 cm$
10	$d = 10 cm$
11	$d = 20 cm$
12	$d = 1 cm$

Frage nach Nr. 12: Vergleiche Folge A und Folge B Zeile für Zeile. Warum stehen rechts dieselben Ergebnisse?

Folge C: Flächeninhalt

Nr.	Radius	Fläche
13	$r = 1 cm$
14	$r = 2 cm$
15	$r = 3 cm$
16	$r = 4 cm$
17	$r = 6 cm$
18	$r = 10 cm$

Frage nach Nr. 18: Von Nr. 13 zu Nr. 14 verdoppelt sich der Radius. Um welchen Faktor wächst die Fläche? Prüfe die Vermutung an Nr. 15 und Nr. 17.

Folge D: Kreissektor

Der Sektor ist ein Ausschnitt des Kreises. Sein Anteil am ganzen Kreis ist $α : 360^{\circ}$ .

Nr.	Radius	Winkel
19	$r = 4 cm$	$360^{\circ}$
20	$r = 4 cm$	$180^{\circ}$
21	$r = 4 cm$	$90^{\circ}$
22	$r = 4 cm$	$45^{\circ}$
23	$r = 4 cm$	$60^{\circ}$
24	$r = 4 cm$	$120^{\circ}$

Frage nach Nr. 24: Der Radius bleibt in der ganzen Folge gleich. Welche Rechnung steckt hinter jeder Zeile – und wie kommt man von Nr. 21 zu Nr. 24, ohne neu anzusetzen?

Folge E: Formeln umkehren

Jetzt ist das Ergebnis gegeben, gesucht ist die Länge.

Nr.	Gegeben	Gesucht
25	$U \approx 18{,}85 cm$	$r$
26	$U \approx 31{,}4 cm$	$d$
27	$A \approx 78{,}5 cm^{2}$	$r$
28	$A \approx 12{,}57 cm^{2}$	$r$
29	$U \approx 12{,}57 cm$	A
30	$A \approx 200 cm^{2}$	$r$

Hinweis zu Nr. 29: Erst aus dem Umfang den Radius bestimmen (r = 2 cm), dann die Fläche berechnen. Dass Zahlenwert von Umfang und Fläche hier übereinstimmen, ist ein Zufall dieses Radius – die Einheiten sind verschieden.

Folge F: Anwendungen

Nr.	Aufgabe	Lösungsidee
31	Ein Fahrradreifen hat 28 Zoll Durchmesser (≈ 71 cm). Wie weit fährt das Rad bei einer Umdrehung?
32	Wie oft dreht sich dieses Rad auf 1 km?
33	Eine runde Pizza mit 30 cm Durchmesser kostet 9 €, eine mit 40 cm kostet 15 €. Welche ist günstiger je cm²?
34	Ein Rasensprenger bewässert im Winkel von 120° bis 5 m weit. Welche Fläche?
35	Ein quadratisches Blech mit Seitenlänge 20 cm; daraus wird der größtmögliche Kreis ausgestanzt. Wie viel Prozent bleiben übrig?
36	Ein Kreisring: äußerer Radius 6 cm, innerer Radius 4 cm. Fläche?

Zum Nachdenken

Warum liefern $U = 2πr$ und $U = πd$ dasselbe Ergebnis? Ist das eine Zufälligkeit oder eine Notwendigkeit?
In Folge C wächst die Fläche stärker als der Radius. Erkläre den Faktor 4 bei Verdopplung – ohne die Formel zu nennen.
Aufgabe 33 ist die praktische Version von Frage 2. Warum ist die große Pizza im Verhältnis fast immer günstiger?
In Folge D bleibt der Radius konstant und nur der Winkel ändert sich. Wie verhält sich die Sektorfläche zum Winkel?
Was bedeutet die Zahl π anschaulich? Beschreibe sie ohne die Formel, nur als Verhältnis.

Lösungsblatt · Kreisgeometrie