Stochastik · Klasse 7/8
Wahrscheinlichkeit – vom Schätzen zum Rechnen
Vorbemerkung für die Schüler
Zwei Begriffe, die man auseinanderhalten muss:
- Die Wahrscheinlichkeit ist eine berechnete Zahl. Bei einem fairen Würfel ist die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs
1/6– unabhängig davon, was vorher passiert ist. - Die relative Häufigkeit ist ein Messergebnis: Wie oft ist das Ereignis in meinen Versuchen tatsächlich eingetreten, geteilt durch die Anzahl der Versuche.
Beide nähern sich einander an, wenn man oft genug wirft. Aber sie sind nicht dasselbe – und die relative Häufigkeit „holt nichts nach”.
Arbeitsauftrag für alle Folgen: Schätzen Sie zuerst schriftlich, bevor Sie rechnen. Ohne die eigene Schätzung ist das Ergebnis nur eine Zahl.
Folge A: Ein Würfel – Ereignisse werden größer
Fairer sechsseitiger Würfel. Wie wahrscheinlich ist das Ereignis?
| Nr. | Ereignis | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| 1 | eine Sechs | 1/6 ≈ 16,7 % |
| 2 | eine gerade Zahl | 3/6 = 50 % |
| 3 | eine Zahl größer als 4 | 2/6 ≈ 33,3 % |
| 4 | eine Zahl kleiner als 7 | 6/6 = 100 % |
| 5 | eine Sieben | 0 |
| 6 | keine Sechs | 5/6 ≈ 83,3 % |
Frage nach Nr. 6: Vergleichen Sie Nr. 1 und Nr. 6. Wie hängen die beiden Zahlen zusammen? Formulieren Sie eine Regel.
Folge B: Zwei Würfel – die Augensumme
Zwei faire Würfel werden geworfen und die Augen addiert. Es gibt 36 gleich wahrscheinliche Paare.
| Nr. | Augensumme | Anzahl der Möglichkeiten | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|---|
| 7 | 2 | 1 | 1/36 ≈ 2,8 % |
| 8 | 3 | 2 | 2/36 ≈ 5,6 % |
| 9 | 4 | 3 | 3/36 ≈ 8,3 % |
| 10 | 7 | 6 | 6/36 ≈ 16,7 % |
| 11 | 11 | 2 | 2/36 ≈ 5,6 % |
| 12 | 12 | 1 | 1/36 ≈ 2,8 % |
Frage nach Nr. 12: Warum ist die 7 sechsmal so wahrscheinlich wie die 2? Zählen Sie die Paare für beide auf.
Folge C: Urne – der Grundwert ändert sich
In einer Urne liegen rote und blaue Kugeln. Es wird eine gezogen.
| Nr. | Inhalt | P(rot) |
|---|---|---|
| 13 | 1 rot, 1 blau | 1/2 = 50 % |
| 14 | 2 rot, 2 blau | 1/2 = 50 % |
| 15 | 3 rot, 1 blau | 3/4 = 75 % |
| 16 | 1 rot, 3 blau | 1/4 = 25 % |
| 17 | 3 rot, 2 blau | 3/5 = 60 % |
| 18 | 30 rot, 20 blau | 3/5 = 60 % |
Frage nach Nr. 18: Nr. 17 und Nr. 18 haben dieselbe Wahrscheinlichkeit, aber ganz verschiedene Kugelzahlen. Was zählt also – die Anzahl oder das Verhältnis?
Folge D: Gegen die Intuition
Diese sechs Fragen zuerst abstimmen lassen, dann besprechen.
| Nr. | Frage | Antwort |
|---|---|---|
| 19 | Eine Münze zeigt fünfmal hintereinander Kopf. Wie wahrscheinlich ist Zahl beim nächsten Wurf? | 50 % – die Münze hat kein Gedächtnis. |
| 20 | Was ist wahrscheinlicher: fünfmal hintereinander Kopf oder die Folge K-Z-K-K-Z? | Beide gleich: jeweils 1/32. |
| 21 | Bei zwei Würfeln: Ist (3,4) wahrscheinlicher als (3,3)? | Ja – (3,4) und (4,3) sind zwei Paare, (3,3) nur eines. |
| 22 | Beim Lotto: Ist 1-2-3-4-5-6 unwahrscheinlicher als 4-11-19-27-33-41? | Nein, beide gleich unwahrscheinlich. |
| 23 | Eine Zahl ist bei 100 Würfen nur 9-mal gefallen statt 16-mal. Kommt das wieder ins Lot? | Der Anteil nähert sich an, der Rückstand wird nicht ausgeglichen. |
| 24 | Wie viele Menschen braucht es, damit zwei am selben Tag Geburtstag haben – mit über 50 % Wahrscheinlichkeit? | 23. |
Hinweis zu Nr. 23: Genau hier lohnt die Simulation. Lassen Sie 10 000 Würfe laufen und zeigen Sie die relative Häufigkeit gegen die Versuchszahl: Sie nähert sich 1/6, ohne dass eine Zahl „aufholt”.
Folge E: Vom Versuch zur Wahrscheinlichkeit
Ein Würfel wird geworfen; die Sechs wird gezählt.
| Nr. | Würfe | Sechsen | relative Häufigkeit | Abstand zu 1/6 |
|---|---|---|---|---|
| 25 | 10 | 3 | 30 % | 13,3 Prozentpunkte |
| 26 | 60 | 13 | ≈ 21,7 % | 5,0 Prozentpunkte |
| 27 | 100 | 20 | 20 % | 3,3 Prozentpunkte |
| 28 | 600 | 111 | ≈ 18,5 % | 1,8 Prozentpunkte |
| 29 | 6000 | 1032 | ≈ 17,2 % | 0,5 Prozentpunkte |
| 30 | 60 000 | 10 143 | ≈ 16,9 % | 0,2 Prozentpunkte |
Frage nach Nr. 30: Der Abstand in Prozentpunkten wird kleiner. Wie verhält sich dagegen der Abstand in absoluten Zahlen (erwartete minus tatsächliche Anzahl)? Rechnen Sie nach.
Reflexionsfragen
- Warum ist
P(kein Ereignis) = 1 − P(Ereignis)? Begründen Sie am Würfel. - In Folge B ist die 7 die häufigste Augensumme. Wäre das auch so, wenn die Würfel unterscheidbar wären – etwa einer rot, einer blau?
- Erklären Sie einer Mitschülerin, warum die Münze „kein Gedächtnis” hat.
- In Folge E nähert sich die relative Häufigkeit dem Wert
1/6. Wird sie ihn irgendwann genau erreichen? - Nennen Sie eine Situation aus dem Alltag, in der Menschen relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit verwechseln.
Didaktischer Kommentar
Der Kern. Stochastik unterscheidet sich von allen anderen Gebieten darin, dass falsche Antworten sich richtig anfühlen. Diese Intuitionen verschwinden nicht durch Erklärung – sie verschwinden nur, wenn die Klasse ihre eigene Vorhersage schriftlich festhält und danach das Gegenteil beobachtet. Deshalb ist das Schätzen kein didaktisches Beiwerk, sondern der eigentliche Mechanismus dieser Reihe.
Was variiert in Folge A? Der Umfang des Ereignisses – von einem Ergebnis über mehrere bis zum sicheren und zum unmöglichen Ereignis. Nr. 4 und Nr. 5 markieren die Randfälle und begründen, warum Wahrscheinlichkeiten zwischen 0 und 1 liegen. Das Paar Nr. 1 und Nr. 6 liefert die Gegenwahrscheinlichkeit als Beobachtung, nicht als Formel.
Was variiert in Folge B? Die Augensumme, und damit die Anzahl der günstigen Paare. Entscheidend ist die Aufforderung, die Paare tatsächlich aufzuschreiben: Wer (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) notiert hat, versteht danach auch Nr. 21.
Was variiert in Folge C? Erst das Verhältnis, dann die absolute Anzahl bei gleichem Verhältnis. Nr. 17 und Nr. 18 sind das entscheidende Paar: Zehnmal so viele Kugeln, dieselbe Wahrscheinlichkeit. Das ist die Brücke zur Prozentrechnung und zum Anteilsbegriff.
Was variiert in Folge D? Nichts Systematisches – hier geht es um Intuitionsbrüche. Die Fragen sind so gewählt, dass die Klasse sich uneinig ist; das erzeugt den Gesprächsanlass. Nr. 24 (Geburtstagsproblem) ist bewusst ohne Rechnung angegeben: Die Zahl 23 überrascht, und die Herleitung kann später folgen.
Was variiert in Folge E? Die Versuchszahl über vier Größenordnungen. Die letzte Spalte ist die eigentliche Pointe: Der relative Abstand schrumpft, der absolute nicht. In Nr. 25 liegt die Anzahl 1,3 über dem Erwartungswert, in Nr. 30 sind es 143. Genau diese Unterscheidung räumt mit der Vorstellung auf, der Zufall würde etwas ausgleichen.
Häufige Fehlvorstellungen
- „Nach fünfmal Kopf ist Zahl fällig.” Nr. 19 und Nr. 23. Gegenmittel: simulieren und die Kurve zeigen.
- „Auffällige Muster sind unwahrscheinlicher.” Nr. 20 und Nr. 22. Gegenmittel: alle Folgen einer festen Länge sind gleich wahrscheinlich; auffällig ist nur, dass wir sie als Muster wahrnehmen.
- „Bei zwei Würfeln sind alle Augensummen gleich wahrscheinlich.” Folge B. Gegenmittel: die 36 Paare tatsächlich in eine Tabelle schreiben.
- „Wahrscheinlichkeit ist dasselbe wie relative Häufigkeit.” Folge E. Gegenmittel: konsequent unterschiedliche Wörter benutzen und beide Zahlen nebeneinander schreiben.
Zum Weiterarbeiten
- Werkzeug: Zufallsexperimente – Würfel, Münze, Urne und Galtonbrett simulieren, relative Häufigkeit gegen Versuchszahl anzeigen.
- Diagnostische Fragen zur Stochastik
- Übungsgenerator Stochastik