Verstehen ist nicht Verstehen

Ein Schüler löst eine Bruchgleichung korrekt. Ein zweiter löst sie ebenfalls korrekt. Aus den Heften beider geht die Lösung mit identischen Schritten hervor. Beide bekommen die volle Punktzahl. Beide sagen: „Ich hab’s verstanden.” Sind sie wirklich auf dem gleichen Niveau?

Richard Skemp, britischer Mathematik-Didaktiker, hat 1976 einen Artikel publiziert, der diese Frage präzise gestellt hat: Relational Understanding and Instrumental Understanding. Er hat darin etwas formuliert, was vielen Lehrkräften intuitiv klar ist, aber selten ausgesprochen wird: Es gibt zwei verschiedene Formen, „eine Aufgabe zu verstehen”. Und sie sind nicht in einem fließenden Kontinuum, sondern qualitativ unterschiedlich.

Skemps Unterscheidung

Instrumentelles Verständnis: Der Schüler weiß was zu tun ist – er beherrscht ein Verfahren. Er kann eine quadratische Gleichung mit der p-q-Formel lösen, er kann Brüche kürzen, er kann den Sinus eines Winkels berechnen. Aber er weiß nicht warum das funktioniert oder unter welchen Bedingungen.

Relationales Verständnis: Der Schüler weiß was zu tun ist und warum. Er sieht das Verfahren als Anwendung eines Prinzips, das er auch in anderer Form rekonstruieren könnte. Er versteht die Beziehungen zwischen Verfahren – warum die p-q-Formel mit der quadratischen Ergänzung zusammenhängt, warum Bruchkürzen nur Faktoren betrifft, warum Sinus an einem rechtwinkligen Dreieck definiert ist.

Skemps Pointe: Beide Formen heißen im Alltag „Verstehen”. Beide produzieren bei einer einfachen Standardaufgabe richtige Antworten. Sie unterscheiden sich nur dort, wo eine neue Konstellation auftritt – wo das Verfahren nicht direkt anwendbar ist und der Schüler es anpassen oder übertragen muss.

Ein Beispiel zum Mitdenken

Eine Aufgabe für Klasse 9: „Berechne das Volumen eines Quaders mit den Maßen 5, 7 und 4.”

• Instrumentelles Verständnis: Schüler kennt die Formel V = a · b · c. Setzt ein: 5 · 7 · 4 = 140. Antwort: 140.
• Relationales Verständnis: Schüler weiß, dass das Volumen die Anzahl der „Einheits-Würfel” ist, die in den Quader passen. Er kann die Aufgabe lösen, ohne sich an eine Formel zu erinnern. Er kann sich auch vorstellen, was passiert, wenn der Quader unregelmäßig ist – etwa, wenn man eine Kerbe herausschneidet.

Bei der Standardaufgabe sieht man keinen Unterschied. Bei einer Aufgabe wie „Wie viele Liter Wasser passen in einen halben Quader, wenn die Maße 1 m, 0,5 m und 0,2 m sind?” – mit Einheiten und Halbierung – fängt der Unterschied an, sich zu zeigen.

Warum das wichtig ist

Skemp hat in seinem Aufsatz drei Beobachtungen formuliert, die heute genauso aktuell sind wie 1976:

Erstens: Instrumentelles Verständnis ist einfacher zu lehren. Es funktioniert, indem die Lehrkraft Verfahren zeigt und die Schüler sie nachmachen. Das geht in einer Stunde. Relationales Verständnis aufzubauen dauert viel länger, ist diffuser, verlangt Geduld.

Zweitens: Instrumentelles Verständnis ist kurzfristig effizienter. Der Schüler kann sofort Aufgaben lösen. Er bekommt schnelle Erfolgserlebnisse. Die Lehrkraft sieht „Fortschritt”.

Drittens: Relationales Verständnis ist langfristig stabiler und übertragbar. Der instrumentell-verstehende Schüler vergisst Verfahren nach einigen Monaten. Der relational-verstehende rekonstruiert sie aus den Prinzipien. Bei Transferaufgaben, in denen das Verfahren nicht direkt passt, ist nur das relationale Verständnis brauchbar.

Skemp hat damals scharf formuliert: Wer eine Klasse nur auf instrumentelles Verständnis trainiert, baut systematisch eine Fassade auf, die in der nächsten Phase oder im nächsten Schuljahr zusammenbricht.

Wie das im Schulalltag zu beobachten ist

Ich kenne das aus meinen eigenen Korrekturen. Schüler, die in Klasse 7 die Bruchrechnung souverän beherrscht hatten, scheitern in Klasse 9, wenn sie Bruchterme bearbeiten. Warum? Sie hatten gelernt, was man macht – nicht, warum. Wenn das Verfahren minimal abgewandelt ist (statt Zahlen sind jetzt Variablen im Bruch), bricht es zusammen.

Schüler, die linear gewachsenes Wissen im Bereich Trigonometrie haben, verstehen die Sätze (Sinussatz, Kosinussatz) nicht, weil sie nicht sehen, wie diese aus dem Pythagoras-Gedanken hervorgehen. Sie lernen jeden Satz isoliert auswendig – und verlieren ihn auch isoliert wieder.

Ist instrumentelles Verständnis schlecht?

Hier kommt eine Pointe, die in der Skemp-Rezeption oft übergangen wird: Skemp sagte nicht, instrumentelles Verständnis sei wertlos. Er sagte: Es ist eine legitime Form – und in manchen Kontexten genau die richtige.

• Wer in einem Beruf nur eine Formel anwenden muss, braucht kein relationales Verständnis. Er muss zuverlässig rechnen können.
• Wer einen ganz neuen Stoff einführt, sollte oft zunächst instrumentell vorgehen – und das relationale Verständnis nachträglich aufbauen, wenn das Werkzeug einsatzfähig ist (das deckt sich mit der Cognitive-Load-Forschung und mit Worked Examples).
• In manchen Phasen einer Lernerbiografie ist instrumentelles Können vor relationaler Tiefe richtig.

Was Skemp warnt: das Verharren nur im Instrumentellen. Wer eine Klasse nie zur relationalen Ebene führt, hindert sie an Mathematik im eigentlichen Sinn.

Was das praktisch heißt: drei Routinen

Erstens: „Warum funktioniert das?”-Fragen. Wenn ein Schüler die richtige Antwort gibt, frage manchmal: „Warum funktioniert das so?” Nicht bei jeder Aufgabe – das wäre überfordernd – aber bei zentralen Verfahren. Wer keine Antwort hat, hat instrumentelles Verständnis. Das ist ein Anlass, das relationale Verständnis zu vertiefen, nicht ein Anlass für eine schlechte Note.

Zweitens: Aufgaben, die das Verfahren erfordern, aber nicht im Standardformat zeigen. Wenn die Klasse die Bruchaddition gelernt hat, gib eine Aufgabe wie: „Erfinde drei Brüche, deren Summe 1 ist.” Diese Aufgabe lässt sich mit instrumentellem Wissen nicht direkt lösen. Sie zwingt zur relationalen Anwendung.

Drittens: Verbindungen explizit ziehen. „Erinnert ihr euch, was wir vor drei Wochen bei den linearen Gleichungen gemacht haben? Genau dasselbe Prinzip wirkt hier bei den quadratischen Gleichungen, nur…” Diese Querverbindungen, die ich in meiner Anfangszeit oft als „Zeitverschwendung” abgetan habe, sind das Lebenselixier relationalen Verständnisses.

Skemp und Barton

Wer die Bartonsche Schule der Mathematik-Didaktik verfolgt – Variation Theory, diagnostische Fragen, Worked Examples – findet bei Skemp einen wichtigen Vorläufer. Bartons Insistenz auf deep structure statt nur surface structure in Aufgaben ist im Kern eine Operationalisierung von Skemps relationalem Verständnis. Eine Aufgabe, die dieselbe „surface” hat, aber andere „deep structure” verlangt, prüft genau, ob ein Schüler nur instrumentell oder auch relational versteht.

Wer also Variation-Theory-Aufgaben einsetzt, übt – ob er es so nennt oder nicht – relationales Verständnis. Wer diagnostische Fragen einsetzt, misst es. Skemp hat den theoretischen Rahmen geliefert, in den die heutige Mathe-Didaktik passt.

Was du diese Woche tun kannst

Such dir das nächste zentrale Verfahren, das deine Klasse beherrschen soll. Plane zwei Aufgaben dazu:

• Eine, die das Verfahren direkt anwendet (instrumentell prüfbar).
• Eine, die das Verfahren erfordert, aber in einer abgewandelten Form auftritt (relational prüfbar).

Beide gehören in die Stunde. Wer nur die erste stellt, lässt offen, ob die Klasse versteht oder nur ausführt.

Quellen

• Skemp, R. R. (1976). Relational Understanding and Instrumental Understanding. Mathematics Teaching, 77, 20–26.
• Skemp, R. R. (1987). The Psychology of Learning Mathematics. Lawrence Erlbaum.
• Hiebert, J., & Carpenter, T. P. (1992). Learning and Teaching with Understanding. In Grouws, D. A. (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, 65–97.
• Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to Think Mathematically. In Grouws, D. A. (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, 334–370.