Was eine gute Aufgabe ausmacht

In meinen ersten Jahren als Lehrer habe ich Aufgaben aus dem Schulbuch genommen. In den darauffolgenden Jahren habe ich mir eingebildet, sie zu verbessern: andere Zahlen, neuer Kontext, mehr Realbezug. Erst als ich Wittmann gelesen habe, ist mir aufgegangen, dass mein “Verbessern” oft das Falsche optimiert hat. Eine Aufgabe ist nicht besser, weil ihre Zahlen krumm sind. Sie ist besser, wenn sie mehr Mathematik enthält.

Substantielle Lernumgebungen

Wittmann hat den Begriff der substantiellen Lernumgebung geprägt. Eine substantielle Lernumgebung – kürzer: eine substantielle Aufgabe – erfüllt nach seiner Lesart vier Kriterien.

Erstens: Sie repräsentiert zentrale mathematische Inhalte. Sie führt nicht in einen Nebenstrang, sondern berührt einen Kerngedanken des Lehrplans. Beispiel: Eine Aufgabenfolge, in der Schüler entdecken, dass die Summe zweier ungerader Zahlen immer gerade ist, repräsentiert das Konzept des Beweisens durch allgemeingültige Argumente. Eine Aufgabenfolge, in der Schüler 17 Mal 4 · 7 ausrechnen, repräsentiert nichts als das Einüben einer Routine.

Zweitens: Sie bietet vielfältige Lösungswege. Es gibt nicht einen Trichter, durch den alle Schüler durchmüssen, sondern eine Pluralität an Zugängen – algebraisch, geometrisch, mit Tabelle, mit Schätzung, durch Probieren. Damit wird die Aufgabe von Natur aus differenzierend: jeder findet einen Einstieg.

Drittens: Sie ist skalierbar. Sie funktioniert für die schwächste Schülerin im Raum (auf einer einfachen Ebene) und gleichzeitig für die stärkste (auf einer tiefen Ebene). Der mathematische Kern bleibt derselbe; was sich ändert, ist die Tiefe der Auseinandersetzung.

Viertens: Sie führt zu produktivem Üben. Wittmann unterscheidet automatisierendes Üben (Routine festigen) von produktivem Üben (Routine festigen und zugleich neue Einsichten gewinnen). Eine substantielle Aufgabe macht beides gleichzeitig.

Ein Beispiel zum Sezieren

Aufgabe: “Wähle drei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen. Bilde ihre Summe. Kannst du eine Vorhersage über die Summe machen, ohne sie auszurechnen?”

Prüfen wir die vier Kriterien:

• Zentraler Inhalt? Ja – die Aufgabe berührt das Konzept der allgemeingültigen mathematischen Begründung. Schüler entdecken: Die Summe ist immer das Dreifache der mittleren Zahl. Das ist eine algebraische Einsicht, die später beim Variablengebrauch trägt.
• Vielfältige Lösungswege? Auch ja. Manche Schüler probieren Beispiele aus und sehen das Muster. Andere argumentieren symbolisch ((n−1) + n + (n+1) = 3n). Wieder andere nehmen ein geometrisches Modell mit Plättchen.
• Skalierbar? Sehr. Die schwächere Schülerin findet Beispiele und sagt: “Es geht immer durch drei.” Die stärkere Schülerin beweist es allgemein und fragt: “Was passiert mit fünf aufeinanderfolgenden Zahlen?”
• Produktives Üben? Ja, wenn die Lehrkraft den Übergang macht – etwa zur Frage: “Was, wenn du vier aufeinanderfolgende Zahlen nimmst?” Dann üben Schüler den Variablengebrauch im Kontext einer neuen Hypothese.

Eine Aufgabe vom Typ “Berechne 5 + 6 + 7 = ?” leistet keines dieser vier Dinge.

Wo das im Schulbuch oft fehlt

Schulbücher zerlegen Mathematik in kleine, leicht abprüfbare Häppchen. Das hat Vorteile (Übersichtlichkeit, Fortschrittsmessung) und einen großen Preis: Aufgaben werden auf ihre Lösbarkeit hin gestaltet, nicht auf ihre Bildsamkeit. Eine Stunde, die aus 30 Schulbuchaufgaben besteht, hat oft weniger mathematische Substanz als eine, die aus einer substantiellen Aufgabe besteht.

Der bequeme Trugschluss: “Quantität = Übung = Lernen.” Wittmanns Antwort: Übung ist gut, wenn sie Substanz hat. Sonst wird sie zum mathematikfernen Mechanismus.

Eine Selbstprüfung für die Unterrichtsvorbereitung

Wenn ich heute eine Aufgabe für eine Stunde plane, gehe ich vier Fragen durch:

1. Was ist der mathematische Kern? Wenn ich diese Frage nicht in einem Satz beantworten kann, ist die Aufgabe wahrscheinlich nicht zentral genug.
2. Wie viele Wege führen zur Lösung? Wenn nur einer, wird es eine Vorführung – kein Lernanlass.
3. Wo ist der Einstieg für die Schwächsten? Wo das Ende für die Stärksten? Wenn beide Enden auf derselben Schiene liegen, fehlt die Skalierung.
4. Wenn der Inhalt verstanden ist – kann ich daran weiter üben? Oder ist die Aufgabe danach abgehakt? Eine Aufgabe, die nach einer Lösung “fertig” ist, ist eine schlechtere Investition als eine, die zum Weiterforschen einlädt.

Warum das gerade jetzt zählt

KI-Werkzeuge können routinemäßige Aufgaben sekundenschnell lösen. Was das Können der Schüler in den nächsten Jahren auszeichnen wird, ist nicht die Beherrschung von Routinen – die kann auch der Taschenrechner – sondern das Argumentieren, das Verallgemeinern, das Erkennen mathematischer Struktur. Genau das, was substantielle Aufgaben trainieren.

Wittmanns Kriterien aus den Neunzigern sind, wenn man sie ernst nimmt, ein Programm für den Mathematikunterricht der nächsten zwanzig Jahre.

Quellen

• Wittmann, E. C. (1995). Mathematics Education as a “Design Science”. Educational Studies in Mathematics, 29(4), 355–374.
• Wittmann, E. C. (1997). Vom Sinn und Zweck des produktiven Übens. Grundschule, 29(4), 7–10.
• Krauthausen, G., & Scherer, P. (2007). Einführung in die Mathematikdidaktik. Spektrum.