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Arbeitsblatt: Binomische Formeln – drei Muster, ein Prinzip

30 Aufgaben mit Platz zum Rechnen, dahinter das Lösungsblatt. Auf Papier steht die Tabelle so, wie sie gedacht ist: mit allen Spalten nebeneinander und Platz zum Rechnen dazwischen. Zur Aufgabenfolge

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Binomische Formeln · Klasse 8/9

Binomische Formeln – drei Muster, ein Prinzip

Name: Datum:

Die drei binomischen Formeln sind:

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ (1. Formel)
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ (2. Formel)
$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$ (3. Formel)

Sie sehen aus wie drei Regeln. In Wirklichkeit sind es drei Spezialfälle einer Idee: das systematische Ausmultiplizieren von $(a ± b) \cdot (c ± d)$ . Wenn du das Ausmultiplizieren beherrschst (Distributivgesetz, jeder Term mit jedem), kannst du die drei Formeln jederzeit aus dem Kopf herleiten. Auswendiglernen ist nicht nötig – nur das Üben des Musters.

Bearbeite die Aufgaben in der gegebenen Reihenfolge. Bei jeder Aufgabe: zuerst identifizieren, welche der drei Formeln (oder ob mehrere kombiniert) anzuwenden ist.

Folge A: Ausmultiplizieren – die Grundform

Sieh genau hin: Was variiert von Zeile zu Zeile, was nicht?

Nr.	Aufgabe	Lösung
1	$(x + 3)^{2}$
2	$(x - 3)^{2}$
3	$(x + 3)(x - 3)$
4	$(x + 5)^{2}$
5	$(x - 5)^{2}$
6	$(x + 5)(x - 5)$
7	$(x + 1)^{2}$
8	$(x - 1)^{2}$
9	$(x + 1)(x - 1)$

Folge B: Mit Koeffizienten und Vorzeichen

Jetzt wird es etwas weniger glatt – aber das Muster bleibt.

Nr.	Aufgabe	Lösung
10	$(2x + 3)^{2}$
11	$(3x - 2)^{2}$
12	$(2x + 3)(2x - 3)$
13	$(5a + 2b)^{2}$
14	$(5a - 2b)^{2}$
15	$(5a + 2b)(5a - 2b)$
16	$(-x + 4)^{2}$
17	$(-x - 4)^{2}$

Folge C: Faktorisieren – die Umkehrung

Hier sehen wir das Ergebnis und müssen die Klammerform finden. Genau hier wird die Beherrschung der Formeln praktisch wertvoll.

Nr.	Aufgabe	Faktorform
18	$x^{2} + 8x + 16$
19	$x^{2} - 8x + 16$
20	$x^{2} - 16$
21	$x^{2} + 12x + 36$
22	$x^{2} - 49$
23	$4x^{2} - 25$
24	$9x^{2} - 24x + 16$
25	$100 - x^{2}$

Folge D: Erkennen unter Tarnung

Die Aufgabe sieht zuerst nicht nach binomischer Formel aus. Schau genau hin.

Nr.	Aufgabe	Erste Umformung	Lösung
26	$(x + 2)^{2} - (x - 2)^{2}$
27	$25 - (x - 3)^{2}$
28	$x^{2} - 6x + 9 - y^{2}$
29	$4x^{2} + 12xy + 9y^{2} - 16$
30	$x^{4} - 1$

Zum Nachdenken

In Folge A bleibt eine Sache von Zeile zu Zeile gleich. Was? Und was variiert?
Vergleiche Aufgabe 1 mit Aufgabe 10. Was ist mathematisch dasselbe, was unterschiedlich?
Warum ist $(x - 3)^{2} \neq x^{2} - 9$ ? Welcher klassische Fehler steckt hinter dieser Verwechslung?
Aufgabe 17 ist diagnostisch interessant: $(-x - 4)^{2}$ . Warum kommt am Ende wieder ein positives $+8x$ heraus, obwohl beide Vorzeichen negativ waren?
In Folge C: Wie erkennst du am Anfang, ob ein Trinom Form $(x + b)^{2}$ oder $(x - b)^{2}$ ergibt? Welcher der drei Terme hilft dir bei der Entscheidung?

Lösungsblatt · Binomische Formeln

Binomische Formeln – drei Muster, ein Prinzip

Folge A: Ausmultiplizieren – die Grundform

Nr.	Aufgabe	Lösung
1	$(x + 3)^{2}$	$x^{2} + 6x + 9$
2	$(x - 3)^{2}$	$x^{2} - 6x + 9$
3	$(x + 3)(x - 3)$	$x^{2} - 9$
4	$(x + 5)^{2}$	$x^{2} + 10x + 25$
5	$(x - 5)^{2}$	$x^{2} - 10x + 25$
6	$(x + 5)(x - 5)$	$x^{2} - 25$
7	$(x + 1)^{2}$	$x^{2} + 2x + 1$
8	$(x - 1)^{2}$	$x^{2} - 2x + 1$
9	$(x + 1)(x - 1)$	$x^{2} - 1$

Folge B: Mit Koeffizienten und Vorzeichen

Nr.	Aufgabe	Lösung
10	$(2x + 3)^{2}$	$4x^{2} + 12x + 9$
11	$(3x - 2)^{2}$	$9x^{2} - 12x + 4$
12	$(2x + 3)(2x - 3)$	$4x^{2} - 9$
13	$(5a + 2b)^{2}$	$25a^{2} + 20ab + 4b^{2}$
14	$(5a - 2b)^{2}$	$25a^{2} - 20ab + 4b^{2}$
15	$(5a + 2b)(5a - 2b)$	$25a^{2} - 4b^{2}$
16	$(-x + 4)^{2}$	$x^{2} - 8x + 16$
17	$(-x - 4)^{2}$	$x^{2} + 8x + 16$

Folge C: Faktorisieren – die Umkehrung

Nr.	Aufgabe	Faktorform
18	$x^{2} + 8x + 16$	$(x + 4)^{2}$
19	$x^{2} - 8x + 16$	$(x - 4)^{2}$
20	$x^{2} - 16$	$(x - 4)(x + 4)$
21	$x^{2} + 12x + 36$	$(x + 6)^{2}$
22	$x^{2} - 49$	$(x - 7)(x + 7)$
23	$4x^{2} - 25$	$(2x - 5)(2x + 5)$
24	$9x^{2} - 24x + 16$	$(3x - 4)^{2}$
25	$100 - x^{2}$	$(10 - x)(10 + x)$

Folge D: Erkennen unter Tarnung

Nr.	Aufgabe	Erste Umformung	Lösung
26	$(x + 2)^{2} - (x - 2)^{2}$	binomische Formeln einsetzen	$8x$
27	$25 - (x - 3)^{2}$	3. Formel mit „a = 5“ und „b = (x − 3)“	$(5 - x + 3)(5 + x - 3) = (8 - x)(2 + x)$
28	$x^{2} - 6x + 9 - y^{2}$	erste drei Terme als Quadrat	$(x - 3 - y)(x - 3 + y)$
29	$4x^{2} + 12xy + 9y^{2} - 16$	erste drei Terme als Quadrat	$(2x + 3y - 4)(2x + 3y + 4)$
30	$x^{4} - 1$	zweimal die 3. Formel	$(x - 1)(x + 1)(x^{2} + 1)$