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Vorbereitung · zum Ausdrucken

Arbeitsblatt: Binomische Formeln – drei Muster, ein Prinzip

30 Aufgaben mit Platz zum Rechnen, dahinter das Lösungsblatt. Auf Papier steht die Tabelle so, wie sie gedacht ist: mit allen Spalten nebeneinander und Platz zum Rechnen dazwischen. Zur Aufgabenfolge

Binomische Formeln · Klasse 8/9

Binomische Formeln – drei Muster, ein Prinzip

Name: Datum:

Die drei binomischen Formeln sind:

  • (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} (1. Formel)
  • (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2} (2. Formel)
  • (a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2} (3. Formel)

Sie sehen aus wie drei Regeln. In Wirklichkeit sind es drei Spezialfälle einer Idee: das systematische Ausmultiplizieren von (a±b)⋅(c±d)(a ± b) \cdot (c ± d). Wenn du das Ausmultiplizieren beherrschst (Distributivgesetz, jeder Term mit jedem), kannst du die drei Formeln jederzeit aus dem Kopf herleiten. Auswendiglernen ist nicht nötig – nur das Üben des Musters.

Bearbeite die Aufgaben in der gegebenen Reihenfolge. Bei jeder Aufgabe: zuerst identifizieren, welche der drei Formeln (oder ob mehrere kombiniert) anzuwenden ist.

Folge A: Ausmultiplizieren – die Grundform

Sieh genau hin: Was variiert von Zeile zu Zeile, was nicht?

Nr. AufgabeLösung
1 (x+3)2(x + 3)^{2}
2 (x−3)2(x - 3)^{2}
3 (x+3)(x−3)(x + 3)(x - 3)
4 (x+5)2(x + 5)^{2}
5 (x−5)2(x - 5)^{2}
6 (x+5)(x−5)(x + 5)(x - 5)
7 (x+1)2(x + 1)^{2}
8 (x−1)2(x - 1)^{2}
9 (x+1)(x−1)(x + 1)(x - 1)

Folge B: Mit Koeffizienten und Vorzeichen

Jetzt wird es etwas weniger glatt – aber das Muster bleibt.

Nr. AufgabeLösung
10 (2x+3)2(2x + 3)^{2}
11 (3x−2)2(3x - 2)^{2}
12 (2x+3)(2x−3)(2x + 3)(2x - 3)
13 (5a+2b)2(5a + 2b)^{2}
14 (5a−2b)2(5a - 2b)^{2}
15 (5a+2b)(5a−2b)(5a + 2b)(5a - 2b)
16 (−x+4)2(-x + 4)^{2}
17 (−x−4)2(-x - 4)^{2}

Folge C: Faktorisieren – die Umkehrung

Hier sehen wir das Ergebnis und müssen die Klammerform finden. Genau hier wird die Beherrschung der Formeln praktisch wertvoll.

Nr. AufgabeFaktorform
18 x2+8x+16x^{2} + 8x + 16
19 x2−8x+16x^{2} - 8x + 16
20 x2−16x^{2} - 16
21 x2+12x+36x^{2} + 12x + 36
22 x2−49x^{2} - 49
23 4x2−254x^{2} - 25
24 9x2−24x+169x^{2} - 24x + 16
25 100−x2100 - x^{2}

Folge D: Erkennen unter Tarnung

Die Aufgabe sieht zuerst nicht nach binomischer Formel aus. Schau genau hin.

Nr. AufgabeErste UmformungLösung
26 (x+2)2−(x−2)2(x + 2)^{2} - (x - 2)^{2}
27 25−(x−3)225 - (x - 3)^{2}
28 x2−6x+9−y2x^{2} - 6x + 9 - y^{2}
29 4x2+12xy+9y2−164x^{2} + 12xy + 9y^{2} - 16
30 x4−1x^{4} - 1

Zum Nachdenken

  1. In Folge A bleibt eine Sache von Zeile zu Zeile gleich. Was? Und was variiert?

  2. Vergleiche Aufgabe 1 mit Aufgabe 10. Was ist mathematisch dasselbe, was unterschiedlich?

  3. Warum ist (x−3)2≠x2−9(x - 3)^{2} \neq x^{2} - 9? Welcher klassische Fehler steckt hinter dieser Verwechslung?

  4. Aufgabe 17 ist diagnostisch interessant: (−x−4)2(-x - 4)^{2}. Warum kommt am Ende wieder ein positives +8x+8x heraus, obwohl beide Vorzeichen negativ waren?

  5. In Folge C: Wie erkennst du am Anfang, ob ein Trinom Form (x+b)2(x + b)^{2} oder (x−b)2(x - b)^{2} ergibt? Welcher der drei Terme hilft dir bei der Entscheidung?

Lösungsblatt · Binomische Formeln

Binomische Formeln – drei Muster, ein Prinzip

Folge A: Ausmultiplizieren – die Grundform

Nr. AufgabeLösung
1 (x+3)2(x + 3)^{2} x2+6x+9x^{2} + 6x + 9
2 (x−3)2(x - 3)^{2} x2−6x+9x^{2} - 6x + 9
3 (x+3)(x−3)(x + 3)(x - 3) x2−9x^{2} - 9
4 (x+5)2(x + 5)^{2} x2+10x+25x^{2} + 10x + 25
5 (x−5)2(x - 5)^{2} x2−10x+25x^{2} - 10x + 25
6 (x+5)(x−5)(x + 5)(x - 5) x2−25x^{2} - 25
7 (x+1)2(x + 1)^{2} x2+2x+1x^{2} + 2x + 1
8 (x−1)2(x - 1)^{2} x2−2x+1x^{2} - 2x + 1
9 (x+1)(x−1)(x + 1)(x - 1) x2−1x^{2} - 1

Folge B: Mit Koeffizienten und Vorzeichen

Nr. AufgabeLösung
10 (2x+3)2(2x + 3)^{2} 4x2+12x+94x^{2} + 12x + 9
11 (3x−2)2(3x - 2)^{2} 9x2−12x+49x^{2} - 12x + 4
12 (2x+3)(2x−3)(2x + 3)(2x - 3) 4x2−94x^{2} - 9
13 (5a+2b)2(5a + 2b)^{2} 25a2+20ab+4b225a^{2} + 20ab + 4b^{2}
14 (5a−2b)2(5a - 2b)^{2} 25a2−20ab+4b225a^{2} - 20ab + 4b^{2}
15 (5a+2b)(5a−2b)(5a + 2b)(5a - 2b) 25a2−4b225a^{2} - 4b^{2}
16 (−x+4)2(-x + 4)^{2} x2−8x+16x^{2} - 8x + 16
17 (−x−4)2(-x - 4)^{2} x2+8x+16x^{2} + 8x + 16

Folge C: Faktorisieren – die Umkehrung

Nr. AufgabeFaktorform
18 x2+8x+16x^{2} + 8x + 16 (x+4)2(x + 4)^{2}
19 x2−8x+16x^{2} - 8x + 16 (x−4)2(x - 4)^{2}
20 x2−16x^{2} - 16 (x−4)(x+4)(x - 4)(x + 4)
21 x2+12x+36x^{2} + 12x + 36 (x+6)2(x + 6)^{2}
22 x2−49x^{2} - 49 (x−7)(x+7)(x - 7)(x + 7)
23 4x2−254x^{2} - 25 (2x−5)(2x+5)(2x - 5)(2x + 5)
24 9x2−24x+169x^{2} - 24x + 16 (3x−4)2(3x - 4)^{2}
25 100−x2100 - x^{2} (10−x)(10+x)(10 - x)(10 + x)

Folge D: Erkennen unter Tarnung

Nr. AufgabeErste UmformungLösung
26 (x+2)2−(x−2)2(x + 2)^{2} - (x - 2)^{2} binomische Formeln einsetzen8x8x
27 25−(x−3)225 - (x - 3)^{2} 3. Formel mit „a = 5“ und „b = (x − 3)“(5−x+3)(5+x−3)=(8−x)(2+x)(5 - x + 3)(5 + x - 3) = (8 - x)(2 + x)
28 x2−6x+9−y2x^{2} - 6x + 9 - y^{2} erste drei Terme als Quadrat(x−3−y)(x−3+y)(x - 3 - y)(x - 3 + y)
29 4x2+12xy+9y2−164x^{2} + 12xy + 9y^{2} - 16 erste drei Terme als Quadrat(2x+3y−4)(2x+3y+4)(2x + 3y - 4)(2x + 3y + 4)
30 x4−1x^{4} - 1 zweimal die 3. Formel(x−1)(x+1)(x2+1)(x - 1)(x + 1)(x^{2} + 1)