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Arbeitsblatt: Bruchgleichungen – Definitionsbereich zuerst, Probe zuletzt

30 Aufgaben mit Platz zum Rechnen, dahinter das Lösungsblatt. Auf Papier steht die Tabelle so, wie sie gedacht ist: mit allen Spalten nebeneinander und Platz zum Rechnen dazwischen. Zur Aufgabenfolge

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Bruchgleichungen · Klasse 9/10

Bruchgleichungen – Definitionsbereich zuerst, Probe zuletzt

Name: Datum:

Eine Bruchgleichung hat die Variable im Nenner. Daraus folgen zwei Pflichtschritte, die keine Formsache sind:

Vor dem Rechnen: Bestimme den Definitionsbereich. Welche Werte machen einen Nenner null? Diese Werte sind verboten – für die ganze Aufgabe.

Nach dem Rechnen: Mach die Probe. Beim Multiplizieren mit dem Hauptnenner können Lösungen entstehen, die die ursprüngliche Gleichung gar nicht erfüllen. Man nennt sie Scheinlösungen.

Merksatz: Der Definitionsbereich gehört zur Aufgabe, nicht zum Lösungsweg.

Folge A: Nur den Definitionsbereich bestimmen

Noch nicht lösen. Welche Werte sind ausgeschlossen?

Nr.	Gleichung	Ausgeschlossen
1	$\frac{3}{x} = 6$
2	$\frac{3}{x-2} = 6$
3	$\frac{3}{x+5} = 6$
4	$\frac{3}{2x-6} = 1$
5	$\frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} = 3$
6	$\frac{1}{x^{2}-4} = 5$

Frage nach Nr. 6: In Nr. 6 sind zwei Werte verboten, obwohl nur ein Bruch dasteht. Wie kommt das?

Folge B: Einfache Bruchgleichungen

Nr.	Gleichung	Definitionsbereich	Lösung
7	$\frac{6}{x} = 3$
8	$\frac{6}{x} = 2$
9	$\frac{6}{x} = 12$
10	$\frac{6}{x-1} = 3$
11	$\frac{6}{x+1} = 3$
12	$\frac{6}{2x} = 3$

Frage nach Nr. 12: In Nr. 7 bis 9 bleibt der Nenner gleich und die rechte Seite ändert sich. Wie hängen Lösung und rechte Seite zusammen?

Folge C: Zwei Brüche

Nr.	Gleichung	Definitionsbereich	Lösung
13	$\frac{1}{x} = \frac{2}{x+3}$
14	$\frac{2}{x} = \frac{3}{x+1}$
15	$\frac{1}{x-1} = \frac{2}{x+1}$
16	$\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} = 3$
17	$\frac{1}{x-2} = \frac{3}{x+2}$
18	$\frac{4}{x} - \frac{1}{x} = 3$

Hinweis: Bei Nr. 13, 14, 15 und 17 führt „über Kreuz multiplizieren“ schnell zum Ziel – das ist erlaubt, weil beide Seiten aus genau einem Bruch bestehen.

Folge D: Scheinlösungen

Diese sechs Gleichungen liefern beim Rechnen einen Wert, der nicht zum Definitionsbereich gehört. Die Probe ist hier nicht optional.

Nr.	Gleichung	Rechnerisch	Tatsächlich
19	$\frac{x}{x-2} = \frac{2}{x-2}$
20	$\frac{1}{x-3} = 0$
21	$\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x-1} = 0$
22	$\frac{x^{2}-9}{x-3} = 6$
23	$\frac{1}{x+2} = \frac{1}{x+2}$
24	$\frac{3}{x-4} + \frac{12}{x-4} = 5$

Frage nach Nr. 24: Fünf dieser sechs Aufgaben haben keine oder eine eingeschränkte Lösungsmenge. Woran hätte man das jeweils schon vor dem Rechnen sehen können?

Folge E: Anwendungen

Nr.	Aufgabe	Ansatz und Lösung
25	Eine Zahl und ihr Kehrwert ergeben zusammen 2,5. Welche Zahl?
26	Zwei Rohre füllen ein Becken zusammen in 6 Stunden. Rohr A allein braucht 10 Stunden. Wie lange braucht B allein?
27	Ein Bruch hat den Zähler 3. Vergrößert man den Nenner um 2, halbiert sich der Wert. Wie heißt der Bruch?
28	Bei welcher Zahl ist der Kehrwert viermal so groß wie die Zahl selbst?
29	Zwei Arbeiter brauchen zusammen 4 Stunden. Einer allein braucht 6 Stunden. Wie lange braucht der andere?
30	Der Kehrwert einer Zahl, um 1 vergrößert, ergibt 3. Welche Zahl?

Zum Nachdenken

Warum ist das Multiplizieren mit dem Hauptnenner keine Äquivalenzumformung, solange der Nenner null werden kann?
In Nr. 20 gibt es keine Lösung. Begründe das ohne Rechnung.
Warum genügt es bei Scheinlösungen nicht, am Ende „x = 2“ hinzuschreiben und den Definitionsbereich zu vergessen?
In Nr. 23 sind fast alle Zahlen Lösung. Wie schreibt man eine solche Lösungsmenge korrekt auf?
Aufgabe 26 und 29 haben dieselbe Struktur. Formuliere den gemeinsamen Ansatz in einem Satz.

Lösungsblatt · Bruchgleichungen