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Arbeitsblatt: Exponentielles Wachstum und Zerfall – vom Faktor zur Funktion

32 Aufgaben mit Platz zum Rechnen, dahinter das Lösungsblatt. Auf Papier steht die Tabelle so, wie sie gedacht ist: mit allen Spalten nebeneinander und Platz zum Rechnen dazwischen. Zur Aufgabenfolge

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Exponentialfunktionen · Klasse 10

Exponentielles Wachstum und Zerfall – vom Faktor zur Funktion

Name: Datum:

Beim exponentiellen Wachstum wird ein Bestand in jedem Zeitschritt mit demselben Vermehrungsfaktor $q$ multipliziert. Beim exponentiellen Zerfall ebenso – nur ist der Faktor kleiner als 1.

Die zentrale Beziehung:

$f(t) = a \cdot q^t$

$a$ ist der Anfangsbestand (zum Zeitpunkt t = 0).
$q$ ist der Vermehrungs- bzw. Verminderungsfaktor pro Zeitschritt.
$t$ ist die Anzahl der Zeitschritte.

Wenn die Veränderungsrate als Prozent angegeben ist:

Wachstum um $p \,\%$ pro Zeitschritt → $q = 1 + \frac{p}{100}$ . (5 % → q = 1,05)
Zerfall um $p \,\%$ pro Zeitschritt → $q = 1 - \frac{p}{100}$ . (5 % → q = 0,95)

Folge A: Vermehrungsfaktor erkennen und bilden

Schreib für jede prozentuale Veränderung den Vermehrungs- oder Verminderungsfaktor auf.

Nr.	Veränderung pro Zeitschritt	Faktor q
1	Wachstum um 10 %
2	Wachstum um 25 %
3	Wachstum um 100 %
4	Wachstum um 1 %
5	Zerfall um 10 %
6	Zerfall um 25 %
7	Zerfall um 50 %
8	Zerfall um 1 %

Folge B: Bestand nach mehreren Zeitschritten

Anfangsbestand a und Faktor q sind gegeben. Berechne den Bestand nach t Zeitschritten.

Nr.	$a$	$q$	$t$
9	$1000$	$1{,}10$	$5$
10	$1000$	$1{,}10$	$10$
11	$1000$	$1{,}05$	$10$
12	$1000$	$0{,}90$	$5$
13	$1000$	$0{,}90$	$10$
14	$500$	$1{,}20$	$4$
15	$800$	$0{,}75$	$6$

Folge C: Aus Beobachtungen den Faktor finden

Anfangs- und Endbestand sind bekannt, dazu die Anzahl der Zeitschritte. Berechne den Faktor.

Nr.	$a$	$f(t)$	$t$
16	$1000$	$1500$	$5$
17	$1000$	$2000$	$10$
18	$1000$	$500$	$7$
19	$200$	$50$	$4$
20	$100$	$1000$	$5$
21	$1$	$2$	$1$

Folge D: Halbwerts- und Verdopplungszeit

Nr.	Aufgabe	Ansatz	Lösung
22	Bei q = 1,05 (5 % Wachstum): Wann hat sich der Bestand verdoppelt?
23	Bei q = 1,10: Verdopplung?
24	Bei q = 0,90: Wann ist nur noch die Hälfte da?
25	Halbwertszeit von Caesium-137 ist 30 Jahre. Wie viel ist nach 60 Jahren noch da? Nach 90 Jahren?
26	Eine Bevölkerung wächst mit einem Faktor q. In 50 Jahren verdoppelt sie sich. Was ist q?

Folge E: Wachstum oder Zerfall? Erkennen und einordnen

In jedem Aufgabentext muss zuerst entschieden werden: Wachstum oder Zerfall? Welcher Faktor passt?

Nr.	Sachkontext	Wachstum oder Zerfall	Faktor
27	Eine Bakterienkultur verdoppelt sich alle 30 Minuten. Bestand pro 30-Minuten-Schritt?
28	Ein radioaktiver Stoff zerfällt mit einer Halbwertszeit von 8 Tagen.
29	Ein Investmentfonds verzinst sich mit 4 % jährlich.
30	Ein Auto verliert 18 % seines Wertes pro Jahr.
31	Eine Pflanzenpopulation wird durch Schädlinge dezimiert: Jeden Monat sterben 20 % der Pflanzen, gleichzeitig wachsen 5 % nach.
32	Eine Stadt wächst durch Zuzug um 1500 pro Jahr (Anfangsbestand 50 000).

Zum Nachdenken

In Folge A: Was ist der Vermehrungsfaktor bei „doppelt so groß“? Was bei „auf die Hälfte“?
Vergleiche Aufgabe 32 und Aufgabe 29. Beide beschreiben Zuwachs. Warum ist der eine exponentiell und der andere linear?
In Aufgabe 22 ist die Verdopplung bei 5 % Wachstum etwa 14 Jahre, bei 10 % etwa 7 Jahre. Was ist die Faustregel, die viele Anleger kennen? (Tipp: 70/p oder 72/p.)
Aufgabe 31 mischt Zugewinn und Verlust. Warum funktioniert die einfache Subtraktion (20 % − 5 % = 15 %) hier nicht korrekt? Wenn nicht – wie geht es richtig?
Bei Aufgabe 25 (Caesium-137) sind die Zeitschritte explizit Halbwertszeiten. Wie würde man die Funktion $f(t)$ schreiben, wenn $t$ Jahre sein soll, nicht Halbwertszeiten?

Lösungsblatt · Exponentialfunktionen