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Arbeitsblatt: Lineare Gleichungssysteme – drei Methoden, eine Idee

28 Aufgaben mit Platz zum Rechnen, dahinter das Lösungsblatt. Auf Papier steht die Tabelle so, wie sie gedacht ist: mit allen Spalten nebeneinander und Platz zum Rechnen dazwischen. Zur Aufgabenfolge

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Lineare Gleichungssysteme · Klasse 8/9

Lineare Gleichungssysteme – drei Methoden, eine Idee

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Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten besteht aus zwei Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein sollen. Beispiel:

$\begin{aligned}$

$2x + y &= 7\\$

x - y &= 2

$\end{aligned}$

Das Lösungspaar $(x, y)$ ist die einzige Kombination, die beide Gleichungen wahr macht. Es gibt im Wesentlichen drei Methoden, ein solches System zu lösen:

Gleichsetzungsverfahren: Beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen, dann gleichsetzen.
Einsetzungsverfahren: Eine Variable aus einer Gleichung isolieren und in die andere einsetzen.
Additionsverfahren: Die Gleichungen so umformen, dass sich beim Addieren oder Subtrahieren eine Variable eliminiert.

Alle drei Methoden geben dieselbe Lösung. Welche du wählst, hängt davon ab, welche Form das System hat.

Folge A: Gleichsetzungsverfahren – wenn beides nach y aufgelöst ist

Die Bedingungen liegen schon in der Form $y = ...$ . Die Methode ist hier am direktesten.

Nr.	System	Lösung
1	$y = x + 2 / y = 2x - 1$
2	$y = 2x - 4 / y = -x + 5$
3	$y = 3x / y = x + 4$
4	$y = 4x - 7 / y = x + 5$
5	$y = -2x + 8 / y = x - 1$
6	$y = \frac{1}{2}x + 3 / y = x - 1$

Folge B: Einsetzungsverfahren – wenn eine Variable schon isoliert ist

In jeder Aufgabe ist eine Variable bereits aufgelöst. Setze sie in die andere Gleichung ein.

Nr.	System	Lösung
7	$y = 2x - 1 / 3x + y = 14$
8	$x = y + 3 / 2x - y = 11$
9	$y = x + 1 / 4x + 2y = 14$
10	$y = 5 - x / 2x + 3y = 11$
11	$x = 2y / 3x - y = 10$
12	$y = \frac{1}{2}x / x + y = 9$

Folge C: Additionsverfahren – wenn die Standardform günstig ist

Die Gleichungen stehen in der Form $ax + by = c$ . Das Additionsverfahren passt am besten, wenn man durch Addition oder Subtraktion eine Variable eliminieren kann.

Nr.	System	Eliminations-Idee	Lösung
13	$2x + y = 7 / x - y = 2$
14	$x + 2y = 8 / x - y = 2$
15	$3x + 2y = 12 / x + 2y = 6$
16	$2x + 3y = 11 / 4x - 3y = 7$
17	$2x + y = 5 / 3x + y = 7$
18	$5x + 2y = 16 / 3x - 2y = 0$

Folge D: Vorbereitung nötig – das Additionsverfahren mit Multiplikation

Hier muss eine oder beide Gleichungen erst mit einer Zahl multipliziert werden, damit eine Variable beim Addieren bzw. Subtrahieren wegfällt.

Nr.	System	Vorbereitung	Lösung
19	$2x + 3y = 13 / x + y = 5$
20	$3x + 2y = 16 / 2x + 5y = 18$
21	$4x - y = 10 / 3x + 2y = 13$
22	$5x + 3y = 21 / 2x - y = 4$
23	$7x + 4y = 26 / 3x + 2y = 12$

Folge E: Welche Methode passt? Selbstwahl

In jeder Zeile eine Aufgabe, die in unterschiedlicher Form präsentiert ist. Wähle für jede Aufgabe die Methode, die am wenigsten Schritte braucht. Schreib dazu in den Lösungen, welche Methode du gewählt hast und warum.

Nr.	System	Vorgeschlagene Methode
24	$y = 3x - 1 / y = x + 5$	Gleichsetzen
25	$2x + y = 9 / 3x - y = 6$	Addieren
26	$y = 2x / x + 3y = 14$	Einsetzen
27	$4x + 3y = 18 / 2x - y = 4$	Additionsverfahren mit Multiplikation
28	$y = \frac{1}{2}x + 2 / 2x - y = 7$	Einsetzen

Zum Nachdenken

In Folge A bis C ist eine Methode jeweils die naheliegendste. Vergleiche Aufgabe 7 und Aufgabe 25: Beide könnten mit jedem Verfahren gelöst werden. Was bringt jede Methode an Aufwand?
In Aufgabe 13 ergibt das Addieren $3x = 9$ . Wenn du stattdessen das Einsetzungsverfahren wählst, wie viele Schritte brauchst du dann?
In Aufgabe 21 wird die erste Gleichung mit 2 multipliziert. Warum wird die zweite nicht multipliziert? Würde es auch andersherum gehen?
Es gibt Systeme ohne Lösung (parallele Geraden) und Systeme mit unendlich vielen Lösungen (identische Geraden). Wie merkst du das beim Lösen mit dem Additionsverfahren?
Welche der drei Methoden würdest du einer Klasse 8 zuerst vorstellen, wenn du die Wahl hättest? Begründe.

Lösungsblatt · Lineare Gleichungssysteme