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Arbeitsblatt: Pythagoras – Grundform und Anwendung

30 Aufgaben mit Platz zum Rechnen, dahinter das Lösungsblatt. Auf Papier steht die Tabelle so, wie sie gedacht ist: mit allen Spalten nebeneinander und Platz zum Rechnen dazwischen. Zur Aufgabenfolge

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Pythagoras · Klasse 9/10

Pythagoras – Grundform und Anwendung

Name: Datum:

Der Satz des Pythagoras sagt: In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $a$ , $b$ und der Hypotenuse $c$ gilt:

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt – sie ist immer die längste der drei Seiten. Die Katheten sind die beiden kürzeren Seiten, die den rechten Winkel bilden.

Pythagoras gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken. Wenn das Dreieck nicht rechtwinklig ist, gilt die Formel nicht – und die Aufgabe lässt sich oft erst lösen, wenn man das rechtwinklige Dreieck erst einzeichnet.

Folge A: Hypotenuse berechnen (Standardform)

Beide Katheten sind gegeben. Die Hypotenuse wird gesucht.

Nr.	Katheten	Hypotenuse
1	$a = 3, b = 4$
2	$a = 6, b = 8$
3	$a = 5, b = 12$
4	$a = 9, b = 12$
5	$a = 8, b = 15$
6	$a = 7, b = 24$

Folge B: Kathete berechnen (Umstellen)

Hypotenuse und eine Kathete sind gegeben. Die andere Kathete wird gesucht. Stelle die Formel zuerst um: $b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}$ .

Nr.	Gegeben	Gesucht
7	$a = 3, c = 5$	$b$
8	$a = 5, c = 13$	$b$
9	$a = 6, c = 10$	$b$
10	$a = 8, c = 17$	$b$
11	$a = 9, c = 15$	$b$
12	$a = 1, c = \sqrt{2}$	$b$

Folge C: Kein „schönes“ Ergebnis

Hier sind die Werte so gewählt, dass das Ergebnis nicht ganzzahlig ist. Du musst die Wurzel exakt stehen lassen oder dezimal runden.

Nr.	Aufgabe	Lösung
13	Katheten 2 und 3
14	Katheten 1 und 2
15	Hypotenuse 5, Kathete 3 (suche andere Kathete)
16	Hypotenuse 4, Kathete 3 (suche andere Kathete)
17	Katheten 7 und 8
18	Hypotenuse √10, Kathete 1 (suche andere Kathete)

Folge D: Anwendungen – das rechtwinklige Dreieck finden

Hier wird der Pythagoras nicht direkt benannt – du musst zuerst entscheiden, welche drei Punkte ein rechtwinkliges Dreieck bilden, und welche Strecken die Katheten und die Hypotenuse sind.

Nr.	Aufgabe	Lösungsidee
19	Eine Leiter ist 5 m lang. Sie steht 1,5 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie?
20	Wie lang ist die Diagonale eines Rechtecks mit Seitenlängen 6 cm und 8 cm?
21	Wie lang ist die Diagonale eines Quadrats mit Seitenlänge 4 cm?
22	Ein gleichseitiges Dreieck hat Seitenlänge 6 cm. Wie hoch ist es?
23	Ein Punkt P(3 / 4) liegt im Koordinatensystem. Wie weit ist er vom Ursprung entfernt?
24	Zwei Punkte: A(2 / 1) und B(7 / 13). Wie weit sind sie voneinander entfernt?

Folge E: Umkehrung – Ist das Dreieck rechtwinklig?

Drei Seitenlängen sind gegeben. Prüfe, ob das Dreieck rechtwinklig ist (Umkehrung des Satzes des Pythagoras: Wenn $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , dann ist das Dreieck rechtwinklig).

Nr.	Seitenlängen	Rechtwinklig?
25	$5, 12, 13$
26	$4, 5, 6$
27	$9, 12, 15$
28	$6, 8, 11$
29	$1, 1, \sqrt{2}$
30	$7, 24, 25$

Zum Nachdenken

In Folge A bilden alle Tripel (3,4,5), (6,8,10), (5,12,13)... ganzzahlige Lösungen. Solche heißen pythagoreische Tripel. Welche entdeckst du, wenn du (3,4,5) verdoppelst, verdreifachst, vervierfachst?
Vergleiche Aufgabe 23 und 24: Welche Größen müssen sich ändern, wenn nicht der Ursprung, sondern ein anderer Punkt der Bezugspunkt ist?
In Aufgabe 22 wird der Pythagoras für eine Höhenberechnung verwendet, in Aufgabe 19 für eine Wandberechnung, in Aufgabe 20 für eine Diagonale. Was haben alle gemeinsam?
Aufgabe 26 ergibt kein rechtwinkliges Dreieck. Wie kannst du dir die Form dieses Dreiecks (im Vergleich zu (5,6,7) und (4,5,6)) vorstellen – stumpf-, recht- oder spitzwinklig?
Was kann der Satz des Pythagoras alles? Was kann er nicht (welche Aufgaben braucht andere Werkzeuge)?

Lösungsblatt · Pythagoras

Pythagoras – Grundform und Anwendung

Folge A: Hypotenuse berechnen (Standardform)

Nr.	Katheten	Hypotenuse
1	$a = 3, b = 4$	$c = 5$
2	$a = 6, b = 8$	$c = 10$
3	$a = 5, b = 12$	$c = 13$
4	$a = 9, b = 12$	$c = 15$
5	$a = 8, b = 15$	$c = 17$
6	$a = 7, b = 24$	$c = 25$

Folge B: Kathete berechnen (Umstellen)

Nr.	Gegeben	Gesucht	Lösung
7	$a = 3, c = 5$	$b$	$b = 4$
8	$a = 5, c = 13$	$b$	$b = 12$
9	$a = 6, c = 10$	$b$	$b = 8$
10	$a = 8, c = 17$	$b$	$b = 15$
11	$a = 9, c = 15$	$b$	$b = 12$
12	$a = 1, c = \sqrt{2}$	$b$	$b = 1$

Folge C: Kein „schönes“ Ergebnis

Nr.	Aufgabe	Lösung
13	Katheten 2 und 3	$c = \sqrt{13} \approx 3{,}61$
14	Katheten 1 und 2	$c = \sqrt{5} \approx 2{,}24$
15	Hypotenuse 5, Kathete 3 (suche andere Kathete)	$b = 4$
16	Hypotenuse 4, Kathete 3 (suche andere Kathete)	$b = \sqrt{7} \approx 2{,}65$
17	Katheten 7 und 8	$c = \sqrt{113} \approx 10{,}63$
18	Hypotenuse √10, Kathete 1 (suche andere Kathete)	$b = 3$

Folge D: Anwendungen – das rechtwinklige Dreieck finden

Nr.	Aufgabe	Lösungsidee
19	Eine Leiter ist 5 m lang. Sie steht 1,5 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie?	Wand und Boden bilden den rechten Winkel. Leiter = Hypotenuse, Bodenabstand = eine Kathete, Höhe = andere Kathete: √(5² − 1,5²) = √22,75 ≈ 4,77 m.
20	Wie lang ist die Diagonale eines Rechtecks mit Seitenlängen 6 cm und 8 cm?	Diagonale = Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck mit Katheten 6 und 8: c = √(36 + 64) = √100 = 10 cm.
21	Wie lang ist die Diagonale eines Quadrats mit Seitenlänge 4 cm?	Katheten beide gleich der Quadratseite: c = √(16 + 16) = √32 = 4√2 ≈ 5,66 cm.
22	Ein gleichseitiges Dreieck hat Seitenlänge 6 cm. Wie hoch ist es?	Halbiere die Grundseite. Die Höhe bildet mit der halben Grundseite und einer Schenkelseite ein rechtwinkliges Dreieck: h = √(6² − 3²) = √27 = 3√3 ≈ 5,20 cm.
23	Ein Punkt P(3 / 4) liegt im Koordinatensystem. Wie weit ist er vom Ursprung entfernt?	Strecke = Hypotenuse, x-Differenz und y-Differenz = Katheten: √(3² + 4²) = √25 = 5.
24	Zwei Punkte: A(2 / 1) und B(7 / 13). Wie weit sind sie voneinander entfernt?	$Δx = 5, Δy = 12: d = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt{169} = 13.$

Folge E: Umkehrung – Ist das Dreieck rechtwinklig?

Nr.	Seitenlängen	Rechtwinklig?
25	$5, 12, 13$	Ja, denn 25 + 144 = 169 = 13².
26	$4, 5, 6$	Nein, denn 16 + 25 = 41 ≠ 36 = 6².
27	$9, 12, 15$	Ja (3-4-5-Tripel ·3).
28	$6, 8, 11$	Nein, denn 36 + 64 = 100 ≠ 121.
29	$1, 1, \sqrt{2}$	Ja, denn 1 + 1 = 2 = (√2)².
30	$7, 24, 25$	Ja, denn 49 + 576 = 625 = 25².

Pythagoras – Grundform und Anwendung

Folge A: Hypotenuse berechnen (Standardform)

Folge B: Kathete berechnen (Umstellen)

Folge C: Kein „schönes“ Ergebnis

Folge D: Anwendungen – das rechtwinklige Dreieck *finden*

Folge E: Umkehrung – Ist das Dreieck rechtwinklig?

Zum Nachdenken

Pythagoras – Grundform und Anwendung

Folge A: Hypotenuse berechnen (Standardform)

Folge B: Kathete berechnen (Umstellen)

Folge C: Kein „schönes“ Ergebnis

Folge D: Anwendungen – das rechtwinklige Dreieck *finden*

Folge E: Umkehrung – Ist das Dreieck rechtwinklig?

Folge D: Anwendungen – das rechtwinklige Dreieck finden

Folge D: Anwendungen – das rechtwinklige Dreieck finden