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Arbeitsblatt: Quadratische Funktionen – Scheitelpunktform und Normalform

29 Aufgaben mit Platz zum Rechnen, dahinter das Lösungsblatt. Auf Papier steht die Tabelle so, wie sie gedacht ist: mit allen Spalten nebeneinander und Platz zum Rechnen dazwischen. Zur Aufgabenfolge

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Quadratische Funktionen · Klasse 9/10

Quadratische Funktionen – Scheitelpunktform und Normalform

Name: Datum:

Eine quadratische Funktion kann auf zwei Standardweisen geschrieben werden:

Normalform: $f(x) = ax^{2} + bx + c$ . Vorteil: Du liest sofort den y-Achsenabschnitt $c$ ab.
Scheitelpunktform: $f(x) = a(x - d)^{2} + e$ . Vorteil: Du liest sofort den Scheitelpunkt $S(d / e)$ ab.

Beide Formen beschreiben dieselbe Funktion. Die eine in die andere zu überführen, ist eine algebraische Operation – Ausmultiplizieren in die eine Richtung, quadratische Ergänzung in die andere.

Folge A: Scheitelpunkt direkt ablesen

Die Funktion steht in Scheitelpunktform. Schreib den Scheitelpunkt auf.

Nr.	Funktion	Scheitelpunkt
1	$f(x) = (x - 3)^{2} + 2$
2	$f(x) = (x + 3)^{2} + 2$
3	$f(x) = (x - 3)^{2} - 2$
4	$f(x) = (x + 3)^{2} - 2$
5	$f(x) = x^{2} + 4$
6	$f(x) = (x - 5)^{2}$
7	$f(x) = 2(x - 1)^{2} + 3$
8	$f(x) = -(x - 2)^{2} + 6$
9	$f(x) = \frac{1}{2}(x + 4)^{2} - 1$

Folge B: Scheitelpunktform → Normalform

Die Funktion steht in Scheitelpunktform. Schreib sie in die Normalform um (ausmultiplizieren).

Nr.	Scheitelpunktform	Normalform
10	$(x - 3)^{2} + 2$
11	$(x + 3)^{2} + 2$
12	$(x - 3)^{2} - 2$
13	$(x + 3)^{2} - 2$
14	$2(x - 1)^{2} + 3$
15	$-(x - 2)^{2} + 6$
16	$\frac{1}{2}(x + 4)^{2} - 1$

Folge C: Normalform → Scheitelpunktform (quadratische Ergänzung)

Die Funktion steht in Normalform. Bring sie in Scheitelpunktform.

Strategie:

- Bei $a = 1$ : Den Koeffizienten von x halbieren, quadrieren, addieren und subtrahieren.

- Bei $a \neq 1$ : Erst den Faktor a aus den ersten beiden Termen ausklammern.

Nr.	Normalform	Scheitelpunktform	Scheitelpunkt
17	$x^{2} - 6x + 11$
18	$x^{2} + 6x + 11$
19	$x^{2} + 4x + 7$
20	$x^{2} - 8x + 19$
21	$x^{2} - 10x + 21$
22	$x^{2} + 2x - 8$
23	$2x^{2} - 12x + 19$
24	$-x^{2} + 6x - 5$

Folge D: Aufgaben aus der Funktion ablesen

Die Funktion ist gegeben. Beantworte alle drei Fragen.

Nr.	Funktion	Scheitelpunkt	y-Achsenabschnitt	Nullstellen
25	$f(x) = (x - 4)^{2} - 9$
26	$f(x) = (x + 2)^{2} - 1$
27	$f(x) = (x - 1)^{2} + 3$
28	$f(x) = x^{2} - 4x$
29	$f(x) = -2(x - 1)^{2} + 8$

Zum Nachdenken

Vergleiche Aufgaben 1 und 17. Sie beschreiben dieselbe Funktion in verschiedenen Formen. Was siehst du in der einen, was in der anderen sofort? Wann brauchst du welche?
In Folge B wird ausmultipliziert; in Folge C wird quadratisch ergänzt. Welche Operation ist umkehrbar zur anderen?
Aufgabe 27 hat keine reelen Nullstellen. Was sagt der Scheitelpunkt dieser Funktion über die Nullstellen aus, ohne dass man rechnet?
In Aufgabe 23 muss vor der quadratischen Ergänzung der Faktor 2 ausgeklammert werden. Was passiert, wenn man das vergisst?
In Folge D wird in jedem Fall die Nullstelle berechnet. Welcher Form (Scheitelpunktform oder Normalform) gelingt das leichter, und warum?

Lösungsblatt · Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen – Scheitelpunktform und Normalform

Folge A: Scheitelpunkt direkt ablesen

Nr.	Funktion	Scheitelpunkt
1	$f(x) = (x - 3)^{2} + 2$	$S(3 / 2)$
2	$f(x) = (x + 3)^{2} + 2$	$S(-3 / 2)$
3	$f(x) = (x - 3)^{2} - 2$	$S(3 / -2)$
4	$f(x) = (x + 3)^{2} - 2$	$S(-3 / -2)$
5	$f(x) = x^{2} + 4$	$S(0 / 4)$
6	$f(x) = (x - 5)^{2}$	$S(5 / 0)$
7	$f(x) = 2(x - 1)^{2} + 3$	$S(1 / 3)$
8	$f(x) = -(x - 2)^{2} + 6$	S(2 / 6), nach unten geöffnet
9	$f(x) = \frac{1}{2}(x + 4)^{2} - 1$	$S(-4 / -1)$

Folge B: Scheitelpunktform → Normalform

Nr.	Scheitelpunktform	Normalform
10	$(x - 3)^{2} + 2$	$x^{2} - 6x + 11$
11	$(x + 3)^{2} + 2$	$x^{2} + 6x + 11$
12	$(x - 3)^{2} - 2$	$x^{2} - 6x + 7$
13	$(x + 3)^{2} - 2$	$x^{2} + 6x + 7$
14	$2(x - 1)^{2} + 3$	$2x^{2} - 4x + 5$
15	$-(x - 2)^{2} + 6$	$-x^{2} + 4x + 2$
16	$\frac{1}{2}(x + 4)^{2} - 1$	$\frac{1}{2}x^{2} + 4x + 7$

Folge C: Normalform → Scheitelpunktform (quadratische Ergänzung)

Nr.	Normalform	Scheitelpunktform	Scheitelpunkt
17	$x^{2} - 6x + 11$	$(x - 3)^{2} + 2$	$S(3 / 2)$
18	$x^{2} + 6x + 11$	$(x + 3)^{2} + 2$	$S(-3 / 2)$
19	$x^{2} + 4x + 7$	$(x + 2)^{2} + 3$	$S(-2 / 3)$
20	$x^{2} - 8x + 19$	$(x - 4)^{2} + 3$	$S(4 / 3)$
21	$x^{2} - 10x + 21$	$(x - 5)^{2} - 4$	$S(5 / -4)$
22	$x^{2} + 2x - 8$	$(x + 1)^{2} - 9$	$S(-1 / -9)$
23	$2x^{2} - 12x + 19$	$2(x - 3)^{2} + 1$	$S(3 / 1)$
24	$-x^{2} + 6x - 5$	$-(x - 3)^{2} + 4$	S(3 / 4), nach unten geöffnet

Folge D: Aufgaben aus der Funktion ablesen

Nr.	Funktion	Scheitelpunkt	y-Achsenabschnitt	Nullstellen
25	$f(x) = (x - 4)^{2} - 9$	$S(4 / -9)$	$f(0) = 7$	x = 1 oder x = 7
26	$f(x) = (x + 2)^{2} - 1$	$S(-2 / -1)$	$f(0) = 3$	x = −1 oder x = −3
27	$f(x) = (x - 1)^{2} + 3$	$S(1 / 3)$	$f(0) = 4$	keine reelen Nullstellen
28	$f(x) = x^{2} - 4x$	$S(2 / -4)$	$f(0) = 0$	x = 0 oder x = 4
29	$f(x) = -2(x - 1)^{2} + 8$	$S(1 / 8)$	$f(0) = 6$	x = −1 oder x = 3