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Arbeitsblatt: Trigonometrie – welche Seite ist welche?

30 Aufgaben mit Platz zum Rechnen, dahinter das Lösungsblatt. Auf Papier steht die Tabelle so, wie sie gedacht ist: mit allen Spalten nebeneinander und Platz zum Rechnen dazwischen. Zur Aufgabenfolge

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Trigonometrie · Klasse 9/10

Trigonometrie – welche Seite ist welche?

Name: Datum:

Im rechtwinkligen Dreieck heißen die Seiten – bezogen auf einen bestimmten Winkel $α$ :

Hypotenuse: die Seite gegenüber dem rechten Winkel. Sie ist immer die längste und hängt nicht von $α$ ab.
Gegenkathete von α: die Seite, die dem Winkel $α$ gegenüberliegt.
Ankathete von α: die Seite, die am Winkel $α$ anliegt (und nicht die Hypotenuse ist).

Daraus die drei Verhältnisse:

$\sin α = Gegenkathete : Hypotenuse$ $\cos α = Ankathete : Hypotenuse$ $\tan α = Gegenkathete : Ankathete$

Der entscheidende Satz: Wechselt der Winkel, tauschen Ankathete und Gegenkathete die Rollen. Die Seite bleibt dieselbe, ihr Name ändert sich.

Folge A: Nur benennen, nicht rechnen

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck $ABC$ mit dem rechten Winkel bei $C$ . Die Seiten heißen wie üblich $a$ (gegenüber A), $b$ (gegenüber B), $c$ (gegenüber C).

Nr.	Frage	Antwort
1	Welche Seite ist die Hypotenuse?
2	Welche Seite ist die Gegenkathete von α (Winkel bei A)?
3	Welche Seite ist die Ankathete von α?
4	Welche Seite ist die Gegenkathete von β (Winkel bei B)?
5	Welche Seite ist die Ankathete von β?
6	Welche Seite ist die Hypotenuse bezogen auf β?

Frage nach Nr. 6: Die Seite $a$ ist einmal Gegenkathete und einmal Ankathete. Wovon hängt es ab?

Folge B: Eine Seite berechnen

Rechtwinkliges Dreieck, rechter Winkel bei $C$ . Runde auf eine Nachkommastelle.

Nr.	Gegeben	Gesucht
7	$α = 30^{\circ}, c = 10$	$a$
8	$α = 30^{\circ}, c = 10$	$b$
9	$α = 40^{\circ}, c = 10$	$a$
10	$α = 40^{\circ}, b = 10$	$a$
11	$α = 60^{\circ}, a = 6$	$c$
12	$α = 25^{\circ}, a = 4$	$b$

Frage nach Nr. 12: In den Aufgaben 7 bis 9 wird multipliziert, in 11 und 12 dividiert. Woran erkennt man vorher, was zu tun ist?

Folge C: Dieselbe Figur, anderer Winkel

Ein rechtwinkliges Dreieck mit $a = 3$ , $b = 4$ , $c = 5$ (rechter Winkel bei $C$ ).

Nr.	Frage	Lösung
13	$\sin α$
14	$\cos α$
15	$\tan α$
16	$\sin β$
17	$\cos β$
18	$\tan β$

Frage nach Nr. 18: Vergleiche Nr. 13 mit Nr. 17 und Nr. 14 mit Nr. 16. Was fällt auf? Was bedeutet das für den Zusammenhang von α und β?

Folge D: Winkel berechnen

Jetzt sind zwei Seiten gegeben, gesucht ist der Winkel. Runde auf ganze Grad.

Nr.	Gegeben	Gesucht
19	$a = 3, c = 5$	α
20	$b = 4, c = 5$	α
21	$a = 3, b = 4$	α
22	$a = 5, c = 13$	α
23	$a = 8, b = 6$	α
24	$a = 1, b = 1$	α

Frage nach Nr. 24: Die Aufgaben 19, 20 und 21 beschreiben dasselbe Dreieck und liefern denselben Winkel. Welche der drei Rechnungen würde wählen, wene sich eine aussuchen dürften?

Folge E: Anwendungen

Nr.	Aufgabe	Lösungsidee
25	Eine 6 m lange Leiter lehnt im Winkel von 70° zum Boden an der Wand. Wie hoch reicht sie?
26	Wie weit steht der Fuß dieser Leiter von der Wand entfernt?
27	Eine Straße steigt auf 100 m Horizontalstrecke um 12 m. Wie groß ist der Steigungswinkel?
28	Ein Turm wirft aus 40 m Entfernung einen Sehwinkel von 32° zur Spitze. Wie hoch ist er?
29	Ein Drachen an 50 m Schnur steht unter 55° über dem Boden. Wie hoch fliegt er?
30	Eine Rampe soll 1,2 m Höhe überwinden und höchstens 6° steil sein. Wie lang muss sie mindestens sein?

Zum Nachdenken

Warum ist es sinnlos zu fragen: „Ist $a$ die Ankathete?“ – ohne einen Winkel zu nennen?
In Folge C gilt $\sin α = \cos β$ . Begründe das mit der Figur, nicht mit der Formel.
Warum kann der Sinus eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck nie größer als 1 werden? Der Tangens aber schon?
In Aufgabe 27 wird eine Steigung von 12 % beschrieben. Warum ist der Winkel nicht 12°?
Welche der drei Funktionen brauche, wenn Hypotenuse und Gegenkathete gegeben sind und der Winkel gesucht ist?

Lösungsblatt · Trigonometrie