Vorbereitung · zum Ausdrucken

Arbeitsblatt: Wurzeln – was erlaubt ist und was nicht

30 Aufgaben mit Platz zum Rechnen, dahinter das Lösungsblatt. Auf Papier steht die Tabelle so, wie sie gedacht ist: mit allen Spalten nebeneinander und Platz zum Rechnen dazwischen. Zur Aufgabenfolge

Rechenraum Lösungsblatt mitdrucken Zeile für Name und Datum

Wurzelrechnung · Klasse 9/10

Wurzeln – was erlaubt ist und was nicht

Name: Datum:

Die Quadratwurzel aus einer Zahl $a \ge 0$ ist die nichtnegative Zahl, deren Quadrat $a$ ergibt. Also: $\sqrt{9} = 3$ , nicht $±3$ .

Zwei Rechenregeln gelten, zwei sehr ähnlich aussehende gelten nicht:

Erlaubt: $\sqrt{a\cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ und $\sqrt{a:b} = \sqrt{a} : \sqrt{b}$

Nicht erlaubt: $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ und $\sqrt{a-b} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$

Wene sich unsicher sind: Setze Zahlen ein. Das dauert zehn Sekunden und entscheidet die Frage endgültig.

Folge A: Produkt oder Summe?

Prüfe jede Zeile durch Einsetzen. Stimmen die beiden Seiten überein?

Nr.	Behauptung	Prüfung	Stimmt?
1	$\sqrt{4\cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9}$
2	$\sqrt{4+9} = \sqrt{4} + \sqrt{9}$
3	$\sqrt{16\cdot 25} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{25}$
4	$\sqrt{16+25} = \sqrt{16} + \sqrt{25}$
5	$\sqrt{36:9} = \sqrt{36} : \sqrt{9}$
6	$\sqrt{36-9} = \sqrt{36} - \sqrt{9}$

Frage nach Nr. 6: Bei welchen Rechenzeichen darf die Wurzel „hineingezogen“ werden, bei welchen nicht? Formuliere die Regel in einem Satz.

Folge B: Teilweises Wurzelziehen

Zerlege die Zahl unter der Wurzel in ein Produkt aus einer Quadratzahl und einem Rest.

Nr.	Term	Vereinfacht
7	$\sqrt{8}$
8	$\sqrt{12}$
9	$\sqrt{18}$
10	$\sqrt{32}$
11	$\sqrt{50}$
12	$\sqrt{72}$

Frage nach Nr. 12: Vier der sechs Ergebnisse enthalten $\sqrt{2}$ . Woran liegt das? Was haben 8, 18, 32, 50 und 72 gemeinsam?

Folge C: Zusammenfassen

Nr.	Aufgabe	Ergebnis
13	$3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}$
14	$3\sqrt{2} + 5\sqrt{3}$
15	$\sqrt{8} + \sqrt{18}$
16	$\sqrt{12} - \sqrt{27}$
17	$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
18	$(\sqrt{5})^{2}$

Frage nach Nr. 18: Nr. 13 und Nr. 14 sehen fast gleich aus. Warum geht das eine und das andere nicht? Vergleiche mit $3x + 5x$ und $3x + 5y$ .

Folge D: Wurzel und Quadrat – Vorsicht

Nr.	Term	Ergebnis
19	$\sqrt{3^{2}}$
20	$\sqrt{(-3)^{2}}$
21	$\sqrt{x^{2}}$ für $x = 5$
22	$\sqrt{x^{2}}$ für $x = -5$
23	$\sqrt{x^{2}}$ allgemein
24	$(\sqrt{x})^{2}$ für $x \ge 0$

Frage nach Nr. 24: Nr. 23 und Nr. 24 sehen aus wie dieselbe Rechnung in anderer Reihenfolge. Warum ist das Ergebnis trotzdem verschieden?

Folge E: Gleichungen mit Quadraten

Nr.	Gleichung	Lösungen
25	$x^{2} = 9$
26	$x^{2} = 2$
27	$x^{2} = 0$
28	$x^{2} = -4$
29	$\sqrt{x} = 3$
30	$\sqrt{x} = -3$

Frage nach Nr. 30: Nr. 25 hat zwei Lösungen, Nr. 29 nur eine, Nr. 30 gar keine. Erkläre den Unterschied mit der Definition der Wurzel.

Zum Nachdenken

Erkläre mit den Zahlen aus Nr. 2, warum $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ falsch ist.
Warum gilt die Produktregel, die Summenregel aber nicht? Denke an das Flächenbild des Quadrats.
Warum schreibt man $\sqrt{9} = 3$ und nicht $\sqrt{9} = ±3$ , obwohl $(-3)^{2} = 9$ gilt?
Was ist der Unterschied zwischen der Gleichung $x^{2} = 9$ und dem Term $\sqrt{9}$ ?
In Nr. 30 gibt es keine Lösung. Wie sieht der Graph von $y = \sqrt{x}$ aus – und woran erkennt man daran, dass es keine geben kann?

Lösungsblatt · Wurzelrechnung