Stundenverlauf · Negative Zahlen · Klasse 5/6
Negative Zahlen: Die drei Bedeutungen des Minuszeichens
Das braucht die Klasse schon
- Negative Zahlen am Zahlenstrahl einordnen und vergleichen
- Addition und Subtraktion im Bereich der natürlichen Zahlen
Material
- Mini-Whiteboards oder Abstimmkarten
- Beamer für den Zahlenstrahl
- Drei farbige Kreidestücke oder Marker (eine Farbe je Bedeutung)
Die Frage zu Stundenbeginn
Alle antworten gleichzeitig. Nicht die richtige Lösung ist der Ertrag, sondern die Verteilung.
Was ist −3 − (−5)?
-
2 richtig
Trägt. Nachfragen, wie begründet wird – „minus mal minus ist plus“ ist eine Regel für die Multiplikation und hier fachlich nicht zuständig, auch wenn sie zufällig zum richtigen Ergebnis führt.
-
−8
Beide Minuszeichen werden als Rechenzeichen gelesen und die Beträge addiert. Die häufigste Antwort und der Kern der Stunde.
-
−2
Das Ergebnis wird richtig als 2 berechnet, danach greift die Vorstellung „bei negativen Zahlen kommt etwas Negatives heraus“. Zeigt, dass die Rechnung sitzt, die Größenvorstellung aber nicht.
-
8
Beträge addiert, Vorzeichen gestrichen. Häufig bei Lernenden, die das Vorzeichen als Verzierung behandeln und am Ende weglassen.
Verlauf
45 Minuten in 5 Phasen, nach dem KLAR-Ablauf. Die Zeiten sind Anhaltspunkte – die Weichen darunter sagen, wann man abweichen sollte.
- K 0:00–0:08 Klären · 8 min
Vier Minuszeichen, ein Zeichen
Die Einstiegsfrage steht an der Tafel, alle antworten gleichzeitig. Danach an der Tafel: 7 − 3, −7, −(−7), 7 − (−3). Frage an die Klasse: In welcher dieser vier Zeilen bedeutet das Minus dasselbe?
Lehrkraft: Die Verteilung notieren und stehen lassen. Bei der zweiten Frage keine Antwort bewerten – sie ist die Leitfrage der Stunde, nicht ihr Ergebnis.
- L 0:08–0:22 Lösen lassen · 14 min
Am Zahlenstrahl nachgehen
Partnerarbeit am Zahlenstrahl: Zu jeder der vier Zeilen wird notiert, was am Zahlenstrahl passiert – wo man startet, in welche Richtung man geht, wo man landet. Leitfrage: Was macht das Minus jeweils?
Lehrkraft: Nicht die Ergebnisse einsammeln, sondern die Beschreibungen. Wer „nach links“ sagt, hat das Rechenzeichen; wer „auf der anderen Seite der Null“ sagt, das Vorzeichen; wer „umgedreht“ sagt, das Umkehrzeichen.
- A 0:22–0:35 Abgleichen · 13 min
Drei Farben, drei Bedeutungen
Die vier Zeilen kommen an die Tafel, und die Klasse ordnet jedem Minuszeichen eine Farbe zu: Rechenzeichen, Vorzeichen, Umkehrzeichen. In 7 − (−3) kommen zwei verschiedene Bedeutungen in einer Zeile vor.
Lehrkraft: Die Reihenfolge ist entscheidend: erst 7 − 3 (nur Rechenzeichen), dann −7 (nur Vorzeichen), dann −(−7) (Umkehrzeichen vor Vorzeichen), zuletzt 7 − (−3). Beim letzten die Klasse selbst sagen lassen, welches Zeichen welche Farbe bekommt.
- R 0:35–0:41 Rückkoppeln · 6 min
Sortieren statt rechnen
Acht Terme werden nicht ausgerechnet, sondern nur eingefärbt. Erst danach werden drei davon berechnet.
Lehrkraft: Das Einfärben ist die eigentliche Übung. Wer die Bedeutung erkennt, rechnet danach fast von selbst richtig.
- R 0:41–0:45 Rückkoppeln · 4 min
Exit-Ticket
Zwei Fragen auf einem kleinen Zettel, ohne Namen.
Lehrkraft: Die zweite Frage verlangt eine Begründung, keine Rechnung. Sie zeigt, ob die Unterscheidung angekommen ist oder nur eine weitere Regel gelernt wurde.
Weichen
Eine Diagnose, die den Plan nicht ändern darf, ist keine Diagnose. Diese Fälle sind vorgedacht.
- Wenn: Über 80 % rechnen −3 − (−5) richtig.
- Dann: Die Zahlenstrahlphase kürzen und stattdessen die Klammerfrage stellen: Warum ist 7 − (3 − 5) etwas anderes als 7 − 3 − 5? Der Vorzeichenfehler bei Klammern ist die nächste Hürde und lässt sich hier vorbereiten.
- Wenn: Viele antworten −8.
- Dann: Wie geplant. In der Zahlenstrahlphase zusätzlich die Reihe 3 − 1, 3 − 0, 3 − (−1), 3 − (−2) rechnen lassen: Die Ergebnisse 2, 3, 4, 5 zeigen die Regelmäßigkeit, bevor sie begründet wird.
- Wenn: Die Klasse verwechselt beim Einfärben Vorzeichen und Umkehrzeichen.
- Dann: Das ist kein Fehler, sondern die schwierigste der drei Unterscheidungen. Zwei zusätzliche Beispiele nehmen: −5 (Vorzeichen) und −(5) (Umkehrzeichen). Beide ergeben −5, bedeuten aber Verschiedenes.
Exit-Ticket
- Rechne: 4 − (−6) und −4 − 6.
- Erkläre in einem Satz, warum −(−7) dasselbe ist wie 7.
Differenzierung
Wer schneller fertig ist: Finde alle Zahlen a, für die a − (−a) = 0 gilt. (Nur a = 0 – denn a − (−a) = 2a.) Danach: Für welche a ist a − (−a) negativ?
Wer mehr Zeit braucht: Nur mit den ersten drei Zeilen arbeiten und das Umkehrzeichen weglassen. Die Unterscheidung von Rechenzeichen und Vorzeichen trägt für sich genommen schon weit.
Stolpersteine
Das Minuszeichen hat immer dieselbe Bedeutung.
−7 und 7 − 3 nebeneinanderschreiben und fragen, ob man in der ersten Zeile etwas ausrechnen kann. Die Antwort „nein, da steht ja gar keine Aufgabe“ ist der Einstieg in die Unterscheidung.
Bei negativen Zahlen kommt immer etwas Negatives heraus.
Die Reihe 3 − (−1), 3 − (−2), 3 − (−3) am Zahlenstrahl abtragen. Die Ergebnisse werden größer, nicht kleiner.
Das Vorzeichen wird beim Aufschreiben des Ergebnisses vergessen.
Vor dem Rechnen schätzen lassen: größer oder kleiner als null? Wer vorher entschieden hat, streicht das Vorzeichen hinterher nicht mehr weg.
Hausaufgabe
Aus der Aufgabenfolge die erste Folge vollständig. Zusätzlich: Schreibe drei Terme auf, in denen das Minuszeichen jeweils eine andere Bedeutung hat, und markiere sie.
Tafelbild
| Term | Bedeutung des Minus | am Zahlenstrahl |
|---|---|---|
| 7 − 3 | Rechenzeichen | von 7 aus drei Schritte nach links |
| −7 | Vorzeichen | die Zahl links von der Null, im Abstand 7 |
| −(−7) | Umkehrzeichen vor einem Vorzeichen | −7 an der Null gespiegelt: 7 |
| 7 − (−3) | Rechenzeichen und Vorzeichen | von 7 aus drei Schritte nach rechts |
Die letzte Zeile ist der Ertrag der Stunde. Sie steht bewusst nicht als Regel da („minus minus ist plus“), sondern als Beschreibung dessen, was am Zahlenstrahl passiert.
Didaktischer Kommentar
Warum drei Bedeutungen und nicht zwei. Viele Lehrgänge unterscheiden nur Rechenzeichen und Vorzeichen. Das reicht für −7 und für 7 − 3, aber nicht für −(−7) und nicht für das Auflösen von Klammern mit vorangestelltem Minus. Das Umkehrzeichen – „spiegle diese Zahl an der Null“ – ist die Bedeutung, die später bei −(a + b) gebraucht wird und deren Fehlen den häufigsten Vorzeichenfehler der Mittelstufe erzeugt.
Warum eingefärbt und nicht gerechnet wird. Die Rechnungen dieser Stunde sind einstellig; das Rechnen ist nicht das Problem. Das Problem ist, dass beim Lesen eines Terms unbewusst eine Bedeutung gewählt wird – und wenn sie falsch gewählt ist, hilft kein Rechentraining. Das Einfärben zwingt zu einer expliziten Entscheidung, bevor gerechnet wird. Nach zwei bis drei Stunden verschwindet die Farbe wieder; die Entscheidung bleibt.
Warum „minus mal minus ist plus“ hier nicht vorkommt. Der Satz gehört zur Multiplikation und wird von Lernenden regelmäßig auf die Subtraktion übertragen. Dass er dort zufällig zum richtigen Ergebnis führt, macht die Sache schlimmer, nicht besser: Eine Regel, die aus dem falschen Grund funktioniert, wird beim nächsten Fall (−3 · −5 gegenüber −3 − (−5)) nicht korrigiert, sondern verallgemeinert. Wenn der Satz in der Stunde fällt, ist die richtige Reaktion nicht „falsch“, sondern die Frage: „Wo hast du das gelernt – und gilt es hier?“
Warum 45 Minuten reichen. Die Stunde führt kein Verfahren ein, sondern eine Unterscheidung. Sie braucht deshalb keine lange Übungsphase; das Üben folgt in den nächsten Stunden und ist dann leichter. Wer die Doppelstunde zur Verfügung hat, hängt die Klammerfrage aus der ersten Weiche an.