Stundenverlauf · Pythagoras · Klasse 9
Pythagoras: Erst die Hypotenuse finden, dann rechnen
Das braucht die Klasse schon
- Den Satz des Pythagoras in der Form a² + b² = c² kennen
- Quadratwurzeln mit dem Taschenrechner bestimmen
- Rechte Winkel in Figuren erkennen
Material
- Mini-Whiteboards oder Abstimmkarten
- Vier vorbereitete Dreiecke auf Folie oder als Ausdruck, alle gedreht
- Beamer für die Papier-Werkstatt (Karopapier zum Nachzeichnen)
Die Frage zu Stundenbeginn
Alle antworten gleichzeitig. Nicht die richtige Lösung ist der Ertrag, sondern die Verteilung.
In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Seiten 5 cm, 12 cm und 13 cm lang. Welche Gleichung ist richtig?
-
5² + 12² = 13² richtig
Trägt. Nachfragen, woran die Person die Hypotenuse erkannt hat – „die längste“ ist richtig, aber nicht der Grund; der Grund ist die Lage gegenüber dem rechten Winkel.
-
5² + 13² = 12²
Die Seiten werden in der genannten Reihenfolge eingesetzt. Der Satz wird als Formel mit festen Plätzen behandelt, nicht als Aussage über eine Figur. Die häufigste Fehlerquelle bei Textaufgaben.
-
5 + 12 = 13
Stimmt zufällig als Zahlengleichung und ist trotzdem falsch – die Quadrate fehlen. Wer das ankreuzt, hat das Zahlentripel wiedererkannt, nicht den Satz.
-
12² + 13² = 5²
Die kürzeste Seite wird zur Hypotenuse. Meist ein Flüchtigkeitsfehler beim Abschreiben – aber es lohnt sich, nachzufragen, ob die Person das Ergebnis für möglich hält.
Verlauf
45 Minuten in 5 Phasen, nach dem KLAR-Ablauf. Die Zeiten sind Anhaltspunkte – die Weichen darunter sagen, wann man abweichen sollte.
- K 0:00–0:08 Klären · 8 min
Drei Zahlen, vier Gleichungen
Die Einstiegsfrage steht an der Tafel, alle antworten gleichzeitig. Danach ohne Auflösung: Vier rechtwinklige Dreiecke werden gezeigt, jedes anders gedreht, die Seiten nur mit p, q, r beschriftet. Frage: Welche Seite ist jeweils die Hypotenuse?
Lehrkraft: Die vier Dreiecke sind der Kern der Diagnose. Mindestens eines muss den rechten Winkel oben haben und eines die Hypotenuse waagerecht. Wer nur „die längste“ oder „die untere“ als Kriterium hat, scheitert hier sichtbar.
- L 0:08–0:20 Lösen lassen · 12 min
Das Kriterium selbst formulieren
Partnerarbeit: In einem Satz aufschreiben, woran man die Hypotenuse erkennt – so, dass der Satz für alle vier gezeigten Dreiecke stimmt. Kein Rechnen.
Lehrkraft: Die Formulierungen wörtlich einsammeln. „Die längste Seite“ ist wahr, aber als Kriterium unbrauchbar, wenn nicht alle Längen bekannt sind. „Die dem rechten Winkel gegenüber“ ist die tragfähige Fassung – sie soll aus der Klasse kommen, nicht von der Tafel.
- A 0:20–0:32 Abgleichen · 12 min
Kriterien gegeneinanderstellen
Zwei bis drei Formulierungen kommen an die Tafel und werden an den vier Dreiecken geprüft. Erst danach wird der Satz in der allgemeinen Form notiert – mit der Hypotenuse als benannter Seite, nicht als „c“.
Lehrkraft: Ein Gegenbeispiel bereitlegen: ein Dreieck, in dem nur zwei Seitenlängen angegeben sind. Das Kriterium „die längste“ lässt sich hier nicht anwenden, das andere schon. Das entscheidet die Frage ohne Belehrung.
- R 0:32–0:41 Rückkoppeln · 9 min
Erst markieren, dann rechnen
Aus der Aufgabenfolge sechs Aufgaben. Vorschrift: In jeder Skizze wird zuerst die Hypotenuse mit einem Strich markiert, danach erst die Gleichung aufgeschrieben.
Lehrkraft: Die Markierung ist Pflicht und wird kontrolliert. Sie kostet fünf Sekunden pro Aufgabe und verhindert den teuersten Fehler der Einheit.
- R 0:41–0:45 Rückkoppeln · 4 min
Exit-Ticket
Zwei Fragen: eine Rechnung, in der die Hypotenuse gesucht ist, und eine, in der sie gegeben ist.
Lehrkraft: Die zweite Frage ist die schwierigere. Wer beide Fälle unterscheidet, hat die Stunde verstanden.
Weichen
Eine Diagnose, die den Plan nicht ändern darf, ist keine Diagnose. Diese Fälle sind vorgedacht.
- Wenn: Über 80 % beantworten die Einstiegsfrage und die vier Dreiecke richtig.
- Dann: Direkt zur Umkehrung übergehen: Ist ein Dreieck mit den Seiten 8, 15, 17 rechtwinklig? Und eines mit 7, 8, 11? Die Umkehrung des Satzes ist der natürliche nächste Schritt.
- Wenn: Die Einstiegsfrage sitzt, die gedrehten Dreiecke nicht.
- Dann: Das ist der Regelfall und der Grund für die Stunde. Wie geplant weiterarbeiten und in der Übungsphase ausschließlich gedrehte Figuren verwenden.
- Wenn: Auch das Zahlentripel 5-12-13 wird nicht erkannt.
- Dann: Der Satz selbst ist noch nicht gesichert. Die Stunde umwidmen: an einem Rasterbild die Quadrate über den Seiten auszählen (3-4-5 auf Karopapier) und den Satz noch einmal als Flächenaussage begründen.
- Wenn: In der Übungsphase wird die Hypotenuse markiert, aber trotzdem falsch eingesetzt.
- Dann: Nicht die Figur, sondern die Gleichung ist das Problem. Die Schreibweise umstellen: Statt a² + b² = c² konsequent „Kathete² + Kathete² = Hypotenuse²“ schreiben, bis es sitzt.
Exit-Ticket
- Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 6 cm und 8 cm. Wie lang ist die Hypotenuse?
- Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 13 cm und eine Kathete 5 cm. Wie lang ist die andere Kathete?
Differenzierung
Wer schneller fertig ist: Die Umkehrung: Prüfe, ob die Dreiecke mit den Seiten (8, 15, 17), (7, 8, 11) und (9, 12, 15) rechtwinklig sind. Danach: Finde ein weiteres Tripel, das kein Vielfaches der bisher genannten ist – es gibt eines mit der Hypotenuse 25.
Wer mehr Zeit braucht: Nur Aufgaben, in denen die Hypotenuse gesucht ist, und nur mit vorgezeichneter Skizze, in der der rechte Winkel bereits markiert ist. Der zweite Fall folgt in der nächsten Stunde.
Stolpersteine
Die Hypotenuse ist immer die untere oder die schräge Seite.
Dasselbe Dreieck viermal zeigen, jeweils um 90° gedreht. Die Hypotenuse wandert, das Kriterium bleibt.
Der Satz wird als Formel mit festen Plätzen eingesetzt (erste Zahl = a, zweite = b, dritte = c).
Eine Aufgabe stellen, in der die Hypotenuse zuerst genannt wird. Wer stur einsetzt, bekommt eine negative Zahl unter der Wurzel – und das ist ein Ergebnis, über das man reden kann.
Beim Suchen einer Kathete wird trotzdem addiert.
Vor dem Rechnen schätzen: Muss das Ergebnis größer oder kleiner als 13 sein? Wer die Hypotenuse als längste Seite kennt, kann das beantworten – und merkt die Addition sofort.
Hausaufgabe
Aus der Aufgabenfolge die Aufgaben zur Grundform, jeweils mit markierter Hypotenuse. Zusätzlich: Suche in der Wohnung oder auf dem Schulweg zwei rechtwinklige Dreiecke und skizziere sie mit markierter Hypotenuse.
Tafelbild
Vier Skizzen desselben Dreiecks in vier Lagen, in jeder ist der rechte Winkel markiert und die Hypotenuse dick nachgezogen. Darunter, von der Klasse formuliert:
Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie ist deshalb auch die längste Seite – aber erkannt wird sie am Winkel, nicht an der Länge.
Und daneben der Satz in der Form, in der er eingesetzt wird:
Kathete² + Kathete² = Hypotenuse²
Warum diese Schreibweise und nicht a² + b² = c²
Die Buchstabenform ist kürzer und in Prüfungen üblich; sie hat aber einen Nachteil, der sich im Unterricht täglich zeigt: Sie legt nahe, dass die dritte genannte Größe die Hypotenuse ist. In Textaufgaben und in Figuren aus dem Buch stimmt das oft nicht. Die ausgeschriebene Fassung kostet drei Sekunden mehr beim Anschreiben und macht die Zuordnung zur Handlung, statt sie der Reihenfolge zu überlassen.
Ab der Klassenarbeit darf selbstverständlich wieder a² + b² = c² geschrieben werden – dann aber mit einer beschrifteten Skizze daneben.
Didaktischer Kommentar
Warum die Stunde nichts Neues einführt. Der Satz ist bekannt, die Rechnung auch. Was fehlt, ist die Entscheidung davor – und die wird in vielen Lehrgängen nie explizit behandelt, weil sie in den Standardfiguren des Buches automatisch richtig ausfällt: Der rechte Winkel liegt unten links, die Hypotenuse verläuft schräg nach oben rechts. Sobald eine Figur gedreht ist, bricht das Muster, und der Fehler erscheint als Rechenfehler, obwohl er ein Lesefehler ist.
Warum die Dreiecke gedreht sein müssen. Vier Lagen, davon mindestens eine mit dem rechten Winkel oben und eine mit waagerechter Hypotenuse. Das ist keine Schikane, sondern die einzige Möglichkeit, das falsche Kriterium sichtbar zu machen. In der Klassenarbeit und in jeder Anwendung außerhalb des Buchs sind die Figuren gedreht.
Warum „die längste Seite“ als Kriterium nicht ausreicht. Es ist wahr und in vielen Aufgaben brauchbar. Es versagt genau dort, wo es gebraucht wird: wenn nur zwei Seiten gegeben sind und eine gesucht ist. Dann weiß man nicht, welche die längste ist – man muss es aus dem Winkel schließen. Dieses Gegenbeispiel in der Abgleichphase parat zu haben, entscheidet die Frage schneller als jede Erklärung.
Warum 45 Minuten genügen. Die Stunde übt eine einzige Entscheidung. Sie braucht keine lange Erarbeitung, weil nichts erarbeitet, sondern etwas Bestehendes präzisiert wird. Wer eine Doppelstunde zur Verfügung hat, hängt die Umkehrung des Satzes aus der ersten Weiche an – sie passt inhaltlich und braucht dieselbe Unterscheidung.
Zum Weiterarbeiten
- Aufgabenfolge: Pythagoras – Grundform und Anwendung
- Diagnostische Fragen: Hypotenuse erkennen
- Aufgabenfolge: Trigonometrie – welche Seite ist welche – dieselbe Unterscheidung eine Stufe später
- Fehlvorstellungen zum Satz des Pythagoras