Vorbereitung · zum Ausdrucken

Arbeitsblatt: Bruchterme – kürzen, erweitern, addieren

30 Aufgaben mit Platz zum Rechnen, dahinter das Lösungsblatt. Auf Papier steht die Tabelle so, wie sie gedacht ist: mit allen Spalten nebeneinander und Platz zum Rechnen dazwischen. Zur Aufgabenfolge

Rechenraum Lösungsblatt mitdrucken Zeile für Name und Datum

Termumformungen · Klasse 9/10

Bruchterme – kürzen, erweitern, addieren

Name: Datum:

Beim Kürzen gilt genau eine Regel: Gekürzt wird nur, was als Faktor dasteht.

Das ist keine Schikane, sondern folgt direkt aus der Bruchrechnung: $\frac{2\cdot 3}{2\cdot 5} = \frac{3}{5}$ , weil man den gemeinsamen Faktor 2 herausziehen und wegkürzen kann. Bei $\frac{2+3}{2+5}$ geht das nicht – hier ist die 2 kein Faktor, sondern ein Summand. Und tatsächlich: $\frac{5}{7} \neq \frac{3}{5}$ .

Zweite Regel, ebenso wichtig: Ein Bruchterm ist nur definiert, wenn der Nenner nicht null ist. Die verbotenen Werte gehören zur Lösung dazu.

Folge A: Faktor oder Summand?

Noch nicht kürzen – nur benennen. Ist die markierte Zahl bzw. Variable ein Faktor des ganzen Zählers/Nenners oder nur ein Summand?

Nr.	Term	Ist $x$ Faktor des Zählers?
1	$\frac{3x}{5x}$
2	$\frac{x+3}{x+5}$
3	$\frac{x\cdot (x+3)}{x\cdot (x+5)}$
4	$\frac{x+3}{x\cdot (x+5)}$
5	$\frac{2x+6}{2x+10}$
6	$\frac{x^{2}+3x}{x^{2}+5x}$

Frage nach Nr. 6: In Nr. 2 und Nr. 6 stehen die Zahlen 3 und 5 an derselben Stelle. Warum darf man im einen Fall kürzen und im anderen nicht?

Folge B: Kürzen

Nr.	Term	Gekürzt
7	$\frac{6x}{9x}$
8	$\frac{6x^{2}}{9x}$
9	$\frac{x^{2}+3x}{x^{2}+5x}$
10	$\frac{2x+6}{2x+10}$
11	$\frac{x^{2}-9}{x+3}$
12	$\frac{x^{2}-9}{x^{2}-6x+9}$

Hinweis zu Nr. 11 und 12: Hier hilft die dritte binomische Formel: $x^{2}-9 = (x+3)(x-3)$ und $x^{2}-6x+9 = (x-3)^{2}$ .

Folge C: Nicht kürzbar – begründen

Alle Terme sehen aus, als ließe sich etwas streichen. Nichts davon ist erlaubt. Begründe jeweils in einem Satz.

Nr.	Term	Warum nicht?
13	$\frac{x+3}{x+5}$
14	$\frac{x+3}{3}$
15	$\frac{x^{2}+9}{x+3}$
16	$\frac{2x+3}{2x+5}$
17	$\frac{x+y}{x\cdot y}$
18	$\frac{x-4}{x^{2}-4}$

Kontrolle für alle sechs: Setze $x = 1$ (und $y = 2$ ) ein und vergleiche mit dem angeblich gekürzten Term.

Folge D: Addieren und Subtrahieren

Nr.	Aufgabe	Ergebnis
19	$\frac{2}{x} + \frac{3}{x}$
20	$\frac{2}{x} + \frac{3}{2x}$
21	$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$
22	$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$
23	$\frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+2}$
24	$\frac{x}{x+1} + \frac{1}{x+1}$

Frage nach Nr. 24: Das Ergebnis ist eine reine Zahl – für alle zulässigen $x$ . Wie kommt das?

Folge E: Definitionsbereich

Für welche Werte ist der Term nicht definiert?

Nr.	Term	Ausgeschlossen
25	$\frac{1}{x}$
26	$\frac{1}{x-3}$
27	$\frac{1}{x^{2}-9}$
28	$\frac{x-3}{x-3}$
29	$\frac{1}{x^{2}+1}$
30	$\frac{x+2}{x^{2}+4x+4}$

Frage nach Nr. 28: Der Term lässt sich zu $1$ kürzen. Warum bleibt $x = 3$ trotzdem verboten?

Zum Nachdenken

Erkläre mit Zahlen, warum $\frac{2+3}{2+5}$ nicht $\frac{3}{5}$ ist.
Woran erkenne, ob ein Zähler faktorisierbar ist? Nenne drei Muster.
In Folge B liefern Nr. 9 und Nr. 10 dasselbe Ergebnis. Was haben die beiden Ausgangsterme gemeinsam?
Warum muss der Definitionsbereich vor dem Kürzen bestimmt werden?
Der Term $\frac{x^{2}-1}{x-1}$ ist für $x = 1$ nicht definiert, obwohl er sich zu $x+1$ kürzen lässt. Zeichne den Graphen von $y = \frac{x^{2}-1}{x-1}$ – wie sieht die Stelle $x = 1$ aus?

Lösungsblatt · Termumformungen