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Arbeitsblatt: Lineare Funktionen – Steigung und y-Achsenabschnitt

30 Aufgaben mit Platz zum Rechnen, dahinter das Lösungsblatt. Auf Papier steht die Tabelle so, wie sie gedacht ist: mit allen Spalten nebeneinander und Platz zum Rechnen dazwischen. Zur Aufgabenfolge

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Lineare Funktionen · Klasse 8

Lineare Funktionen – Steigung und y-Achsenabschnitt

Name: Datum:

Eine lineare Funktion hat die Form

$ $y = m \cdot x + b$ $

$m$ ist die Steigung: wie stark der Graph pro x-Schritt steigt oder fällt.
$b$ ist der y-Achsenabschnitt: der y-Wert an der Stelle $x = 0$ (also der Schnittpunkt mit der y-Achse).

Die Steigung wird oft als „Steigungsdreieck“ gelesen: $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ – wie viel der y-Wert pro x-Einheit zunimmt. Wenn $m > 0$ , geht der Graph nach rechts oben; wenn $m < 0$ , nach rechts unten; wenn $m = 0$ , ist der Graph waagerecht.

Folge A: y-Achsenabschnitt variieren, Steigung bleibt gleich

Alle Funktionen haben dieselbe Steigung $m = 2$ . Zeichne die Graphen in ein Koordinatensystem.

Nr.	Funktion	y-Achsenabschnitt	Punkt für $x = 0$	Punkt für $x = 1$
1	$y = 2x + 0 = 2x$
2	$y = 2x + 1$
3	$y = 2x + 3$
4	$y = 2x - 1$
5	$y = 2x - 4$

Beobachtung: Alle Graphen sind parallel (gleiche Steigung), aber sie schneiden die y-Achse an verschiedenen Stellen. Der y-Achsenabschnitt verschiebt die Gerade nach oben oder unten.

Folge B: Steigung variieren, y-Achsenabschnitt bleibt gleich

Alle Funktionen haben denselben y-Achsenabschnitt $b = 1$ . Zeichne sie in ein Koordinatensystem.

Nr.	Funktion	Steigung	Punkt für $x = 0$	Punkt für $x = 1$
6	$y = 0 \cdot x + 1 = 1$
7	$y = 1 \cdot x + 1$
8	$y = 2 \cdot x + 1$
9	$y = \frac{1}{2} \cdot x + 1$
10	$y = -1 \cdot x + 1$
11	$y = -2 \cdot x + 1$

Beobachtung: Alle Graphen gehen durch denselben Punkt $(0, 1)$ , aber unter verschiedenen Steigungen. Negative Steigung bedeutet: nach rechts unten.

Folge C: Werte berechnen aus gegebener Funktion

Nr.	Funktion	$x = -2$	$x = 0$	$x = 1$	$x = 5$
12	$y = 3x - 1$
13	$y = \frac{1}{2}x + 4$
14	$y = -2x + 6$
15	$y = 0{,}1 x + 100$

Beobachtung: Bei $x = 0$ ist $y$ immer gleich dem y-Achsenabschnitt $b$ . Bei jedem Schritt von $x = 0$ zu $x = 1$ ändert sich $y$ genau um den Wert der Steigung $m$ .

Folge D: Aus Graphen die Gleichung ablesen

Aus jedem Graphen sollen die Schüler den y-Achsenabschnitt $b$ und die Steigung $m$ bestimmen.

Nr.	Beobachtungen am Graphen	Steigung $m$	y-Achsenabschnitt $b$	Funktionsgleichung
16	Schnittpunkt mit y-Achse bei $(0, 2)$ ; pro $1$ nach rechts geht es $3$ nach oben
17	Schnittpunkt mit y-Achse bei $(0, -1)$ ; pro $2$ nach rechts geht es $1$ nach oben
18	Schnittpunkt mit y-Achse bei $(0, 5)$ ; pro $1$ nach rechts geht es $2$ nach unten
19	Schnittpunkt mit y-Achse bei $(0, 0)$ ; pro $4$ nach rechts geht es $3$ nach oben
20	Gerade waagerecht durch $(0, 3)$

Folge E: Aus zwei Punkten die Gleichung berechnen

Hier wird die Steigung als Verhältnis berechnet: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .

Nr.	Punkt A	Punkt B
21	$(0, 1)$	$(1, 3)$
22	$(0, 4)$	$(2, 0)$
23	$(1, 5)$	$(3, 11)$
24	$(-2, 1)$	$(4, 4)$
25	$(2, 7)$	$(5, 1)$

Folge F: Sachkontexte erkennen

Schüler übersetzen Sachverhalte in lineare Funktionen.

Nr.	Sachkontext	Was ist $m$ ?	Was ist $b$ ?	Funktionsgleichung
26	Ein Taxi kostet $4$ Euro Grundgebühr plus $2$ Euro pro Kilometer. Was kostet die Fahrt nach $x$ km?
27	Eine Kerze ist $20$ cm hoch und brennt $0{,}5$ cm pro Stunde ab. Wie hoch ist sie nach $x$ Stunden?
28	Eine Sparkasse zahlt $50$ Euro Startguthaben und du legst $10$ Euro pro Monat dazu. Kontostand nach $x$ Monaten?
29	Du startest mit $0$ Euro und legst $15$ Euro pro Woche zurück. Wie viel hast du nach $x$ Wochen?
30	Eine Pflanze ist $5$ cm hoch und wächst $1500$ cm pro Jahr. (Beachte die Plausibilität!)

Zum Nachdenken

Vergleiche Folge A und Folge B: In welcher Folge sind die Graphen parallel, in welcher gehen sie durch einen gemeinsamen Punkt? Warum?
Aufgabe 6 zeigt eine waagerechte Gerade. Warum ist eine waagerechte Gerade trotzdem eine lineare Funktion?
Aufgabe 20 zeigt eine senkrechte Gerade. Ist sie eine lineare Funktion? Warum nicht?
Aufgabe 30 ist als Modell formal korrekt, aber inhaltlich unsinnig. Welche Frage muss man sich bei jeder Modellierung stellen?
In Folge E (Aufgaben 23 und 24) ist der y-Achsenabschnitt nicht direkt aus den Punkten ablesbar. Wie berechnet man ihn aus der Steigung und einem Punkt?

Lösungsblatt · Lineare Funktionen