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Arbeitsblatt: Logarithmen – die Umkehrung der Exponentialfunktion

38 Aufgaben mit Platz zum Rechnen, dahinter das Lösungsblatt. Auf Papier steht die Tabelle so, wie sie gedacht ist: mit allen Spalten nebeneinander und Platz zum Rechnen dazwischen. Zur Aufgabenfolge

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Logarithmen · Klasse 10

Logarithmen – die Umkehrung der Exponentialfunktion

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Der Logarithmus ist die Umkehrung der Exponentialfunktion. Anders gesagt: Er beantwortet die Frage „Mit welcher Hochzahl muss ich $a$ potenzieren, damit ich $b$ bekomme?“

Formal: $log_a(b) = c$ ⟺ $a^c = b$ .

Wenn $a = 10$ (Zehner-Logarithmus), schreibt man oft einfach $\log$ .

Wenn $a = e \approx 2{,}718$ (natürlicher Logarithmus), schreibt man $\ln$ .

Die Logarithmusgesetze spiegeln die Potenzgesetze in der Umkehrung:

$log_a(x \cdot y) = log_a(x) + log_a(y)$ (Produkt → Summe)
$log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y)$ (Quotient → Differenz)
$log_a(x^n) = n \cdot log_a(x)$ (Potenz → Faktor)

Damit kann man exponentielle Gleichungen wie $a^t = b$ lösen: $t = log_a(b)$ oder $t = \log(b) / \log(a)$ .

Folge A: Direkt ablesen

Schreib für jede Gleichung die zugehörige Logarithmus-Form auf.

Nr.	Potenzform	Logarithmus-Form
1	$10^{2} = 100$
2	$10^{3} = 1000$
3	$10^{0} = 1$
4	$10^{-1} = 0{,}1$
5	$2^{3} = 8$
6	$2^{4} = 16$
7	$5^{2} = 25$
8	$7^{0} = 1$
9	$(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$

Folge B: Logarithmen ohne Taschenrechner

Berechne den Wert direkt im Kopf. (Frage: „mit welcher Hochzahl?“)

Nr.	Aufgabe	Antwort
10	$log_2(32)$
11	$log_3(81)$
12	$log_5(125)$
13	$log_10(10000)$
14	$log_2(1)$
15	$log_2(\frac{1}{4})$
16	$log_2(2)$
17	$log_4(2)$
18	$log_3(\sqrt{3})$

Folge C: Anwendung der Logarithmusgesetze

Vereinfache mit den Gesetzen.

Nr.	Aufgabe	Vereinfachung
19	$\log(20) + \log(5)$
20	$\log(30) - \log(3)$
21	$\log(8) - \log(4)$
22	$2 \cdot \log(5) + \log(4)$
23	$\log(125) - 2 \cdot \log(5)$
24	$\log(x^{2}) - \log(x)$ (x > 0)
25	$\log(x^{3} \cdot y^{2}) - \log(x \cdot y)$ (x, y > 0)

Folge D: Exponentielle Gleichungen lösen

Hier braucht man den Logarithmus als Werkzeug, um die Variable t zu isolieren.

Nr.	Gleichung	Lösungsweg	Lösung
26	$2^t = 64$
27	$2^t = 1000$
28	$10^t = 50$
29	$1{,}05^t = 2$ (Verdopplung bei 5 % p.a.)
30	$0{,}9^t = 0{,}5$ (Halbwertszeit bei 10 % Abnahme)
31	$e^t = 10$
32	$5 \cdot 2^t = 80$

Folge E: Basiswechsel und Plausibilität

In dieser Folge wird klar, dass die Basis nur bequemes Mittel ist – die Antwort ist immer dieselbe.

Nr.	Aufgabe	Antwort
33	Berechne $log_2(8)$ und $\log(8) / \log(2)$ . Was fällt auf?
34	Berechne $log_5(125)$ über $\log(125) / \log(5)$ .
35	Berechne $log_2(7)$ über $\log(7) / \log(2)$ .
36	Berechne $log_2(7)$ über $\ln(7) / \ln(2)$ .
37	Wie groß ist $\log(0)$ ?
38	Wie groß ist $\log(-1)$ ?

Zum Nachdenken

Aufgabe 3 zeigt: $\log(1) = 0$ . Warum gilt das für jede Basis (also auch $log_2(1) = 0$ , $log_5(1) = 0$ , ...)?
Vergleiche Aufgabe 26 ( $t = 6$ exakt) und Aufgabe 27 ( $t \approx 9{,}966$ ). Warum ist die eine exakt und die andere nur näherungsweise?
In Folge D, Aufgabe 29, geht es um die Verdopplungszeit bei 5 % Wachstum. Die Antwort ist ≈ 14,21 Jahre. Wie nahe ist das an der Faustregel „72/p“?
Aufgabe 37 und 38: Warum ist der Logarithmus für $0$ und negative Werte nicht definiert? Wie hängt das mit der Exponentialfunktion zusammen?
Aufgaben 33–36 zeigen: Der Wert von $log_a(b)$ ist unabhängig davon, welche Basis man bei der Umrechnung verwendet. Warum?

Lösungsblatt · Logarithmen