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Arbeitsblatt: Quadratische Gleichungen mit dem Satz vom Nullprodukt

25 Aufgaben mit Platz zum Rechnen, dahinter das Lösungsblatt. Auf Papier steht die Tabelle so, wie sie gedacht ist: mit allen Spalten nebeneinander und Platz zum Rechnen dazwischen. Zur Aufgabenfolge

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Quadratische Gleichungen · Klasse 9/10

Quadratische Gleichungen mit dem Satz vom Nullprodukt

Name: Datum:

Der Satz vom Nullprodukt sagt: Wenn ein Produkt null ergibt, muss mindestens einer der Faktoren null sein.

Formal: $a \cdot b = 0 ⟺ a = 0 oder b = 0$ .

Das ist ein extrem mächtiger Satz, weil er eine quadratische Gleichung in zwei lineare zerlegt – sobald wir die Gleichung als Produkt schreiben können. Diese Aufgabenfolge übt genau das: das Schreiben einer quadratischen Gleichung als Produkt.

Folge A: Bereits in Faktorform

Die Gleichung steht schon als Produkt. Du musst nur den Satz anwenden.

Nr.	Aufgabe	Lösungen
1	$(x - 3)(x - 5) = 0$
2	$(x - 3)(x + 5) = 0$
3	$(x + 3)(x + 5) = 0$
4	$(x - 3)(2x - 10) = 0$
5	$2(x - 3)(x - 5) = 0$
6	$x(x - 5) = 0$
7	$(x - 3)^{2} = 0$
8	$(x - 3)(x - 3)(x + 1) = 0$

Folge B: Durch Ausklammern in Faktorform bringen

Die Gleichung hat keinen konstanten Term – also lässt sich $x$ ausklammern.

Nr.	Aufgabe	Faktorform	Lösungen
9	$x^{2} - 5x = 0$
10	$x^{2} + 5x = 0$
11	$2x^{2} - 10x = 0$
12	$3x^{2} + 12x = 0$
13	$x^{2} - 7x = 0$
14	$-4x^{2} + 8x = 0$

Folge C: Binomische Form

Die linke Seite ist eine binomische Formel – als Quadrat schreiben.

Nr.	Aufgabe	Faktorform	Lösungen
15	$x^{2} - 6x + 9 = 0$
16	$x^{2} + 6x + 9 = 0$
17	$x^{2} - 10x + 25 = 0$
18	$x^{2} - 9 = 0$
19	$x^{2} - 25 = 0$
20	$4x^{2} - 9 = 0$

Folge D: Erst auf null bringen, dann faktorisieren

Achtung: Der Satz vom Nullprodukt funktioniert nur, wenn die Gleichung die Form $... = 0$ hat.

Nr.	Aufgabe	Schritt 1 (= 0)	Faktorform	Lösungen
21	$x^{2} = 4x$
22	$x^{2} = 9$
23	$x^{2} + 6x = -9$
24	$(x - 2)^{2} = 16$
25	$x(x - 5) = 6$

Zum Nachdenken

Vergleiche Aufgabe 1, 9 und 21. Sie haben dieselbe Lösung – was haben sie als Gleichung gemeinsam, was unterscheidet sie?
In Aufgabe 7 ist x = 3 eine doppelte Lösung. Was bedeutet das geometrisch (denke an die Parabel)?
Aufgabe 25 sieht aus wie ein Fall für den Satz vom Nullprodukt – die linke Seite ist sogar schon ein Produkt. Warum funktioniert es trotzdem nicht direkt?
In Folge B fällt etwas auf: $x = 0$ ist immer eine Lösung. Warum? Was ist die strukturelle Eigenschaft der Gleichungen in Folge B?
Welche der vier Folgen war für dich am leichtesten? Welche hat den größten Aha-Moment gebracht?

Lösungsblatt · Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen mit dem Satz vom Nullprodukt

Folge A: Bereits in Faktorform

Nr.	Aufgabe	Lösungen
1	$(x - 3)(x - 5) = 0$	x = 3 oder x = 5
2	$(x - 3)(x + 5) = 0$	x = 3 oder x = −5
3	$(x + 3)(x + 5) = 0$	x = −3 oder x = −5
4	$(x - 3)(2x - 10) = 0$	x = 3 oder x = 5
5	$2(x - 3)(x - 5) = 0$	x = 3 oder x = 5
6	$x(x - 5) = 0$	x = 0 oder x = 5
7	$(x - 3)^{2} = 0$	x = 3 (doppelt)
8	$(x - 3)(x - 3)(x + 1) = 0$	x = 3 (doppelt) oder x = −1

Folge B: Durch Ausklammern in Faktorform bringen

Nr.	Aufgabe	Faktorform	Lösungen
9	$x^{2} - 5x = 0$	$x(x - 5) = 0$	x = 0 oder x = 5
10	$x^{2} + 5x = 0$	$x(x + 5) = 0$	x = 0 oder x = −5
11	$2x^{2} - 10x = 0$	$2x(x - 5) = 0$	x = 0 oder x = 5
12	$3x^{2} + 12x = 0$	$3x(x + 4) = 0$	x = 0 oder x = −4
13	$x^{2} - 7x = 0$	$x(x - 7) = 0$	x = 0 oder x = 7
14	$-4x^{2} + 8x = 0$	$-4x(x - 2) = 0$	x = 0 oder x = 2

Folge C: Binomische Form

Nr.	Aufgabe	Faktorform	Lösungen
15	$x^{2} - 6x + 9 = 0$	$(x - 3)^{2} = 0$	x = 3 (doppelt)
16	$x^{2} + 6x + 9 = 0$	$(x + 3)^{2} = 0$	x = −3 (doppelt)
17	$x^{2} - 10x + 25 = 0$	$(x - 5)^{2} = 0$	x = 5 (doppelt)
18	$x^{2} - 9 = 0$	$(x - 3)(x + 3) = 0$	x = 3 oder x = −3
19	$x^{2} - 25 = 0$	$(x - 5)(x + 5) = 0$	x = 5 oder x = −5
20	$4x^{2} - 9 = 0$	$(2x - 3)(2x + 3) = 0$	x = 1,5 oder x = −1,5

Folge D: Erst auf null bringen, dann faktorisieren

Nr.	Aufgabe	Schritt 1 (= 0)	Faktorform	Lösungen
21	$x^{2} = 4x$	$x^{2} - 4x = 0$	$x(x - 4) = 0$	x = 0 oder x = 4
22	$x^{2} = 9$	$x^{2} - 9 = 0$	$(x - 3)(x + 3) = 0$	x = 3 oder x = −3
23	$x^{2} + 6x = -9$	$x^{2} + 6x + 9 = 0$	$(x + 3)^{2} = 0$	x = −3 (doppelt)
24	$(x - 2)^{2} = 16$	$(x - 2)^{2} - 16 = 0$	$(x - 6)(x + 2) = 0$	x = 6 oder x = −2
25	$x(x - 5) = 6$	$x^{2} - 5x - 6 = 0$	$(x - 6)(x + 1) = 0$	x = 6 oder x = −1