Vorbereitung · zum Ausdrucken

Arbeitsblatt: Wahrscheinlichkeit – vom Schätzen zum Rechnen

30 Aufgaben mit Platz zum Rechnen, dahinter das Lösungsblatt. Auf Papier steht die Tabelle so, wie sie gedacht ist: mit allen Spalten nebeneinander und Platz zum Rechnen dazwischen. Zur Aufgabenfolge

Rechenraum Lösungsblatt mitdrucken Zeile für Name und Datum

Stochastik · Klasse 7/8

Wahrscheinlichkeit – vom Schätzen zum Rechnen

Name: Datum:

Zwei Begriffe, die man auseinanderhalten muss:

Die Wahrscheinlichkeit ist eine berechnete Zahl. Bei einem fairen Würfel ist die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs $\frac{1}{6}$ – unabhängig davon, was vorher passiert ist.
Die relative Häufigkeit ist ein Messergebnis: Wie oft ist das Ereignis in meinen Versuchen tatsächlich eingetreten, geteilt durch die Anzahl der Versuche.

Beide nähern sich einander an, wenn man oft genug wirft. Aber sie sind nicht dasselbe – und die relative Häufigkeit „holt nichts nach“.

Arbeitsauftrag für alle Folgen: Schätze zuerst schriftlich, bevor du rechnest. Ohne die eigene Schätzung ist das Ergebnis nur eine Zahl.

Folge A: Ein Würfel – Ereignisse werden größer

Fairer sechsseitiger Würfel. Wie wahrscheinlich ist das Ereignis?

Nr.	Ereignis	Wahrscheinlichkeit
1	eine Sechs
2	eine gerade Zahl
3	eine Zahl größer als 4
4	eine Zahl kleiner als 7
5	eine Sieben
6	keine Sechs

Frage nach Nr. 6: Vergleiche Nr. 1 und Nr. 6. Wie hängen die beiden Zahlen zusammen? Formuliere eine Regel.

Folge B: Zwei Würfel – die Augensumme

Zwei faire Würfel werden geworfen und die Augen addiert. Es gibt 36 gleich wahrscheinliche Paare.

Nr.	Augensumme	Anzahl der Möglichkeiten	Wahrscheinlichkeit
7	$2$
8	$3$
9	$4$
10	$7$
11	$11$
12	$12$

Frage nach Nr. 12: Warum ist die 7 sechsmal so wahrscheinlich wie die 2? Zähle die Paare für beide auf.

Folge C: Urne – der Grundwert ändert sich

In einer Urne liegen rote und blaue Kugeln. Es wird eine gezogen.

Nr.	Inhalt	P(rot)
13	1 rot, 1 blau
14	2 rot, 2 blau
15	3 rot, 1 blau
16	1 rot, 3 blau
17	3 rot, 2 blau
18	30 rot, 20 blau

Frage nach Nr. 18: Nr. 17 und Nr. 18 haben dieselbe Wahrscheinlichkeit, aber ganz verschiedene Kugelzahlen. Was zählt also – die Anzahl oder das Verhältnis?

Folge D: Gegen die Intuition

Diese sechs Fragen zuerst abstimmen lassen, dann besprechen.

Nr.	Frage	Antwort
19	Eine Münze zeigt fünfmal hintereinander Kopf. Wie wahrscheinlich ist Zahl beim nächsten Wurf?
20	Was ist wahrscheinlicher: fünfmal hintereinander Kopf oder die Folge K-Z-K-K-Z?
21	Bei zwei Würfeln: Ist (3,4) wahrscheinlicher als (3,3)?
22	Beim Lotto: Ist 1-2-3-4-5-6 unwahrscheinlicher als 4-11-19-27-33-41?
23	Eine Zahl ist bei 100 Würfen nur 9-mal gefallen statt 16-mal. Kommt das wieder ins Lot?
24	Wie viele Menschen braucht es, damit zwei am selben Tag Geburtstag haben – mit über 50 % Wahrscheinlichkeit?

Hinweis zu Nr. 23: Genau hier lohnt die Simulation. Lass 10 000 Würfe laufen und zeige die relative Häufigkeit gegen die Versuchszahl: Sie nähert sich $\frac{1}{6}$ , ohne dass eine Zahl „aufholt“.

Folge E: Vom Versuch zur Wahrscheinlichkeit

Ein Würfel wird geworfen; die Sechs wird gezählt.

Nr.	Würfe	Sechsen
25	$10$	$3$
26	$60$	$13$
27	$100$	$20$
28	$600$	$111$
29	$6000$	$1032$
30	$60 000$	$10 143$

Frage nach Nr. 30: Der Abstand in Prozentpunkten wird kleiner. Wie verhält sich dagegen der Abstand in absoluten Zahlen (erwartete minus tatsächliche Anzahl)? Rechne nach.

Zum Nachdenken

Warum ist $P(kein Ereignis) = 1 - P(Ereignis)$ ? Begründe am Würfel.
In Folge B ist die 7 die häufigste Augensumme. Wäre das auch so, wenn die Würfel unterscheidbar wären – etwa einer rot, einer blau?
Erkläre einer Mitschülerin, warum die Münze „kein Gedächtnis“ hat.
In Folge E nähert sich die relative Häufigkeit dem Wert $\frac{1}{6}$ . Wird sie ihn irgendwann genau erreichen?
Nenne eine Situation aus dem Alltag, in der Menschen relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit verwechseln.

Lösungsblatt · Stochastik