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Arbeitsblatt: Strahlensätze – zwei Figuren, eine Idee

24 Aufgaben mit Platz zum Rechnen, dahinter das Lösungsblatt. Auf Papier steht die Tabelle so, wie sie gedacht ist: mit allen Spalten nebeneinander und Platz zum Rechnen dazwischen. Zur Aufgabenfolge

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Strahlensätze · Klasse 9/10

Strahlensätze – zwei Figuren, eine Idee

Name: Datum:

Die Strahlensätze beschreiben, was passiert, wenn zwei Geraden (die Strahlen) sich in einem Punkt Z schneiden und durch zwei parallele Geraden geschnitten werden.

Es gibt zwei Standardfiguren:

V-Figur: Beide Parallelen liegen auf derselben Seite des Schnittpunkts Z. Die Figur sieht aus wie ein V (oder umgekehrtes V).
X-Figur: Die Parallelen liegen auf gegenüberliegenden Seiten von Z. Die Figur sieht aus wie ein X.

In beiden Fällen gilt der erste Strahlensatz:

$ZA / ZA' = ZB / ZB'$

(also: die Strecken auf einem Strahl verhalten sich wie die entsprechenden Strecken auf dem anderen.)

Und der zweite Strahlensatz – über die Strecken auf den Parallelen:

$AB / A'B' = ZA / ZA' = ZB / ZB'$

Die zentrale Operation: Erkenne die Figur, identifiziere die zusammengehörigen Strecken, schreibe das Verhältnis auf, löse die Gleichung.

Folge A: V-Figur, Streckenlänge bestimmen

Der Schnittpunkt Z liegt außen, beide Parallelen schneiden beide Strahlen auf derselben Seite. Gegeben sind drei Strecken; berechne die vierte.

Nr.	Gegeben	Gesucht
1	$ZA = 4, ZA' = 12, ZB = 5$	ZB'
2	$ZA = 3, ZA' = 9, ZB = 4$	ZB'
3	$ZA = 6, ZA' = 10, ZB = 9$	ZB'
4	$ZA = 5, ZA' = 12, ZB = 10$	ZB'
5	$ZA = 4, ZA' = 14, ZB = 6$	ZB'
6	$ZA = 7, ZA' = 21, AB = 4$	A'B'

Folge B: X-Figur, Streckenlänge bestimmen

Hier liegt der Schnittpunkt Z zwischen den beiden Parallelen. Die Figur sieht aus wie ein X.

Nr.	Gegeben	Gesucht
7	$ZA = 4, ZA' = 6, ZB = 8$	ZB'
8	$ZA = 3, ZA' = 9, ZB = 5$	ZB'
9	$ZA = 6, ZA' = 10, AB = 9$	A'B'
10	$ZA = 5, ZB = 8, ZA' = 15$	ZB'
11	$ZA = 4, AB = 6, ZA' = 12$	A'B'

Folge C: Welche Figur ist es? (Erkennen vor dem Rechnen)

In jeder Aufgabe wird eine Skizze beschrieben. Entscheide zuerst: V- oder X-Figur? Welche Strecken gehören zusammen? Dann rechne.

Nr.	Beschreibung	Figur	Lösung
12	Zwei Geraden schneiden sich in Z. Ein Lichtstrahl (Parallele 1) trifft beide Strahlen 4 cm bzw. 6 cm weit von Z entfernt. Eine zweite Parallele schneidet den ersten Strahl 12 cm hinter Z.
13	Zwei Geraden kreuzen sich. Auf einer Seite liegt eine Parallele, die beide Strahlen bei 5 cm und 7 cm von Z trifft. Auf der anderen Seite trifft eine zweite Parallele den ersten Strahl bei 10 cm.
14	Ein Wanderer steht im Punkt Z. Er sieht auf 100 m Entfernung einen Baum, dessen Schatten zwei Stäben gleicher Höhe entspricht. Die Stäbe sind 1 m bzw. 4 m vom Wanderer entfernt.
15	Zwei sich kreuzende Geraden, der Schnittpunkt liegt zwischen zwei parallelen Wegen. Die Wegabstände sind 12 m und 18 m. Wie lang ist der zweite Weg, wenn der erste 24 m misst?

Folge D: Strahlensatz oder nicht?

Diagnostische Variation. In manchen Aufgaben gilt der Strahlensatz, in anderen nicht – weil eine Voraussetzung verletzt ist.

Nr.	Aufgabe	Gilt Strahlensatz?	Begründung
16	Zwei Geraden, die sich in Z schneiden, mit zwei Parallelen.
17	Zwei Geraden, zwei nicht-parallele Schnittlinien.
18	Ein gleichschenkliges Dreieck mit zwei Parallelen zu der Basis.
19	Drei Geraden, die durch einen Punkt Z gehen, mit einer Parallele, die alle drei schneidet.
20	Zwei parallele Geraden, die durch eine dritte schräg geschnitten werden.

Folge E: Anwendungen – Höhe oder Breite messen, ohne hinzukommen

Klassische Anwendungen: Wie hoch ist ein Baum? Wie breit ein Fluss? Hier wird der Strahlensatz zum Werkzeug.

Nr.	Aufgabe	Lösungsidee
21	Eine Stange von 1,5 m Höhe wirft 2 m Schatten. Ein Baum daneben wirft 14 m Schatten. Wie hoch ist der Baum?
22	Du stellst dich 5 m vor einen Spiegel auf den Boden. Im Spiegel siehst du gerade die Spitze einer Mauer. Du bist 1,8 m groß. Die Mauer ist 12 m vom Spiegel entfernt. Wie hoch ist die Mauer?
23	Ein Punkt B ist 30 m von dir entfernt, ein Punkt B' liegt in gleicher Richtung, weiter weg. Du markierst auf dem Boden Punkte A (2 m vor dir) und A' (10 m vor dir) auf einer Geraden parallel zu BB'. Wenn AB = 1,5 m, wie groß ist A'B'?
24	Ein Schiff fährt auf einem Fluss. Du stehst am Ufer und peilst es zweimal an: einmal direkt vor dir (Punkt A), einmal weiter unten (Punkt B). Eine Hilfsperson 50 m hinter dir peilt das Schiff zur gleichen Zeit an, einmal mit 25 m Abstand zum Schiff. Wie weit ist das Schiff von dir?

Zum Nachdenken

Vergleiche Aufgabe 1 (V-Figur) und Aufgabe 7 (X-Figur). Was ist mathematisch gleich, was unterscheidet sich in der Skizze?
In Folge B wird in Aufgabe 10 der Wert 24 berechnet. Hätte das Ergebnis auch eine Strecke kleiner als ZB sein können? Welche Konstellation müsste dafür vorliegen?
In Aufgabe 17 gilt der Strahlensatz nicht. Was wäre die typische Falle, wenn man ihn trotzdem anwendet?
In Aufgabe 21 (Baum-und-Stange) wird angenommen, dass die Sonnenstrahlen parallel sind. Warum ist das eine zulässige Annahme?
In Folge D, Aufgabe 19: Wenn drei Strahlen von Z ausgehen und alle von einer einzigen Parallele geschnitten werden – wie viele Verhältnisse gibt es dann zwischen welchen Strecken?

Lösungsblatt · Strahlensätze

Strahlensätze – zwei Figuren, eine Idee

Folge A: V-Figur, Streckenlänge bestimmen

Nr.	Gegeben	Gesucht	Lösung
1	$ZA = 4, ZA' = 12, ZB = 5$	ZB'	ZB' = 15 (denn 4/12 = 5/15)
2	$ZA = 3, ZA' = 9, ZB = 4$	ZB'	$ZB' = 12$
3	$ZA = 6, ZA' = 10, ZB = 9$	ZB'	$ZB' = 15$
4	$ZA = 5, ZA' = 12, ZB = 10$	ZB'	$ZB' = 24$
5	$ZA = 4, ZA' = 14, ZB = 6$	ZB'	$ZB' = 21$
6	$ZA = 7, ZA' = 21, AB = 4$	A'B'	A'B' = 12 (zweiter Strahlensatz)

Folge B: X-Figur, Streckenlänge bestimmen

Nr.	Gegeben	Gesucht	Lösung
7	$ZA = 4, ZA' = 6, ZB = 8$	ZB'	$ZB' = 12$
8	$ZA = 3, ZA' = 9, ZB = 5$	ZB'	$ZB' = 15$
9	$ZA = 6, ZA' = 10, AB = 9$	A'B'	$A'B' = 15$
10	$ZA = 5, ZB = 8, ZA' = 15$	ZB'	$ZB' = 24$
11	$ZA = 4, AB = 6, ZA' = 12$	A'B'	$A'B' = 18$

Folge C: Welche Figur ist es? (Erkennen vor dem Rechnen)

Nr.	Beschreibung	Figur	Lösung
12	Zwei Geraden schneiden sich in Z. Ein Lichtstrahl (Parallele 1) trifft beide Strahlen 4 cm bzw. 6 cm weit von Z entfernt. Eine zweite Parallele schneidet den ersten Strahl 12 cm hinter Z.	V (beide Parallelen auf derselben Seite, je weiter weg)	Zweite Parallele schneidet den zweiten Strahl bei 12·(6/4) = 18 cm.
13	Zwei Geraden kreuzen sich. Auf einer Seite liegt eine Parallele, die beide Strahlen bei 5 cm und 7 cm von Z trifft. Auf der anderen Seite trifft eine zweite Parallele den ersten Strahl bei 10 cm.	X	Zweite Parallele trifft den zweiten Strahl bei 10·(7/5) = 14 cm.
14	Ein Wanderer steht im Punkt Z. Er sieht auf 100 m Entfernung einen Baum, dessen Schatten zwei Stäben gleicher Höhe entspricht. Die Stäbe sind 1 m bzw. 4 m vom Wanderer entfernt.	V	Stäbe haben 1 m und 4 m. Der Höhen-Stab am Baum: 100·(Höhe / 4) — Verhältnis bleibt.
15	Zwei sich kreuzende Geraden, der Schnittpunkt liegt zwischen zwei parallelen Wegen. Die Wegabstände sind 12 m und 18 m. Wie lang ist der zweite Weg, wenn der erste 24 m misst?	X	$24\cdot (\frac{18}{12}) = 36 m.$

Folge D: Strahlensatz oder nicht?

Nr.	Aufgabe	Gilt Strahlensatz?	Begründung
16	Zwei Geraden, die sich in Z schneiden, mit zwei Parallelen.	$Ja$	Standardvoraussetzung erfüllt.
17	Zwei Geraden, zwei nicht-parallele Schnittlinien.	Nein	Ohne Parallelität gilt der Satz nicht. Das Verhältnis ist nicht garantiert.
18	Ein gleichschenkliges Dreieck mit zwei Parallelen zu der Basis.	$Ja$	Die zwei Schenkel sind die Strahlen, die Spitze ist Z, die Basis-Parallelen sind die Schnittgeraden.
19	Drei Geraden, die durch einen Punkt Z gehen, mit einer Parallele, die alle drei schneidet.	Variante des Strahlensatzes	Erweiterung: Verhältnisse zwischen allen drei Strahlen bleiben erhalten.
20	Zwei parallele Geraden, die durch eine dritte schräg geschnitten werden.	Nein im klassischen Sinne	Es gibt keinen Schnittpunkt Z. Hier wirkt nicht der Strahlensatz, sondern Stufen-/Wechselwinkel oder ähnliches.

Folge E: Anwendungen – Höhe oder Breite messen, ohne hinzukommen

Nr.	Aufgabe	Lösungsidee
21	Eine Stange von 1,5 m Höhe wirft 2 m Schatten. Ein Baum daneben wirft 14 m Schatten. Wie hoch ist der Baum?	V-Figur: Sonnenstrahlen sind parallel. 1,5/2 = h/14, also h = 10,5 m.
22	Du stellst dich 5 m vor einen Spiegel auf den Boden. Im Spiegel siehst du gerade die Spitze einer Mauer. Du bist 1,8 m groß. Die Mauer ist 12 m vom Spiegel entfernt. Wie hoch ist die Mauer?	X-Figur über den Spiegelpunkt: 1,8/5 = h/12, also h = 4,32 m.
23	Ein Punkt B ist 30 m von dir entfernt, ein Punkt B' liegt in gleicher Richtung, weiter weg. Du markierst auf dem Boden Punkte A (2 m vor dir) und A' (10 m vor dir) auf einer Geraden parallel zu BB'. Wenn AB = 1,5 m, wie groß ist A'B'?	V-Figur: 2/10 = 1,5/A'B', also A'B' = 7,5.
24	Ein Schiff fährt auf einem Fluss. Du stehst am Ufer und peilst es zweimal an: einmal direkt vor dir (Punkt A), einmal weiter unten (Punkt B). Eine Hilfsperson 50 m hinter dir peilt das Schiff zur gleichen Zeit an, einmal mit 25 m Abstand zum Schiff. Wie weit ist das Schiff von dir?	Strahlensatz mit den Sichtlinien als Strahlen.

Strahlensätze – zwei Figuren, eine Idee

Folge A: V-Figur, Streckenlänge bestimmen

Folge B: X-Figur, Streckenlänge bestimmen

Folge C: Welche Figur ist es? (Erkennen vor dem Rechnen)

Folge D: Strahlensatz oder *nicht*?

Folge E: Anwendungen – Höhe oder Breite messen, ohne hinzukommen

Zum Nachdenken

Strahlensätze – zwei Figuren, eine Idee

Folge A: V-Figur, Streckenlänge bestimmen

Folge B: X-Figur, Streckenlänge bestimmen

Folge C: Welche Figur ist es? (Erkennen vor dem Rechnen)

Folge D: Strahlensatz oder *nicht*?

Folge E: Anwendungen – Höhe oder Breite messen, ohne hinzukommen

Folge D: Strahlensatz oder nicht?

Folge D: Strahlensatz oder nicht?