Stundenverlauf · Graphen · Klasse 7/8
Graphen lesen: Der Graph ist kein Bild der Strecke
Das braucht die Klasse schon
- Punkte im Koordinatensystem eintragen und ablesen
- Achsenbeschriftungen und Einheiten deuten
- Einfache Wertetabellen anlegen
Material
- Mini-Whiteboards oder Abstimmkarten
- Vier vorbereitete Diagramme auf Folie oder als Ausdruck
- Beamer für die Papier-Werkstatt (Koordinatensysteme)
Die Frage zu Stundenbeginn
Alle antworten gleichzeitig. Nicht die richtige Lösung ist der Ertrag, sondern die Verteilung.
Ein Zeit-Weg-Diagramm zeigt eine Radtour. Ein Abschnitt des Graphen verläuft waagerecht. Was ist dort passiert?
-
Die Person hat eine Pause gemacht. richtig
Trägt. Nachfragen, woran man es sieht – „die zurückgelegte Strecke ändert sich nicht, obwohl die Zeit weiterläuft“ ist die vollständige Antwort.
-
Die Strecke war eben, es ging weder bergauf noch bergab.
Der Graph wird als Seitenansicht der Landschaft gelesen. Die zentrale Fehlvorstellung dieses Themas – und sie ist nicht dumm, sondern eine sehr naheliegende Deutung eines Bildes.
-
Die Person ist gleichmäßig weitergefahren.
Gleichmäßige Fahrt ergibt eine schräge Gerade, nicht eine waagerechte. Hier wird „gleichbleibend“ auf die Geschwindigkeit statt auf die Strecke bezogen.
-
Die Person ist zurückgefahren.
Zurückfahren ergibt einen fallenden Graphen. Diese Antwort zeigt immerhin, dass die y-Achse als Strecke gelesen wird – nur die Richtung stimmt nicht.
Verlauf
45 Minuten in 5 Phasen, nach dem KLAR-Ablauf. Die Zeiten sind Anhaltspunkte – die Weichen darunter sagen, wann man abweichen sollte.
- K 0:00–0:08 Klären · 8 min
Waagerecht heißt was?
Die Einstiegsfrage steht an der Tafel, alle antworten gleichzeitig. Danach ohne Auflösung: Vier Diagramme werden gezeigt, dazu vier Geschichten – aber in falscher Reihenfolge.
Lehrkraft: Die Achsenbeschriftung laut vorlesen: „unten die Zeit in Minuten, links der zurückgelegte Weg in Kilometern“. Wer die Landkarten-Deutung hat, überhört diese Angabe zuverlässig – deshalb steht sie am Anfang und wird nicht kommentiert.
- L 0:08–0:22 Lösen lassen · 14 min
Vier Geschichten zuordnen
Partnerarbeit: Jede Geschichte wird einem Diagramm zugeordnet, und zu jeder Zuordnung wird ein Satz notiert, der sie begründet – mit Bezug auf einen bestimmten Abschnitt des Graphen.
Lehrkraft: Der Begründungssatz ist die Aufgabe, nicht die Zuordnung. Vier Diagramme lassen sich raten; vier Begründungen nicht. Beim Herumgehen darauf achten, wer über Steilheit spricht und wer über Berge.
- A 0:22–0:36 Abgleichen · 14 min
Was die Achsen sagen
Die Zuordnungen kommen an die Tafel, jede mit ihrer Begründung. Danach dasselbe Diagramm noch einmal – aber mit vertauschten Achsenbeschriftungen (links die Höhe statt der Strecke). Jetzt erzählt derselbe Graph eine andere Geschichte.
Lehrkraft: Dieser Achsentausch ist der Kern der Stunde. Er zeigt: Der Graph selbst bedeutet gar nichts. Was er bedeutet, steht an den Achsen. Die Landkarten-Deutung ist dann nicht falsch, sondern die richtige Deutung eines anderen Diagramms.
- R 0:36–0:41 Rückkoppeln · 5 min
Selbst zeichnen
Zu einer vorgegebenen Geschichte wird der Graph gezeichnet – mit beschrifteten Achsen und passender Skalierung.
Lehrkraft: Auf die Achsenbeschriftung bestehen. Ein Graph ohne beschriftete Achsen ist keine unvollständige Darstellung, sondern gar keine.
- R 0:41–0:45 Rückkoppeln · 4 min
Exit-Ticket
Zwei Fragen: eine Deutung und eine Begründung.
Lehrkraft: Frage 2 trennt sicher zwischen denen, die die Achsen lesen, und denen, die das Bild ansehen.
Weichen
Eine Diagnose, die den Plan nicht ändern darf, ist keine Diagnose. Diese Fälle sind vorgedacht.
- Wenn: Über 80 % deuten den waagerechten Abschnitt richtig.
- Dann: Die Zuordnungsphase kürzen und zur Geschwindigkeit übergehen: Welcher Abschnitt war der schnellste? Woran sieht man das? Damit ist die Steigung als Größe vorbereitet, ohne sie zu benennen.
- Wenn: Ein großer Teil antwortet „die Strecke war eben“.
- Dann: Genau dafür ist die Stunde da. Beim Achsentausch in der Abgleichphase ausdrücklich sagen: Diese Deutung ist richtig – für ein Höhenprofil. Sie ist keine Dummheit, sondern die falsche Zuordnung einer richtigen Lesart.
- Wenn: Die Klasse ordnet richtig zu, begründet aber nicht.
- Dann: Eine Zuordnung gemeinsam an der Tafel begründen und den Satz als Muster stehen lassen: „Zwischen Minute 20 und 30 bleibt der Weg bei 8 km, also …“. Danach zurück in die Partnerarbeit.
- Wenn: Beim Zeichnen fehlen die Achsenbeschriftungen.
- Dann: Die Blätter unbeschriftet zurückgeben und die Frage stellen: Wovon handelt dein Graph? Ohne Beschriftung lässt sich das nicht beantworten – auch nicht von der Person, die ihn gezeichnet hat.
Exit-Ticket
- In einem Zeit-Weg-Diagramm verläuft ein Abschnitt steiler als der davor. Was bedeutet das?
- Zwei Diagramme sehen genau gleich aus. Beim einen steht links „Weg in km“, beim anderen „Höhe in m“. Erzählen sie dieselbe Geschichte? Begründe.
Differenzierung
Wer schneller fertig ist: Zeichne ein Zeit-Weg-Diagramm für eine Fahrt, bei der jemand losfährt, etwas vergisst, umkehrt, es holt und dann durchfährt. Welcher Abschnitt fällt – und warum fällt der Graph nicht unter null?
Wer mehr Zeit braucht: Nur zwei Diagramme und zwei Geschichten, dafür beide gemeinsam Abschnitt für Abschnitt durchgesprochen. Das Zeichnen entfällt.
Stolpersteine
Der Graph wird als Bild der Strecke gelesen (Graph-als-Bild-Fehler).
Denselben Graphen mit zwei verschiedenen Achsenbeschriftungen zeigen. Wenn dasselbe Bild zwei Geschichten erzählt, kann das Bild allein nicht die Bedeutung tragen.
Ein waagerechter Abschnitt bedeutet gleichmäßige Fahrt.
Zwei Punkte auf dem waagerechten Abschnitt ablesen: gleiche Strecke, verschiedene Zeit. Wer sich bewegt, legt Weg zurück.
Achsenbeschriftungen sind Deko.
Ein Diagramm ohne Beschriftung zeigen und nach seiner Bedeutung fragen. Die Antwort „kann man nicht sagen“ ist das Ziel.
Hausaufgabe
Aus der Aufgabenfolge die Aufgaben zum Zuordnen von Geschichte und Graph. Zusätzlich: Beschreibe deinen Schulweg als Zeit-Weg-Diagramm – mit allen Pausen.
Die vier Geschichten
Alle vier Diagramme haben dieselben Achsen: unten die Zeit in Minuten (0 bis 40), links der zurückgelegte Weg in Kilometern (0 bis 12).
- Gleichmäßig durchgefahren. Eine Gerade von (0 | 0) bis (30 | 12). Tempo: 24 km/h.
- Mit Pause. Steigt bis (15 | 6), verläuft dann bis Minute 25 waagerecht, steigt danach wieder bis (40 | 12).
- Erst langsam, dann schneller. Bis (20 | 4) flach, danach steiler bis (40 | 12). Der zweite Abschnitt ist doppelt so steil.
- Etwas vergessen. Steigt bis (10 | 4), fällt dann bis (20 | 0), steigt danach durch bis (40 | 8). Alle drei Abschnitte haben dasselbe Tempo – 24 km/h.
Diagramm 4 ist der Prüfstein: Ein fallender Abschnitt bedeutet, dass der zurückgelegte Weg zum Ausgangspunkt hin abnimmt – nicht, dass es bergab geht.
Der Achsentausch
Derselbe Graph wie in Geschichte 3, aber links steht jetzt „Höhe über dem Meeresspiegel in Metern“:
Jetzt ist die Landkarten-Deutung richtig: erst ein flacher Anstieg, dann ein steilerer. Es geht tatsächlich bergauf.
Das ist der Satz, auf den die Stunde zielt:
Der Graph allein sagt nichts. Was er bedeutet, steht an den Achsen.
Didaktischer Kommentar
Warum der Graph-als-Bild-Fehler kein Leichtsinn ist. Ein Diagramm ist ein Bild, und Bilder liest man als Abbildungen. Diese Erwartung ist außerhalb der Mathematik fast immer richtig. Beim Funktionsgraphen ist sie es nicht: Er bildet nicht ab, er stellt einen Zusammenhang zwischen zwei Größen dar. Diesen Unterschied zu benennen, ist Aufgabe des Unterrichts – wer ihn nicht benennt, bekommt ihn nicht von selbst.
Warum der Achsentausch das stärkste Argument ist. Man kann lange erklären, dass die y-Achse den Weg zeigt und nicht die Höhe. Überzeugender ist, dasselbe Bild zweimal zu zeigen und nur die Beschriftung zu ändern. Dann ist die Aussage nicht mehr „deine Deutung ist falsch“, sondern „deine Deutung gehört zu einem anderen Diagramm“ – und das ist inhaltlich genauer und im Umgang leichter.
Warum jede Zuordnung eine Begründung braucht. Bei vier Diagrammen und vier Geschichten gibt es 24 mögliche Zuordnungen, und mit ein wenig Glück trifft man die richtige. Ein Satz wie „zwischen Minute 15 und 25 bleibt der Weg bei 6 km“ lässt sich dagegen nicht raten. Er ist zugleich das, was in der Klassenarbeit Punkte bringt.
Warum die Achsenbeschriftung nicht verhandelbar ist. Sie erscheint als Formsache und ist die Sache selbst. Ein Graph ohne beschriftete Achsen trägt keine Information; das lässt sich in einer Minute zeigen, indem man einen solchen Graphen an die Tafel malt und nach seiner Bedeutung fragt. Danach ist die Beschriftung kein lästiger Zusatz mehr.
Zum Weiterarbeiten
- Aufgabenfolge: Von der Tabelle zum Bild
- Diagnostische Fragen: Graphen lesen und eintragen
- Werkzeug: Papier-Werkstatt – Koordinatensysteme mit gewählter Achsenteilung
- Stundenverlauf: Steigung ist ein Verhältnis – der nächste Schritt