Stundenverlauf · Logarithmen · Klasse 10
Logarithmen: Die Frage nach dem Exponenten
Das braucht die Klasse schon
- Potenzen mit ganzzahligen Exponenten sicher berechnen
- Exponentielles Wachstum und den Vermehrungsfaktor kennen
- Gleichungen durch Umkehroperationen lösen
Material
- Mini-Whiteboards oder Abstimmkarten
- Taschenrechner
- Beamer für den Funktionenplotter
Die Frage zu Stundenbeginn
Alle antworten gleichzeitig. Nicht die richtige Lösung ist der Ertrag, sondern die Verteilung.
Ein Guthaben von 1000 € wächst jährlich um 5 %. Nach wie vielen Jahren ist es auf 2000 € angewachsen?
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Das lässt sich mit den bisherigen Mitteln nur durch Probieren bestimmen. richtig
Trägt und ist der beste Einstieg: Die Gleichung 1000 · 1,05^t = 2000 lässt sich nach t nicht mit den bekannten Umformungen auflösen. Genau dafür wird der Logarithmus gebraucht.
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Nach 20 Jahren.
Linear gerechnet: 5 % von 1000 € sind 50 €, mal 20 ergibt 1000 € Zuwachs. Der Rückfall in die lineare Vorstellung – hier lohnt ein kurzer Rückgriff auf die vorangegangene Stunde.
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Nach etwa 14 Jahren.
Der Zahlenwert stimmt (14,21), aber die Frage war, wie man ihn bestimmt. Nachfragen, ob geraten, probiert oder gerechnet wurde – wer die Faustregel „70 durch Prozentsatz“ kennt, hat einen guten Schätzwert und noch kein Verfahren.
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Man teilt 2000 durch 1,05.
Der Exponent wird wie ein Faktor behandelt. Zeigt, dass die Struktur der Gleichung noch nicht gelesen wird: t steht oben, nicht daneben.
Verlauf
90 Minuten in 6 Phasen, nach dem KLAR-Ablauf. Die Zeiten sind Anhaltspunkte – die Weichen darunter sagen, wann man abweichen sollte.
- K 0:00–0:10 Klären · 10 min
Eine Gleichung, die nicht aufgeht
Die Einstiegsfrage steht an der Tafel, alle antworten gleichzeitig. Danach wird die Gleichung 1000 · 1,05^t = 2000 angeschrieben und gefragt: Welche Umformung bringt t nach unten?
Lehrkraft: Die Frage bleibt unbeantwortet – das ist ihr Zweck. Die Klasse sammelt zwei Minuten lang Vorschläge (durch 1000 teilen: ja; Wurzel ziehen: nein; logarithmieren: kennt noch niemand). Danach steht 1,05^t = 2 an der Tafel.
- L 0:10–0:35 Lösen lassen · 25 min
Exponenten suchen
Partnerarbeit an einer Tabelle: Zu welchen Exponenten gehören die Ergebnisse? 2^x = 8, 2^x = 32, 10^x = 1000, 10^x = 0,01, 3^x = 81, 2^x = 100. Die letzte lässt sich nicht raten – nur einschachteln.
Lehrkraft: Die ersten fünf sind Kopfrechnen, die sechste ist der Punkt. Zwischen 2^6 = 64 und 2^7 = 128 muss der Wert liegen; durch Probieren kommt man auf etwa 6,6. Diese Einschachtelung ist die Motivation für eine eigene Taste.
- A 0:35–1:00 Abgleichen · 25 min
Ein Name für die Frage
Die Schreibweise wird eingeführt: log₂(100) ist die Zahl, mit der man 2 potenzieren muss, um 100 zu erhalten. Die Tabelle aus der Erarbeitung wird in dieser Schreibweise noch einmal notiert – jede Zeile zweimal, als Potenz und als Logarithmus.
Lehrkraft: Der Kern des Verständnisses ist die Übersetzung in beide Richtungen: 2³ = 8 heißt log₂(8) = 3, und umgekehrt. Wer diese Übersetzung sicher beherrscht, braucht keine der späteren Regeln auswendig – sie folgen aus den Potenzgesetzen.
- A 1:00–1:12 Abgleichen · 12 min
Die Regeln aus den Potenzgesetzen
Aus a^m · a^n = a^(m+n) folgt log(u · v) = log u + log v. Die Klasse leitet die drei Regeln aus den entsprechenden Potenzgesetzen ab und prüft jede an Zahlen: log 2 + log 5 = log 10 = 1.
Lehrkraft: Und die Gegenprobe: log(2 + 5) = log 7 ≈ 0,845, nicht log 2 + log 5 = 1. Der Logarithmus verteilt sich über Produkte, nicht über Summen – dieselbe Grenze wie bei Wurzeln und beim Quadrieren einer Summe.
- R 1:12–1:25 Rückkoppeln · 13 min
Zurück zur Eingangsfrage
1,05^t = 2 wird jetzt gelöst: t = log(2) : log(1,05) ≈ 14,21. Danach zwei weitere Aufgaben aus der Aufgabenfolge.
Lehrkraft: Der Rückbezug ist wichtiger als die zusätzlichen Aufgaben. Die Frage vom Stundenanfang war 90 Minuten lang offen; sie jetzt zu beantworten, schließt den Kreis.
- R 1:25–1:30 Rückkoppeln · 5 min
Exit-Ticket
Drei Fragen: eine Übersetzung, eine Regelanwendung, eine Widerlegung.
Lehrkraft: Frage 1 prüft das Verständnis, Frage 3 die Fähigkeit, mit einem Gegenbeispiel zu argumentieren.
Weichen
Eine Diagnose, die den Plan nicht ändern darf, ist keine Diagnose. Diese Fälle sind vorgedacht.
- Wenn: Über 80 % erkennen, dass die Gleichung mit bisherigen Mitteln nicht auflösbar ist.
- Dann: Die Erarbeitung kürzen und früher zu den Rechenregeln gehen. Zusätzlich die Basisumrechnung: Warum liefert log(2) : log(1,05) dasselbe wie log₁,₀₅(2)?
- Wenn: Viele antworten „nach 20 Jahren“.
- Dann: Zehn Minuten zurück zum exponentiellen Wachstum: Die Tabelle mit Differenz und Quotient noch einmal aufbauen. Ohne diese Grundlage ist die Frage nach dem Exponenten nicht sinnvoll gestellt.
- Wenn: Die Übersetzung Potenz ↔ Logarithmus bleibt unsicher.
- Dann: Die Rechenregeln streichen und die ganze zweite Hälfte auf das Übersetzen verwenden – in beide Richtungen, mit zwanzig Beispielen. Die Regeln ohne diese Grundlage sind reine Symbolschieberei.
- Wenn: Die Klasse rechnet log(2 + 5) = log 2 + log 5.
- Dann: Am Taschenrechner prüfen lassen: 0,845 gegen 1. Danach die Parallele zu √(a + b) und (a + b)² ziehen – es ist derselbe Fehler zum dritten Mal, und beim dritten Mal sollte er erkannt werden.
Exit-Ticket
- Schreibe als Logarithmus: 5³ = 125. Und als Potenz: log₃(81) = 4.
- Löse: 3^x = 50 (auf zwei Nachkommastellen).
- Jemand schreibt log(a + b) = log a + log b. Widerlege das mit zwei Zahlen.
Differenzierung
Wer schneller fertig ist: Zeige mit den Potenzgesetzen, warum log(u^n) = n · log u gilt. Danach: Warum ist log₁₀(1) = 0 für jede Basis, und warum ist log(0) nicht definiert?
Wer mehr Zeit braucht: Nur die Übersetzung zwischen Potenz- und Logarithmusschreibweise, mit Basen 2, 3 und 10 und ganzzahligen Ergebnissen. Die Rechenregeln folgen in der nächsten Stunde.
Stolpersteine
Der Logarithmus wird als Rechenoperation ohne Bedeutung gelernt.
Jede Logarithmusgleichung laut als Frage sprechen: „Mit welcher Zahl muss ich 2 potenzieren, um 8 zu bekommen?“ Wer die Frage stellen kann, kennt die Antwort meist schon.
log(a + b) = log a + log b.
Mit 2 und 5 prüfen: log 7 ≈ 0,845, log 2 + log 5 = 1. Dasselbe Muster wie bei √(a + b) und (a + b)² – die Verwandtschaft ausdrücklich benennen.
log(0) oder der Logarithmus einer negativen Zahl seien berechenbar.
Die Frage stellen: Mit welchem Exponenten wird 10 zu null? Es gibt keinen – Potenzen positiver Basen sind immer positiv.
Hausaufgabe
Aus der Aufgabenfolge die Aufgaben zur Übersetzung und zu den Rechenregeln. Zusätzlich: Bestimme, nach wie vielen Jahren sich ein Guthaben bei 3 % Zinsen verdoppelt – und vergleiche mit der Faustregel „70 durch Prozentsatz“.
Die Tabelle der Erarbeitungsphase
| Gleichung | Exponent | als Logarithmus |
|---|---|---|
| 2^x = 8 | 3 | log₂(8) = 3 |
| 2^x = 32 | 5 | log₂(32) = 5 |
| 10^x = 1000 | 3 | log₁₀(1000) = 3 |
| 10^x = 0,01 | −2 | log₁₀(0,01) = −2 |
| 3^x = 81 | 4 | log₃(81) = 4 |
| 2^x = 100 | ≈ 6,64 | log₂(100) ≈ 6,64 |
Die ersten fünf Zeilen lassen sich im Kopf beantworten. Die sechste nicht – zwischen 2⁶ = 64 und 2⁷ = 128 muss der Wert liegen, aber welcher genau? Aus dieser Lücke entsteht das Bedürfnis nach einer eigenen Schreibweise und einer eigenen Taste.
log_b(a) ist die Antwort auf die Frage: Mit welchem Exponenten wird b zu a?
Die drei Regeln und ihre Herkunft
| Potenzgesetz | Logarithmusregel | Probe |
|---|---|---|
| a^m · a^n = a^(m+n) | log(u · v) = log u + log v | log 2 + log 5 = log 10 = 1 |
| a^m : a^n = a^(m−n) | log(u : v) = log u − log v | log 100 − log 10 = 2 − 1 = 1 |
| (a^m)^n = a^(m·n) | log(u^n) = n · log u | log(100³) = 3 · 2 = 6 |
Und die Grenze, die dazugehört:
log(u + v) ist nicht log u + log v. Probe: log(2 + 5) = log 7 ≈ 0,845, aber log 2 + log 5 = 1.
Die Eingangsfrage, beantwortet
1000 · 1,05^t = 2000 | : 1000 1,05^t = 2 | logarithmieren t · log(1,05) = log(2) t = log(2) : log(1,05) ≈ 14,21
Nach gut 14 Jahren hat sich das Guthaben verdoppelt – unabhängig davon, ob es 1000 € oder 100 000 € waren. Diese Unabhängigkeit vom Startwert ist eine eigene Beobachtung wert: Der Startwert kürzt sich heraus, weil er auf beiden Seiten steht.
Didaktischer Kommentar
Warum die Gleichung vor der Definition steht. Der Logarithmus wird in vielen Lehrgängen definiert und dann angewendet. Das funktioniert, erzeugt aber eine Vokabel: Man weiß, was zu tun ist, ohne zu wissen, wofür. Umgekehrt entsteht aus der Gleichung 1,05^t = 2 ein Problem, das mit den bekannten Mitteln nicht lösbar ist – und die Definition ist dann eine Antwort und keine Setzung.
Warum die Übersetzung in beide Richtungen geübt wird. „2³ = 8, also log₂(8) = 3“ ist die eine Richtung; „log₃(81) = 4, also 3⁴ = 81“ die andere. Wer beide sicher beherrscht, kann jede Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung zurückverwandeln und braucht keine der Regeln auswendig – sie lassen sich jederzeit aus den Potenzgesetzen wiederherstellen.
Warum die Regeln hergeleitet und nicht angesagt werden. Sie sind keine neuen Gesetze, sondern die Potenzgesetze in anderer Schreibweise. Diese Herkunft sichtbar zu machen, reduziert drei zu merkende Regeln auf drei bekannte – und erklärt zugleich, warum es für die Summe keine gibt: Für a^m + a^n existiert kein Potenzgesetz.
Warum log(u + v) das dritte Mal ist. Die Klasse hat denselben Fehler bereits bei (a + b)² und bei √(a + b) gesehen. Beim dritten Mal sollte er als Muster erkennbar sein: Eine Operation verteilt sich über Produkte, nicht über Summen. Diese Verallgemeinerung ausdrücklich zu ziehen, ist mehr wert als die einzelne Regel – sie trägt auch bei allem, was danach kommt.
Zum Weiterarbeiten
- Aufgabenfolge: Vom Faktor zur Zahl
- Diagnostische Fragen: Rechenregeln
- Stundenverlauf: Warum die Gerade nicht reicht – die Vorstunde
- Stundenverlauf: Was erlaubt ist und was nicht – derselbe Fehler bei den Wurzeln