Was worauf aufbaut

Jede Fachkonferenz, die einen schulinternen Lehrplan aufstellt, tut so, als ginge es um eine Liste. Welche Themen, in welcher Klasse, mit wie vielen Wochen. Tatsächlich geht es um etwas anderes: um eine Reihenfolge unter Nebenbedingungen. Manche Umstellungen sind harmlos, andere zerreißen eine Kette, die erst Jahre später sichtbar reißt.

Ich habe versucht, diese Nebenbedingungen einmal vollständig aufzuschreiben. 49 Themen der Sekundarstufen I und II, und zwischen ihnen rund neunzig Pfeile. Jeder Pfeil bedeutet: Ohne das obere Thema ist das untere nicht verstehbar. Das Ergebnis ist eine Karte, in der man ein Thema anklicken kann und sieht, was vorher sitzen muss und was darauf ruht.

Was die Karte zeigt

Die Stufe am linken Rand ist nichts Willkürliches: Sie ist die Länge des längsten Voraussetzungspfads ab dem Zählen. Ein Thema auf Stufe 9 hat neun Vorgänger hintereinander, die alle sitzen müssen. Die Dicke der Pfeile unterscheidet drei Grade: tragend – ohne die Voraussetzung lässt sich das Thema nicht einmal formulieren; notwendig – wird durchgehend gebraucht; unterstützend (gestrichelt) – erleichtert, trägt aber nicht.

Drei Beobachtungen sind mir dabei aufgefallen, die ich vorher so nicht gesehen hatte.

Erstens: Die Hebelthemen liegen alle früh. Auf der Bruchrechnung ruhen 34 der 49 Themen, auf Größen und Potenzen je 27, auf der Proportionalität 22. Das ist keine Überraschung, aber die Zahl macht etwas mit dem Zeitbudget. Wer in Klasse 6 zwei Wochen Bruchrechnung streicht, weil der Stoffverteilungsplan drückt, spart nicht zwei Wochen. Er verschiebt sie in die Oberstufe, wo sie als „Fehler in der Analysis” wieder auftauchen und niemand mehr nach Brüchen sucht.

Zweitens: Die Ketten sind länger als jedes Gedächtnis. Zwischen Zählen und Normalverteilung liegen zwölf Stufen, verteilt über acht Schuljahre. Keine Voraussetzung bleibt so lange von allein sicher. Das ist das eigentliche Argument für Spacing und Interleaving – nicht Lernpsychologie im Allgemeinen, sondern die schlichte Topologie des Stoffes: Wer die Kette nicht regelmäßig wieder anfasst, kommt oben an und findet unten ein Loch.

Drittens: Zehn Themen tragen gar nichts. Auf Kongruenz und Konstruktion, Körperberechnung, Logarithmen, Matrizen, bedingter Wahrscheinlichkeit, Kurvendiskussion und dem Hypothesentest ruht im Graphen nichts mehr. Das ist der Befund, bei dem ich mir selbst widersprechen muss, denn er verführt zu einem Fehlschluss.

Der Fehlschluss, den die Karte nahelegt

Wer nur auf die Reichweite schaut, kürzt bei den Endstationen. Das wäre falsch – und zwar aus einem Grund, den die Karte selbst nicht zeigen kann: Sie misst ausschließlich den Nutzen für Späteres.

Kongruenz und Konstruktion sind für kein Folgethema nötig. Sie sind trotzdem die erste Stelle im Bildungsgang, an der Schülerinnen und Schüler erleben, dass eine Aussage bewiesen werden kann und nicht nur plausibel gemacht. Die Kurvendiskussion trägt nichts, weil sie das Ziel ist, auf das die halbe Analysis zuläuft. Der Hypothesentest ist die einzige Stelle, an der Mathematik als Entscheidungsinstrument unter Unsicherheit auftritt.

Der Graph sagt über diese Themen genau eine wahre Sache: Ein Lehrplan kann sie verschieben, kürzen oder vertiefen, ohne dass anderswo etwas reißt. Und genau deshalb sind es die Themen, die bei Zeitnot als erste stillschweigend verschwinden. Wer sie behalten will, braucht ein anderes Argument als „das brauchen sie später noch” – nämlich das ehrlichere, dass sie um ihrer selbst willen dastehen.

Vier Regeln für den schulinternen Lehrplan

1. Reihenfolge ist kein Geschmack. Zulässig sind genau die Anordnungen, die jeden Pfeil von oben nach unten durchlaufen. Frei ist man nur zwischen parallelen Ästen – Geometrie neben Zahlen in Klasse 5 und 6, Stochastik neben Funktionen in der Mittelstufe. Wer ein Thema vorzieht, dessen Voraussetzung fehlt, erzeugt Auswendiglernen ohne Verstehen. Das sieht in der nächsten Arbeit zunächst wie Erfolg aus.

2. Zeit nach Reichweite verteilen, nicht nach Stoffumfang. Die fünf Hebelthemen zusammen tragen fast die gesamte Oberstufe. Sicherung bis zur Automatisierung ist dort keine Pedanterie, sondern Investitionsschutz. Umgekehrt darf ein Nebenast auch einmal knapp ausfallen.

3. Vor jeder Einheit die eingehenden Pfeile prüfen. Die direkten Voraussetzungen eines Themas sind eine kurze Liste, meist zwei bis vier Einträge – bei quadratischen Funktionen genau zwei: lineare Funktionen und quadratische Gleichungen. Diese Liste gehört als diagnostische Frage an den Anfang der Reihe, nicht als Wiederholungsblatt an ihr Ende. Bei den dick gezeichneten Übergängen ist das keine Kür.

4. Die Zusammenführungen sind die Prüfsteine. Geometrie und Stochastik laufen jahrelang neben der Algebra her, mit wenigen Querpfeilen. Das ist der Spielraum für Abwechslung. Aber die Zusammenführung – Trigonometrie, analytische Geometrie, Normalverteilung – kommt spät und bündelt dann viele Pfeile auf einmal. An diesen drei Knoten entscheidet sich, ob ein Lehrplan getragen hat.

Ein Nebenbefund zur Geschichte

Beim Aufschreiben habe ich zu jedem Thema notiert, wo es seine heutige Gestalt bekommen hat – nicht, wo es zuerst irgendwie vorkam. Über den Schalter „Farbe: Ursprung” lässt sich die Karte danach einfärben, und das Bild ist verblüffend geordnet: Die oberen Stufen sind babylonisch, ägyptisch, griechisch, indisch, chinesisch und islamisch. Europa beginnt erst bei Koordinaten und Funktionen im 17. Jahrhundert.

Die Sekundarstufe I ist im Wesentlichen bis 1400 fertig; die Oberstufe ist ein europäisches Produkt zwischen Descartes und Kolmogorow. Und nach etwa 1935 kommt nichts mehr hinzu außer dem Boxplot und den Werkzeugen. Die Kulturen haben die Karte, grob gesprochen, in derselben Reihenfolge gebaut, in der sie auch zu lernen ist. Das ist kein Naturgesetz – aber es ist ein Argument gegen die Vorstellung, eine Reihenfolge sei bloße Konvention.

Nebenbei räumt die Färbung mit den Namen auf: Der „Satz des Pythagoras” ist babylonisch, das „Pascalsche Dreieck” chinesisch und persisch, der „Gauß-Algorithmus” chinesisch, der „Kosinussatz” persisch. Die Eponyme markieren fast immer den Zeitpunkt der europäischen Kanonisierung, nicht der Entdeckung.

Was die Karte nicht kann

Zwei Einschränkungen, die ich nicht kleinreden möchte.

Sie bildet logische Abhängigkeit ab, nicht kognitive Reife. Dass Folgen und Grenzwert auf Stufe 7 stehen, heißt nicht, dass Zwölfjährige sie verstehen. Abstraktionsgrad, Sprache und Motivation sind eigene Dimensionen, die der Graph nicht kennt. Fehlende Abhängigkeitsverletzung ist eine notwendige Bedingung für Bewältigbarkeit, keine hinreichende.

Und die Pfeile sind Setzungen, keine Messwerte. Ob Kombinatorik Potenzen braucht oder nur das Zählprinzip; ob die Binomialverteilung ohne binomische Formeln auskommt; ob Trigonometrie eine Voraussetzung der analytischen Geometrie ist, weil das Skalarprodukt Winkel liefert – all das lässt sich anders setzen. Ich habe die Karte gerade deshalb interaktiv gebaut und nicht als Poster: Sie ist zum Widersprechen gedacht. In einer Fachkonferenz ist die Stunde, in der über drei strittige Pfeile gestritten wird, mehr wert als die Karte selbst.