Stundenverlauf · Quadratische Funktionen · Klasse 9/10
Quadratische Funktionen: Was die Scheitelform verrät – und was nicht
Das braucht die Klasse schon
- Die Normalparabel f(x) = x² zeichnen und Wertetabellen anlegen
- Binomische Formeln anwenden
- Graphen im Koordinatensystem lesen
Material
- Mini-Whiteboards oder Abstimmkarten
- Beamer für den Funktionenplotter
- Karopapier mit Koordinatensystem (Papier-Werkstatt)
Die Frage zu Stundenbeginn
Alle antworten gleichzeitig. Nicht die richtige Lösung ist der Ertrag, sondern die Verteilung.
Wo liegt der Scheitelpunkt von f(x) = (x − 2)² − 3?
-
(2 | −3) richtig
Trägt. Nachfragen, ob die Person das Vorzeichen von d begründen kann oder die Regel „Vorzeichen umdrehen“ anwendet – der Unterschied zeigt sich beim nächsten ungewohnten Fall.
-
(−2 | −3)
Die Zahl wird direkt aus der Klammer übernommen. Der häufigste Fehler und der Kern der Stunde: Das Minus in der Klammer verschiebt nach rechts, nicht nach links.
-
(2 | 3)
Bei d wird das Vorzeichen gedreht, bei e ebenfalls – die Regel wird auf beide Stellen angewandt, obwohl sie nur für eine gilt.
-
(−2 | 3)
Beide Zahlen unverändert übernommen beziehungsweise beide gedreht. Zeigt, dass die Form als Muster gelesen wird, aus dem Zahlen abgeschrieben werden.
Verlauf
90 Minuten in 6 Phasen, nach dem KLAR-Ablauf. Die Zeiten sind Anhaltspunkte – die Weichen darunter sagen, wann man abweichen sollte.
- K 0:00–0:10 Klären · 10 min
Ein Vorzeichen, zwei Meinungen
Die Einstiegsfrage steht an der Tafel, alle antworten gleichzeitig. Die Verteilung wird notiert und stehen gelassen. Zweite Frage ohne Abstimmung: Welche der vier Antworten könnte man am Graphen sofort ausschließen?
Lehrkraft: Nicht auflösen. Die zweite Frage lenkt die Aufmerksamkeit vom Ablesen auf das Prüfen – und genau das soll die Klasse in der nächsten Phase selbst tun.
- L 0:10–0:35 Lösen lassen · 25 min
Wertetabelle gegen Vermutung
Partnerarbeit: Für f(x) = (x − 2)² − 3 wird eine Wertetabelle von x = −1 bis x = 5 angelegt und der Graph gezeichnet. Erst danach wird die eigene Antwort aus der Einstiegsfrage daneben geschrieben.
Lehrkraft: Keine Hinweise geben. Der Punkt der Phase ist, dass die Tabelle die Vermutung widerlegt – und zwar für die Lernenden selbst, nicht durch Ansage. Wer schnell fertig ist, legt dieselbe Tabelle für f(x) = (x + 2)² − 3 an.
- A 0:35–0:55 Abgleichen · 20 min
Warum das Minus nach rechts schiebt
Die Frage an die Klasse: Für welches x wird die Klammer null? Aus der Antwort x = 2 folgt alles Weitere. Die Klasse formuliert, warum genau dort der tiefste Punkt liegt: weil ein Quadrat nie negativ wird und die Klammer nur an dieser Stelle verschwindet.
Lehrkraft: Das ist die Begründung, die die Stunde trägt – kein Merkspruch, sondern eine Ableitung aus der Struktur. Sie funktioniert auch bei (x − 7)², bei (2x − 6)² und in der Oberstufe weiter.
- A 0:55–1:10 Abgleichen · 15 min
Am Schieberegler alle drei Parameter
Am Funktionenplotter werden a, d und e nacheinander verändert. Die Klasse sagt jeweils vorher, was passiert, und prüft danach. Zuletzt: negatives a.
Lehrkraft: Nur einen Parameter gleichzeitig verändern, die anderen sichtbar festhalten. Bei a zwischen 0 und 1 innehalten: Die Parabel wird breiter, obwohl a größer als null ist – „a größer heißt schmaler“ gilt nur für den Betrag.
- R 1:10–1:25 Rückkoppeln · 15 min
Hin und her zwischen den Formen
Aus der Aufgabenfolge die Aufgaben zum Wechsel zwischen Scheitel- und Normalform. Zu jeder Funktion wird der Scheitelpunkt notiert – und danach geprüft, ob er zum Graphen passt.
Lehrkraft: Die Probe ist Pflicht: f(d) muss e ergeben. Das ist in zehn Sekunden gemacht und deckt jeden Vorzeichenfehler auf.
- R 1:25–1:30 Rückkoppeln · 5 min
Exit-Ticket
Drei Fragen: Scheitelpunkt ablesen, Scheitelform aufstellen, Fehlersuche.
Lehrkraft: Frage 3 zeigt, ob die Begründung angekommen ist oder nur eine neue Regel gelernt wurde.
Weichen
Eine Diagnose, die den Plan nicht ändern darf, ist keine Diagnose. Diese Fälle sind vorgedacht.
- Wenn: Über 80 % lesen den Scheitelpunkt richtig ab.
- Dann: Die Wertetabellenphase auf zehn Minuten kürzen und stattdessen die quadratische Ergänzung anschließen: Wie kommt man von f(x) = x² − 4x + 1 auf die Scheitelform? Die Probe f(2) = −3 verbindet beide Stunden.
- Wenn: Ein großer Teil antwortet (−2 | −3).
- Dann: Genau wie geplant. In der Erarbeitungsphase darauf bestehen, dass der Graph gezeichnet wird – die Tabelle allein überzeugt viele nicht, das Bild schon.
- Wenn: Auch die Wertetabelle führt nicht zur Korrektur.
- Dann: Die Nullstellenfrage vorziehen: Für welches x wird die Klammer null? Diese eine Frage löst den Knoten häufiger als jede Zeichnung, weil sie an einer bekannten Handlung ansetzt.
- Wenn: Beim Schieberegler wird a mit der Verschiebung verwechselt.
- Dann: a auf 1 festsetzen und erst d und e sichern. Die Streckung ist ein eigener Lerngegenstand und kann in die Folgestunde.
Exit-Ticket
- Wo liegt der Scheitelpunkt von f(x) = (x + 3)² − 5?
- Eine Parabel ist nach unten geöffnet und hat den Scheitelpunkt (1 | 4). Gib eine mögliche Funktionsgleichung in Scheitelform an.
- Jemand sagt: „Bei f(x) = (x − 2)² − 3 sind die Nullstellen 2 und −3.“ Was ist hier verwechselt worden?
Differenzierung
Wer schneller fertig ist: Bestimme die Nullstellen von f(x) = (x − 2)² − 3 exakt. (x = 2 ± √3, also ungefähr 0,27 und 3,73.) Danach: Für welche Werte von e hat f(x) = (x − 2)² + e gar keine Nullstelle?
Wer mehr Zeit braucht: Nur Funktionen der Form f(x) = (x − d)² + e mit a = 1 und ganzzahligen d, e. Zu jeder wird zuerst der Scheitelpunkt genannt, dann eine Wertetabelle mit fünf Punkten um den Scheitel angelegt.
Stolpersteine
Das Vorzeichen in der Klammer wird direkt übernommen: (x − 2)² hat den Scheitel bei x = −2.
Die Frage stellen, für welches x die Klammer null wird. Aus x − 2 = 0 folgt x = 2 – das ist keine Regel, sondern eine Gleichung.
Scheitelpunkt und Nullstellen werden verwechselt.
Den Graphen zeichnen und beide markieren. Der Scheitel ist ein Punkt, die Nullstellen sind zwei Stellen – und sie liegen symmetrisch um den Scheitel.
„a größer bedeutet schmaler“ – auch für a zwischen 0 und 1.
Am Plotter a = 0,5 und a = 2 nebeneinanderlegen. Es ist der Betrag von a, der über die Breite entscheidet.
Hausaufgabe
Aus der Aufgabenfolge die Aufgaben zum Ablesen des Scheitelpunkts, jeweils mit der Probe f(d) = e. Zusätzlich: Skizziere die Parabeln zu (x − 3)² und (x + 3)² in ein gemeinsames Koordinatensystem und beschrifte beide Scheitelpunkte.
Tafelbild
| x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = (x − 2)² − 3 | 6 | 1 | −2 | −3 | −2 | 1 | 6 |
Darunter die Frage, die alles entscheidet, und die Antwort der Klasse:
Für welches x wird die Klammer null? Für x = 2. Und weil ein Quadrat nie negativ ist, ist f(x) genau dort am kleinsten: f(2) = −3.
Rechts daneben der Graph mit markiertem Scheitel (2 | −3) und den beiden Nullstellen, die nicht bei 2 und −3 liegen.
Warum die Wertetabelle sieben Werte hat
Von x = −1 bis x = 5, also drei links und drei rechts vom Scheitel. Das ist Absicht: Die Symmetrie wird nur sichtbar, wenn beide Seiten gleich weit reichen. Eine Tabelle von 0 bis 4 würde funktionieren, eine von 0 bis 6 würde die Symmetrieachse verstecken – und die Symmetrieachse ist der beste Zugang zum Scheitelpunkt, den es in dieser Klassenstufe gibt.
Die Werte sind zudem alle ganzzahlig. Das ist nicht selbstverständlich und bei der Aufgabenauswahl berücksichtigt: In der Erarbeitungsphase soll die Aufmerksamkeit bei der Struktur liegen, nicht beim Rechnen.
Didaktischer Kommentar
Warum die Fehlvorstellung so robust ist. „Minus zwei heißt zwei nach links“ ist keine Dummheit, sondern eine sinnvolle Übertragung: Bei f(x) = x² − 3 verschiebt das Minus tatsächlich nach unten. Der Unterschied ist, dass e den Funktionswert verändert, d aber das Argument – und eine Änderung am Argument wirkt entgegengesetzt. Diese Asymmetrie ist der eigentliche Inhalt der Stunde und begegnet später bei jeder Funktionsklasse wieder.
Warum die Nullstellenfrage die Begründung trägt. Merksprüche wie „Vorzeichen umdrehen“ funktionieren genau so lange, wie die Aufgaben aussehen wie die geübten. Die Frage „für welches x wird die Klammer null?“ ist dagegen eine Handlung, die die Klasse längst kann, und sie trägt weiter: bei (2x − 6)², bei Betragsfunktionen, bei Verschiebungen in der Oberstufe. Wer sie einmal gestellt hat, braucht den Merkspruch nicht mehr.
Warum Scheitelpunkt und Nullstellen ausdrücklich getrennt werden. Die dritte Exit-Frage zielt auf eine Verwechslung, die in Klassenarbeiten regelmäßig auftaucht: Aus (x − 2)² − 3 werden „die Nullstellen 2 und −3“ gelesen. Dahinter steckt die Vorstellung, aus einer Funktionsgleichung ließen sich die wichtigen Zahlen direkt ablesen – ohne Unterscheidung, was sie bedeuten. Ein gezeichneter Graph mit beiden Markierungen räumt das schneller aus als jede Definition.
Warum a zuletzt kommt. Streckung und Verschiebung sind unabhängig, aber die Streckung ist die schwierigere Vorstellung – besonders für 0 < a < 1, wo „größer“ und „schmaler“ auseinanderfallen. Wer alle drei Parameter gleichzeitig einführt, bekommt keine drei Einsichten, sondern eine Regel mit drei Plätzen. In dieser Stunde ist a bis Minute 55 fest auf 1.
Zum Weiterarbeiten
- Werkzeug: Funktionenplotter – a, d und e am Schieberegler
- Aufgabenfolge: Scheitelpunkt und Normalform
- Diagnostische Fragen: Scheitelform
- Aufgabenfolge: Satz vom Nullprodukt – der Weg zu den Nullstellen