Stundenverlauf · Lineare Gleichungen · Klasse 7/8
Lineare Gleichungen: Was das Gleichheitszeichen wirklich sagt
Das braucht die Klasse schon
- Terme mit einer Variablen aufstellen und zusammenfassen
- Einfache Gleichungen der Form ax + b = c durch Probieren oder Rückwärtsrechnen lösen
- Rechnen mit negativen Zahlen
Material
- Mini-Whiteboards oder Abstimmkarten
- Beamer für die Gleichungswaage
- Optional: eine echte Balkenwaage mit gleichen Gewichten und verschlossenen Döschen
Die Frage zu Stundenbeginn
Alle antworten gleichzeitig. Nicht die richtige Lösung ist der Ertrag, sondern die Verteilung.
Welche Aussage über 12 = 3x ist richtig?
-
So kann man das nicht schreiben, das Ergebnis muss rechts stehen.
Die häufigste und die aufschlussreichste Antwort. Das Gleichheitszeichen wird als Rechenaufforderung gelesen – wie auf dem Taschenrechner. Genau diese Vorstellung ist der Gegenstand der Stunde.
-
Die Gleichung stimmt für x = 4. richtig
Trägt. Nachfragen, wie die Person darauf gekommen ist: Probieren oder Umformen? Beides ist hier richtig, aber nur eins skaliert.
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Die Gleichung stimmt für x = 36.
Die Operation wird in die falsche Richtung umgekehrt. Häufig bei Lernenden, die „auf die andere Seite bringen“ als Regel gelernt haben, ohne die Gegenoperation zu prüfen.
-
Man muss zuerst die Seiten tauschen, sonst geht es nicht.
Halb richtig gedacht: Tauschen ist erlaubt, aber nicht nötig. Diese Antwort zeigt, dass das Gleichheitszeichen als symmetrisch erkannt, aber noch nicht als selbstverständlich behandelt wird.
Verlauf
90 Minuten in 7 Phasen, nach dem KLAR-Ablauf. Die Zeiten sind Anhaltspunkte – die Weichen darunter sagen, wann man abweichen sollte.
- K 0:00–0:10 Klären · 10 min
Zwölf gleich drei x
Die Einstiegsfrage steht an der Tafel, alle antworten gleichzeitig. Anschließend eine zweite Frage ohne Abstimmung: „Was bedeutet das Zeichen = in 12 = 3x?“ Zwei Minuten Partnergespräch, keine Auflösung.
Lehrkraft: Die Formulierungen der Klasse notieren, wörtlich. Sie werden in der Abgleichphase gebraucht. Wer „daraus folgt“ oder „das ergibt“ sagt, hat die Rechenaufforderung im Kopf; wer „ist genauso viel wie“ sagt, hat die Aussage.
- L 0:10–0:35 Lösen lassen · 25 min
Die Waage kippt
Am Beamer steht 3x + 2 = x + 8 als Waage im Gleichgewicht. Die Klasse schlägt Umformungen vor, die Lehrkraft führt sie aus – aber im Modus „nur die linke Seite“. Nach jedem Vorschlag: Steht die Waage noch? Wenn nicht, warum nicht?
Lehrkraft: Nichts erklären. Der Schalter macht den Fehler sichtbar, und die Klasse formuliert selbst, was schiefgegangen ist. Nach drei bis vier Versuchen den Schalter ausschalten und dieselben Vorschläge noch einmal ausführen lassen.
- L 0:35–0:50 Lösen lassen · 15 min
Selbst lösen, mit Protokoll
Partnerarbeit: drei Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten, jede Umformung wird am Rand notiert (| −2, | −x, | : 2). Nicht das Ergebnis zählt, sondern das Protokoll.
Lehrkraft: Herumgehen und die Protokolle vergleichen, nicht die Ergebnisse. Wer keine Randnotizen macht, bekommt nur eine Frage: „Was hast du hier gemacht – und auf welcher Seite?“
- A 0:50–1:10 Abgleichen · 20 min
Verschiedene Wege, dasselbe Ziel
Zu derselben Gleichung kommen drei Protokolle an die Tafel, die sich in der Reihenfolge der Schritte unterscheiden. Die Klasse prüft, ob alle drei zum selben Ergebnis führen – und ob alle drei erlaubt sind.
Lehrkraft: Die Reihenfolge bewusst wählen: erst ein umständlicher, aber korrekter Weg, dann ein kurzer, dann einer mit einem einseitigen Fehler. Der letzte wird an der Waage überprüft, nicht bewertet.
- A 1:10–1:18 Abgleichen · 8 min
Der Merksatz
Aus den Beobachtungen entsteht der Hefteintrag: die Waage links, das Protokoll rechts, der Satz in der Mitte.
Lehrkraft: Der erste Vorschlag der Klasse lautet fast immer „man muss auf beiden Seiten dasselbe machen“. Das ist die Regel. Die Nachfrage „warum muss man das?“ führt zurück auf die Bedeutung des Gleichheitszeichens – und das ist der Satz, der stehen bleiben soll.
- R 1:18–1:25 Rückkoppeln · 7 min
Kurze Übungsrunde
Sechs Gleichungen aus der Aufgabenfolge, aufsteigend: von ax + b = c bis zu Variablen auf beiden Seiten mit negativen Koeffizienten.
Lehrkraft: Die Randnotizen sind Pflicht. Wer ohne Protokoll rechnet, bekommt die Aufgabe zurück – auch bei richtigem Ergebnis.
- R 1:25–1:30 Rückkoppeln · 5 min
Exit-Ticket
Drei Fragen: eine Rechnung, eine Fehlersuche, eine Begründung.
Lehrkraft: Die Fehlersuche ist die wichtigste der drei. Wer den einseitigen Fehler findet, hat die Stunde verstanden – unabhängig davon, ob Frage 1 richtig gerechnet wurde.
Weichen
Eine Diagnose, die den Plan nicht ändern darf, ist keine Diagnose. Diese Fälle sind vorgedacht.
- Wenn: Über 80 % erkennen 12 = 3x als gültige Gleichung.
- Dann: Die Waagenphase halbieren und stattdessen früher zu Gleichungen mit Klammern und negativen Koeffizienten gehen: 2(x − 3) = 4 − x. Die Waage bleibt als Kontrollinstanz im Hintergrund.
- Wenn: Viele sagen „so kann man das nicht schreiben“.
- Dann: Genau wie geplant. Vor der Waagenphase zusätzlich fünf Minuten einplanen, in denen wahre und falsche Aussagen sortiert werden: 7 = 7, 3 + 4 = 5 + 2, 12 = 3 · 4, 12 = 3x. Das Gleichheitszeichen als Aussage muss stehen, bevor die Waage etwas erklären kann.
- Wenn: Die Klasse schlägt in der Waagenphase keine Umformungen vor.
- Dann: Zwei Vorschläge selbst machen und ausdrücklich als Vorschläge kennzeichnen („ich probiere mal etwas – schaut, was passiert“). Sobald ein Vorschlag die Waage kippen lässt, kommt die Beteiligung von selbst.
- Wenn: In der Partnerarbeit rechnen viele richtig, notieren aber nichts.
- Dann: Die Übungsrunde streichen und stattdessen ein einziges gemeinsames Protokoll an der Tafel entstehen lassen, Schritt für Schritt diktiert von der Klasse. Ohne Protokoll ist in der Klassenarbeit kein Teilpunkt zu holen – und kein Fehler zu finden.
Exit-Ticket
- Löse: 5x − 3 = 2x + 9.
- Jemand rechnet: 4x + 6 = 2x + 14 | −6 → 4x = 2x + 14. Was ist hier schiefgegangen?
- Warum ist 12 = 3x dieselbe Aussage wie 3x = 12?
Differenzierung
Wer schneller fertig ist: Eine Gleichung bauen, deren Lösung x = 5 ist und die auf beiden Seiten eine Variable enthält. Danach eine, die keine Lösung hat (z. B. 2x + 3 = 2x + 5), und eine, die für jedes x stimmt (2x + 3 = 2x + 3). Beide Sonderfälle an der Waage nachvollziehen.
Wer mehr Zeit braucht: Nur Gleichungen der Form ax + b = c, dafür jede an der Waage nachgelegt, bevor sie gerechnet wird. Der Übergang zu Variablen auf beiden Seiten folgt in der nächsten Stunde.
Stolpersteine
Das Gleichheitszeichen wird als „hier kommt das Ergebnis“ gelesen.
Gleichungen vorlegen, in denen die Variable rechts steht (12 = 3x) oder auf beiden Seiten (3x + 2 = x + 8). Wer die Aussage versteht, hat damit kein Problem.
„Auf die andere Seite bringen“ als Regel ohne Gegenoperation.
An der Waage vorführen: Ein Gewicht wandert nicht über den Balken, es wird auf beiden Seiten weggenommen. Das Bild und die Regel sind verschieden – und das Bild ist richtig.
Beim Dividieren wird nur ein Summand geteilt (aus 2x + 6 = 10 wird x + 6 = 5).
Die Probe machen lassen. Danach an der Waage: Halbieren heißt, die ganze Schale zu halbieren – nicht ein Stück daraus.
Hausaufgabe
Aus der Aufgabenfolge die nächsten sechs Aufgaben, jeweils mit Randprotokoll und Probe. Dazu: Schreibe eine Gleichung auf, bei der jemand durch einen einseitigen Fehler auf x = 5 kommen könnte, obwohl die richtige Lösung eine andere ist.
Tafelbild
| links | Mitte | rechts |
|---|---|---|
| Die Waage mit 3x + 2 auf der linken und x + 8 auf der rechten Schale. Daneben dieselbe Waage nach ` | −xund nach | −2`. |
Das Protokoll rechts wird nicht diktiert, sondern von der Klasse formuliert, während links die Waage die zugehörigen Zustände zeigt.
Die Rolle der echten Waage
Wenn eine Balkenwaage im Vorbereitungsraum steht, lohnt sich der Aufwand: gleiche Gewichte als Einer, verschlossene Filmdöschen mit identischem Inhalt als x. Der Unterschied zum Bildschirm ist die Unbestechlichkeit – ein reales Kippen lässt sich nicht als Programmierfehler abtun.
Ohne Waage ist das Werkzeug der bessere Ersatz als eine Tafelzeichnung, weil es kippt, statt gekippt gezeichnet zu werden. Der Unterschied wirkt klein und ist es nicht: Eine gezeichnete schiefe Waage ist eine Behauptung der Lehrkraft, eine kippende Waage eine Beobachtung der Klasse.
Warum in dieser Stunde nicht gekürzt wird
Gleichungen mit Brüchen und Klammern bleiben draußen. Sie sind nicht schwerer, aber sie verlagern die Aufmerksamkeit auf die Termumformung – und die Frage dieser Stunde ist eine andere. Die Zahlen sind bewusst so gewählt, dass jeder Schritt im Kopf geht: Wer rechnen muss, denkt nicht über das Gleichheitszeichen nach.
Didaktischer Kommentar
Warum 12 = 3x als Einstieg. Die Aufgabe ist rechnerisch trivial und trotzdem für viele eine Zumutung – genau deshalb taugt sie zur Diagnose. Die Reaktion „so kann man das nicht schreiben“ ist keine Unaufmerksamkeit, sondern die konsequente Anwendung einer Vorstellung, die in der Grundschule gebildet und nie widerrufen wurde: Links steht die Aufgabe, rechts das Ergebnis. Diese Vorstellung ist über Jahre erfolgreich gewesen. Sie zu ersetzen, ist mehr Arbeit, als eine Regel zu lernen.
Warum der Fehler vorgeführt und nicht vermieden wird. Der Schalter „nur die linke Seite“ ist die didaktische Mitte der Stunde. Eine Regel, die nur befolgt wird, hat keinen Gegenfall – man weiß nicht, wovon sie einen abhält. Die kippende Waage liefert den Gegenfall in einer Sekunde und ohne Note. Wichtig ist, dass die Vorschläge aus der Klasse kommen: Wer den Fehler selbst vorgeschlagen hat, erklärt ihn anschließend auch selbst.
Warum das Protokoll wichtiger ist als das Ergebnis. Bei Gleichungen ist das Ergebnis überprüfbar – die Probe zeigt in zwanzig Sekunden, ob x stimmt. Was die Probe nicht zeigt, ist, ob der Weg trägt. Die Randnotizen machen den Weg sichtbar und sind zugleich das, was in der Klassenarbeit Punkte bringt. Sie einzufordern, auch wenn das Ergebnis stimmt, ist deshalb keine Formsache.
Warum die Sonderfälle in die Differenzierung gehören. 2x + 3 = 2x + 5 hat keine Lösung, 2x + 3 = 2x + 3 hat unendlich viele. Beide sind an der Waage sofort einsichtig (die Schalen sind nie beziehungsweise immer gleich) und mathematisch bedeutsam. Für die ganze Klasse sind sie in dieser Stunde zu viel; für die schnelle Gruppe sind sie die bessere Beschäftigung als zehn weitere Gleichungen desselben Typs.