Stundenverlauf · Strahlensätze · Klasse 9
Strahlensätze: Was gehört zu was?
Das braucht die Klasse schon
- Verhältnisse und Bruchgleichungen (über Kreuz multiplizieren)
- Parallelen und Schnittpunkte in Figuren erkennen
- Maßstabsvorstellung: Vergrößern und Verkleinern
Material
- Mini-Whiteboards oder Abstimmkarten
- Vier vorbereitete Strahlensatzfiguren, unterschiedlich gedreht
- Farbstifte in zwei Farben pro Person
Die Frage zu Stundenbeginn
Alle antworten gleichzeitig. Nicht die richtige Lösung ist der Ertrag, sondern die Verteilung.
In einer Strahlensatzfigur gilt ZA = 3, ZB = 4 und ZA' = 12. Wie lang ist ZB'?
-
16 richtig
Trägt. Nachfragen, welches Verhältnis angesetzt wurde – ZA : ZA' = ZB : ZB' ist der Weg, der auch bei gedrehter Figur funktioniert.
-
9
Verwechselte Zuordnung: 3 : 4 = 12 : x ergäbe x = 16, aber 4 : 3 = 12 : x ergibt 9. Wer hier landet, hat die Paare vertauscht – der Kern der Stunde.
-
13
Additiv statt multiplikativ gedacht: ZA wächst um 9, also ZB auch. Diese Vorstellung ist bei Maßstabsaufgaben verbreitet und muss ausdrücklich widerlegt werden.
-
Das lässt sich ohne Zeichnung nicht sagen.
Vorsichtig und in der Sache falsch, aber die Vorsicht ist berechtigt: Ohne die Angabe, welche Punkte auf welchem Strahl liegen, wäre die Aufgabe tatsächlich unvollständig. Diese Antwort verdient eine Würdigung.
Verlauf
45 Minuten in 5 Phasen, nach dem KLAR-Ablauf. Die Zeiten sind Anhaltspunkte – die Weichen darunter sagen, wann man abweichen sollte.
- K 0:00–0:08 Klären · 8 min
Drei Zahlen, eine Zuordnung
Die Einstiegsfrage steht an der Tafel, mit einer Skizze. Alle antworten gleichzeitig. Danach werden vier Figuren gezeigt, jede anders gedreht, mit gleich benannten Strecken.
Lehrkraft: Die vier Figuren sind die eigentliche Diagnose. Mindestens eine muss den Scheitelpunkt oben haben und eine die Parallelen senkrecht. Wer sich an der Lage orientiert statt an der Struktur, scheitert hier sichtbar.
- L 0:08–0:22 Lösen lassen · 14 min
Zwei Farben, zwei Strahlen
Partnerarbeit: In jeder der vier Figuren werden alle Strecken auf dem ersten Strahl rot und alle auf dem zweiten blau nachgezogen. Erst danach wird die Verhältnisgleichung aufgeschrieben.
Lehrkraft: Das Anmalen ist keine Beschäftigungstherapie. Es macht die Struktur sichtbar, die in der gedrehten Figur nicht ins Auge springt: Zwei Strecken gehören zusammen, wenn sie auf verschiedenen Strahlen liegen und beide vom Scheitelpunkt aus gemessen werden.
- A 0:22–0:36 Abgleichen · 14 min
Die Gleichung entsteht aus den Farben
Die farbigen Figuren kommen an die Tafel. Die Verhältnisgleichung wird direkt aus ihnen abgelesen: rot zu rot wie blau zu blau. Danach die Gegenprobe an einer Figur, in der eine Strecke nicht vom Scheitel aus gemessen ist.
Lehrkraft: Die Gegenprobe ist wichtig: Der zweite Strahlensatz betrifft die Parallelenabschnitte und braucht ein anderes Paar. Nicht beide Sätze in dieser Stunde vollständig behandeln – aber den Unterschied benennen, damit die Regel nicht überdehnt wird.
- R 0:36–0:41 Rückkoppeln · 5 min
Anwenden mit Skizze
Drei Aufgaben, darunter eine Sachaufgabe (Baumhöhe über den Schattenwurf). Zu jeder wird zuerst die Skizze angefertigt und eingefärbt.
Lehrkraft: Die Skizze ist Pflicht, auch bei der Sachaufgabe. Wer den Schatten nicht zeichnet, ordnet die vier Größen fast immer falsch zu.
- R 0:41–0:45 Rückkoppeln · 4 min
Exit-Ticket
Zwei Fragen: eine Berechnung an einer gedrehten Figur und eine Sachaufgabe.
Lehrkraft: Die gedrehte Figur ist die entscheidende – in Prüfungen und in Anwendungen liegt sie nie so wie im Buch.
Weichen
Eine Diagnose, die den Plan nicht ändern darf, ist keine Diagnose. Diese Fälle sind vorgedacht.
- Wenn: Über 80 % beantworten Einstiegsfrage und Figuren richtig.
- Dann: Zum zweiten Strahlensatz übergehen: Wie verhalten sich die Parallelenabschnitte? Warum gilt dort ein anderes Verhältnis? Die Farbmethode lässt sich unmittelbar übertragen.
- Wenn: Die Einstiegsfrage sitzt, die gedrehten Figuren nicht.
- Dann: Das ist der Regelfall und der Grund für die Stunde. Wie geplant weiterarbeiten und in der Übungsphase ausschließlich gedrehte Figuren verwenden.
- Wenn: Viele antworten 13.
- Dann: Vor der Farbphase fünf Minuten für den Maßstabsgedanken einschieben: Eine Figur wird nicht um etwas verlängert, sie wird mit etwas multipliziert. Der Vergrößerungsfaktor 4 (aus 3 wird 12) gilt dann auch für die andere Strecke.
- Wenn: Die Farben werden vergeben, die Gleichung aber trotzdem falsch aufgestellt.
- Dann: Die Gleichung mündlich formulieren lassen, bevor sie geschrieben wird: „Das kurze Rote verhält sich zum langen Roten wie das kurze Blaue zum langen Blauen.“ Der Satz ordnet die vier Größen von selbst.
Exit-Ticket
- In einer Strahlensatzfigur ist ZA = 5 cm, ZA' = 15 cm und ZB = 4 cm. Wie lang ist ZB'?
- Ein 1,50 m langer Stab wirft einen 2 m langen Schatten. Ein Baum wirft zur gleichen Zeit einen 14 m langen Schatten. Wie hoch ist der Baum?
Differenzierung
Wer schneller fertig ist: Wie hoch ist ein Baum, wenn du nur ein Lineal und deinen eigenen Schatten zur Verfügung hast? Beschreibe das Verfahren vollständig – und nenne eine Bedingung, unter der es nicht funktioniert. (Zum Beispiel, wenn die Sonne fast im Zenit steht oder das Gelände nicht eben ist.)
Wer mehr Zeit braucht: Nur Figuren in Standardlage, dafür jede eingefärbt und die Gleichung nach dem vorgegebenen Muster ausgefüllt. Die Drehung folgt in der nächsten Stunde.
Stolpersteine
Die zusammengehörigen Strecken werden nach ihrer Lage im Blatt bestimmt (die obere zur oberen).
Dieselbe Figur gedreht zeigen. Die Lage wechselt, die Zuordnung nicht – sie hängt an den Strahlen, nicht am Blatt.
Vergrößern heißt addieren (aus 3 wird 12, also aus 4 wird 13).
Am Maßstab prüfen: Bei einer Vergrößerung mit dem Faktor 4 werden alle Strecken viermal so lang. Wer addiert, verzerrt die Figur – das lässt sich zeichnen.
Der erste und der zweite Strahlensatz werden vermischt.
Beide Sätze nebeneinanderschreiben und markieren, welche Strecken jeweils gemeint sind: vom Scheitel aus gemessen beim ersten, auf den Parallelen beim zweiten.
Hausaufgabe
Aus der Aufgabenfolge die Aufgaben zum ersten Strahlensatz, jede mit farbiger Skizze. Zusätzlich: Miss den Schatten eines Gegenstands und deinen eigenen und bestimme daraus die Höhe des Gegenstands.
Die Farbregel
In jeder Strahlensatzfigur gibt es zwei Strahlen, die vom Scheitelpunkt Z ausgehen, und zwei Parallelen, die sie schneiden.
- Rot: alle Strecken auf dem ersten Strahl – ZA und ZA’.
- Blau: alle Strecken auf dem zweiten Strahl – ZB und ZB’.
Rot verhält sich zu Rot wie Blau zu Blau: ZA : ZA’ = ZB : ZB’
Der Satz lässt sich mündlich sprechen, bevor er geschrieben wird – und wer ihn spricht, ordnet die vier Größen richtig zu, gleichgültig wie die Figur gedreht ist.
Die Einstiegsaufgabe im Detail
| gegeben | Wert |
|---|---|
| ZA | 3 |
| ZA’ | 12 |
| ZB | 4 |
| gesucht: ZB’ | 16 |
Der Vergrößerungsfaktor ist 12 : 3 = 4. Also ist ZB’ = 4 · 4 = 16.
Wer 9 herausbekommt, hat 4 : 3 = 12 : x angesetzt und damit eine Strecke des ersten Strahls mit einer des zweiten in dasselbe Verhältnis gesetzt. Wer 13 herausbekommt, hat den Faktor als Summand behandelt.
Die Baumaufgabe
| Länge | Schatten | |
|---|---|---|
| Stab | 1,50 m | 2,00 m |
| Baum | 10,50 m | 14,00 m |
1,50 : 2,00 = h : 14,00, also h = 1,50 · 14,00 : 2,00 = 10,50 m.
Der Schattenwurf ist die klassische Anwendung, weil er eine echte Strahlensatzfigur erzeugt: Die Sonnenstrahlen sind die Parallelen, der Boden ist die eine Gerade, Stab und Baum stehen senkrecht darauf. Die Skizze lohnt sich – ohne sie werden die vier Größen regelmäßig vertauscht.
Didaktischer Kommentar
Warum die Zuordnung und nicht die Rechnung geübt wird. Die Rechnung ist ein Dreisatz und in Klasse 9 kein Problem. Alle Schwierigkeit steckt in der Frage, welche vier Größen in die Gleichung gehören und in welcher Reihenfolge. Diese Frage wird in vielen Lehrgängen gar nicht gestellt, weil die Figuren im Buch immer gleich liegen – und dann klappt es dort auch. In der Klassenarbeit liegt die Figur anders.
Warum eingefärbt wird. Farbe leistet hier, was eine Regel nicht leistet: Sie macht die Struktur unabhängig von der Lage sichtbar. Nach zwei bis drei Stunden verschwinden die Stifte wieder, die Frage „auf welchem Strahl liegt das?“ bleibt. Dieselbe Technik funktioniert später bei der Trigonometrie, wo Gegen- und Ankathete ebenfalls nicht an der Seite hängen, sondern am betrachteten Winkel.
Warum die vierte Antwortmöglichkeit gewürdigt wird. „Das lässt sich ohne Zeichnung nicht sagen“ ist in der gestellten Aufgabe falsch, aber die dahinterstehende Vorsicht ist berechtigt: Ohne die Information, welche Punkte auf welchem Strahl liegen, wäre die Aufgabe tatsächlich unbestimmt. Wer so antwortet, liest genau – und das sollte nicht als Fehler abgehakt werden.
Warum der zweite Strahlensatz nur erwähnt wird. Er betrifft die Abschnitte auf den Parallelen und braucht ein anderes Streckenpaar. Beide Sätze in 45 Minuten einzuführen, führt zuverlässig zu ihrer Vermischung – der dritten Fehlvorstellung in der Liste oben. Der Unterschied wird benannt, ausgearbeitet wird er in der Folgestunde.
Zum Weiterarbeiten
- Aufgabenfolge: Zwei Figuren, eine Idee
- Diagnostische Fragen: Strahlensätze zuordnen
- Stundenverlauf: Erst die Hypotenuse finden – dieselbe Art von Zuordnungsproblem
- Übungsgenerator Strahlensätze